பகா எண்களைக் கண்டறிய சுந்திரத்தின் சல்லடை (sieve of Sundaram) முறை

பகா எண்களின் பகிர்மானம் (distribution) ஓர் ஒழுங்கான தன்மை உடையதாக இல்லை என்பதை சென்ற பதிவில் பார்தோம்.மேலும் மிகப் பெரிய பகா எண் என்று எதுவும் இல்லை என்றும், எந்த பகா எண் கொடுத்தாலும் அதை விட பெரிய பகா எண்ணைக் கண்டறியும் முறையையும் சென்ற பதிவில் பார்த்தோம்.அப்படியானால் ஏதாவது முறையில் பகா எண்களைக் அடையாளம் காண முடியுமா?

ஆம், காண முடியும்.எஸ்.பி.சுந்தரம் என்ற இந்திய கணிதவியலாளர் இதற்கு ஓர் முறையை கண்டறிந்துள்ளார்.அதன் பெயர் சுந்திரத்தின் சல்லடை (sieve of Sundaram) முறை ஆகும். சுந்தரத்தின் சல்லடை முறை பகா எண்கள் இல்லாதவைகளை அடையாளம் காட்டும்.அதிலிருந்து பகா எண்களைக் கண்டறியலாம். எப்படி என்று இப்போது பார்ப்போம்.

முதலில் கூட்டுத் தொடர் என்றால் ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணில் தொடங்கி அடுத்தடுத்துள்ள எண்கள் ஒரு நிர்ணயிக்கப்பட்ட வித்தியாசம் கொண்ட எண்களின் வரிசையாக இருக்கும். உதாரணமாக

1,2,3,4,5,.......

என்ற கூட்டுத் தொடரில் முதல் எண்ணும் நிர்ணயிக்கப்பட்ட வித்தியாசமும் ஒன்று ஆகும்.

2,4,6,8,.....

என்ற கூட்டுத் தொடரில் முதல் எண்ணும் நிர்ணயிக்கப்பட்ட வித்தியாசமும் 2 ஆகும்.

சுந்திரத்தின் சல்லடை முறையை அறிய முதலில்

4,7,10,13,16,19,22,25,28,31..........

என்ற நிர்ணயிக்கப்பட்ட வித்தியாசம் 3 கொண்ட 4-ல் தொடங்கும் கூட்டுத் தொடரை எடுத்துக் கொள்வோம்.

அடுத்ததாக நிர்ணயிக்கப்பட்ட வித்தியாசம் 5 கொண்ட 7-ல் தொடங்கும் கூட்டுத் தொடரை எழுதுவோம்.

7,12,17,22,27,32,37,42,47,52,.............

அடுத்ததாக நிர்ணயிக்கப்பட்ட வித்தியாசம் 7 கொண்ட 10-ல் தொடங்கும் கூட்டுத் தொடரை எழுதுவோம்.

10,17,24,31,38,45,52,59,66,73..........

அடுத்ததாக நிர்ணயிக்கப்பட்ட வித்தியாசம் 9 கொண்ட 13-ல் தொடங்கும் கூட்டுத் தொடரை எழுதுவோம்.

13,22,31,40,49,58,........

இப்போது மேலே குறிப்பிட்டுள்ள கூட்டுத் தொடர்களை எழுதும் முறையில் உள்ள ஓர் ஒழுங்கு உங்களுக்குத் தெரிந்திருக்கும். அதாவது முதல் கூட்டுத் தொடர்
நிர்ணயிக்கப்பட்ட வித்தியாசம் 3 என்றால், அடுத்தக் கூட்டுத் தொகையின் நிர்ணயிக்கப்பட்ட வித்தியாசம் 5 ,அதற்கு அடுத்த கூட்டுத் தொகையின் நிர்ணயிக்கப்பட்ட வித்தியாசம் 7 என்று நிர்ணயிக்கப்பட்ட வித்தியாசத்தை 2ஆகா உயர்த்தி அடுத்தக் கூட்டுத் தொடரை எழுதுகிறோம்.மேலும் முதல் கூட்டுத்தொடரின் இரண்டாவது,மூன்றாவது,நான்காவது ....எண்கள் முறையே இரண்டாவது,மூன்றாவது,நான்காவது........ கூட்டுத்தொடரின் முதல் எண்ணாக வருவதைக் காணலாம்.

இப்போது இந்த கூட்டுத் தொடரை எல்லாம் ஒன்றன் கீழ் ஒன்றாக எழுதுவோம்.

4,7,10,13,16,19,22,25,28,31..........
7,12,17,22,27,32,37,42,47,52,.............
10,17,24,31,38,45,52,59,66,73..........
13,22,31,40,49,58,..............
16,27,38,49,60,69,78,.....
............................................
...............................................

மேலே கூட்டுத் தொடரில் உள்ள ஏதாவது ஒரு எண்ணை எடுத்து அதனை 2-ல் பெருக்கி 1-னைக் கூட்டினால்,கிடைக்கும் எண் ஒரு பகா எண்ணாக இருக்காது.உதாரணமாக
13,31,58 என்ற எண்களை எடுத்துக் கொள்வோம்.

13X2+1=27.
31X2+1=63
58X2+1=117....

இதிலிருந்து இந்த கூட்டுத் தொடர்களில் உள்ள எந்த எண் n-க்கும் 2n+1 ஒரு பகா எண்ணாக இருக்காது

அதேபோல் இந்த தொடர்களில் இல்லாத 5,6,41 முதலிய எண்களைப் பார்ப்போம்.

2X5+1=11
2X6+1=13
2X41+1=83...

இதிலிருந்து இந்த கூட்டுத் தொடர்களில் இல்லாத எந்த எண் k-க்கும் 2k+1 ஒரு பகா எண்ணாக இருக்கும் என்பதைக் காண முடிகிறது.

மொத்தத்தில் எந்த ஒரு இயல் எண் N-க்கும்,2N+1 ஒரு பகா எண்ணாக இருக்க போதுமானதும் மற்றும் தேவையானதுமான நிபந்தனை N இந்த கூட்டுத் தொடர்களில் இல்லாமல் இருப்பது தான்.

இதை நிரூபிக்கும் முறையை அடுத்த பதிவில் பார்ப்போம்.
2 என்ற எண் மட்டும் தான் ஒரேஒரு இரட்டைப் படை பகா எண் ஆகும்.அதனை மேலே கூறிய முறையிலிருந்து பெற முடியாது.மற்ற எல்லா பகா எண்களையும் கிடைக்கப் பெறலாம். குறிப்பாக k-வது பகா எண்ணை அடையாளம் காண, (k-1)-வது விடுபட்ட எண்ணை மேலே உள்ள கூட்டுத் தொடர்களிலிருந்து கண்டறிந்து அதனை 2-ஆல் பெருக்கி ஒன்றைக் கூட்டினால் k-வது பகா எண் கிடைக்கப் பெறலாம்.
உதாரணமாக 20 என்ற எண் மேலே உள்ள கூட்டுத் தொடர்களிலிருந்து விடுபட்ட 10-வது எண் ஆகும்.

20X2+1=41

41 என்ற எண் 11-வது பகா எண் ஆகும்.

இப்படி ஒரு சுலபமான ஆனால் வலுவான பகா எண்களைக் கண்டறியும் உத்தியை சுந்தரம் கொடுத்திருக்கிறார் என்பதை நினைக்கும் போது மிகவும் மகிழ்ச்சியாக உள்ளது.