நோபெலும், ஏபலும், கணிதமும் மற்றும் பரிசுகளும் - 3

சேரே (Serre) எண்கணித கோட்பாட்டில் (Number Thoery) நீள்வட்ட வரைவு (elliptic curve) என்ற பிரிவில் நிறைய கண்டுபிடிப்புகள் செய்துள்ளார். மிகச் சுருக்கமாகச் சொல்ல வேண்டும் என்றால், நீள்வட்ட வரைவுகள் Y^2 = X^3+aX^2+bX+c என்ற மூன்றுபடி (cubic) சமன்பாடுகளாக இருக்கும்.

கொடுக்கப்பட்ட விகிதமுறா எண் (rational numbers) கெழுக்களை (coefficiants) கொண்ட சமன்பாட்டுக்கு முழு எண்ணிலோ (integers) அல்லது விகிதமுறா எண்ணிலோ தீர்வு இருக்கிறதா என்று பார்ப்பது ஒரு முக்கியத்துவம் வாய்ந்ததாக கணிதத்தில் உள்ளது. இதில் பல ஆராய்ச்சிகள் நடை பெறுகின்றன.

உதாரணமாக X^2+Y^2 = 1 என்ற வட்டத்தின் சமன்பாட்டை எடுத்துக் கொள்ளவும். இதற்கு (-1,0) என்பது ஒரு விகிதமுறா எண் தீர்வாகும்.இதிலிருந்து பல விகதமுறா எண் தீர்வுகளைக் கண்டறியமுடியும். (-1,0) என்ற புள்ளியில் இருந்து வட்டத்தை மற்றொரு புள்ளியில் வெட்டுமாறு ஒரு நேர்கோடு வரையவும். இந்த நேர்கோட்டின் சரிவு (slope) விகிதமுறா எண்ணாக இருந்தால், இந்த நேர்கோடு வட்டத்தை வெட்டும் புள்ளியும் விகதமுறா எண்ணாக இருக்கும். எனவே ஒரு விகிதமுறா தீர்வு இருந்தால் முடிவில்லா (infinite) விகிதமுறா எண் தீர்வுகளை கண்டறியமுடியும்.

இதேபோல் Y^2 = X^3+aX^2+bX+c என்ற நீள்வட்ட வளைவுகளுக்கு ஒரு விகதமுறா எண் தீர்வு இருந்தால், முடிவில்லா (infinite) விகிதமுறா எண் தீர்வுகளை கண்டறிய முடியுமா என்ற கேள்வி எழுந்தது. இதில் என்ன அழகு என்றால், நீள் வட்ட வளைவில் உள்ள எல்லா புள்ளிகளும் ஒரு குலம் (group) ஆக இருக்கும்.

மூன்று படி நீள்வட்ட வளைவு y^2+y = x^3-x கீழே உள்ள படத்தில் உள்ளது போல் இருக்கும்.



இதில் P = (a,b) என்ற புள்ளியை எடுத்துக் கொண்டு, இந்த புள்ளியில் ஒரு தொடுகோடு வரையவும். அது இந்த வரைவை Q புள்ளியில் சந்திக்கும். மீண்டும் Q வில் ஒரு தொடுகோடு வரைந்தால் அது R என்ற வேறு புள்ளியில் இந்த வரைவை வெட்டும். இப்படி தொடர்ந்து செய்து வந்தால் மீண்டும் முதலில் ஆரம்பித்த P என்ற புள்ளியை வந்து அடைந்தால் புள்ளி P ஒரு விகிதமுறா எண்ணாக இருக்கும். இந்த நீள் வட்ட வரைவுகள் புகழ்பெற்ற பெர்மாடின் இறுதி தேற்றத்தை (Fermat's Last Theorem) நிரூபிக்க உதவியது. மேலும் "Cryptography" என்ற இன்று மிகவும் பிரபலமான துறையில் நீள்வட்ட வரைவுகள் மிகவும் பயன்படுத்தப்படுகிறது.இதில் தான் சேரே (Serre) பல அருமையான கண்டுபிடிப்புகளை செய்துள்ளார். அவருக்கு முதல் ஏபல் விருது கொடுக்கப்பட்டது மிகவும் பொருத்தமானது..

செரெவைப் பற்றி மேலும் அறிய இந்த சுட்டியை சொடுக்கவும்.

நீள்வட்ட வரைவுகளைப் பற்றி மேலும் அறிய சொடுக்கவும்

இந்த இடுகை பிடித்திருந்தால் ஓட்டு போட்டுச் செல்லவும். பல பேர் படிக்க ஒரு வாய்ப்பு கிடைக்கும்.

நோபெலும், ஏபலும், கணிதமும் மற்றும் பரிசுகளும் - 2

ஏபலின் 100 வது பிறந்த நாளைக் கொண்டாடும் விதமாக அவருக்கு ஒரு நினைவு மண்டபமும், கருத்தரங்கும் மற்றும் அவர் பெயரில் ஒரு கணிதப் பரிசும் கொடுக்க வேண்டும் என்ற கனவு அப்போதிருந்த கணித மேதைகளின் எண்ணமாக இருந்தது. ஆனால் அதில் முதல் இரண்டும் நிறைவேறியது. கணிதத்தில் பரிசு என்பது கனவாகவே இருந்தது. அந்த கனவு ஏபலின் 200 வது பிறந்த நாளில் நிறைவேறியது.2003 ஆம் ஆண்டு முதல் இந்தப் பரிசு வழங்கப்படுகிறது. முதல் பரிசு Jean-Pierre Serre என்ற கணித மேதைக்குக் கொடுக்கப்பட்டது.சேரே (Serre) இடவியல் (Topology) மற்றும் எண் கோட்பாட்டில் (Number Thoery) பல கண்டுபிடிப்புகளுக்குச் சொந்தக் காரர்.



இடவியல் பொருட்களின் மாறாத தன்மையைப் பற்றி அறிந்து கொள்வது எனக் கூறலாம். ஒரு பொருளை மடக்கியோ, நீட்டியோ,வளைத்தோ பார்ப்பதால் அதனுடைய நீளம்,அகலம் மாறலாம்.ஆனால் அதன் பொதுத் தன்மை மாறாது. அதாவது ஒரு வடிவத்தில் இருந்து அடுத்த வடிவத்திற்கு அந்த பொருளை கிழிக்காமலோ,வேறு ஒட்டுதல் எதுவும் செய்யாமல் மாற்ற முடியும். உதாரணத்திற்கு காபி கோப்பையும் ஓட்டை போட்ட வடையும் இடவியலில் ஒன்று தான்.எப்படி ஒன்றாகிறது என்பதை இங்கே பார்க்க.(நன்றி விக்கிபீடியா)
ஏனெனில் ஒன்றிலிருந்து மற்றொன்றை ஒரு தொடர் சார்பின் (continuous mapping) மூலம் பெறமுடியும்.காற்று போன, நசிங்கிய மற்றும் நல்ல அழகான விளையாட உபயோகிக்கும் பந்தும் ஒன்று தான்.




மேலும் ஒரு பந்தை எடுத்து அதில் ஒரு சிறிய வட்டம் வரைவோம். அதே போல் மேலும் ஒரு பெரிய வட்டம் வரைந்தால், அந்த சின்ன வட்டத்தை பெரிதாக்கி பெரிய வட்டத்தை கொண்டு வந்த முடியும்.அதே நேரத்தில் ஒரு சைக்கிள் டூபில் (cycle tube) வேறுவேறு விதமான ஒன்றிலிருந்து மற்றொன்று பெற முடியாத வட்டங்கள் வரைய முடியும். இடவியலில் பந்தும், சைக்கிள் டூபும் ஒன்றல்ல. ஆனால் சைக்கிள் டூபு,ஓட்டை வடை மற்றும் காபி கோப்பை எல்லாம் ஒன்று தான். இப்படி பொருட்களின் மேற்பரப்பு (surface) பற்றி ஆராயும் போது ஓர் இயற்கணித (algebraic) முறையை மிக அழகான முறையில் கண்டறிந்து இயற்கணித இடவியல் என்ற புதிய கணிதப் பிரிவை தோற்றுவித்தார் சேரே (Serre).

எண்கணிதக் கோட்பாட்டில் அவருடைய பங்கைப் பற்றி அடுத்த இடுகையில் பார்க்கலாம்.

நோபெலும், ஏபலும், கணிதமும் மற்றும் பரிசுகளும் - I

கணிதத்திற்கு நோபெல் பரிசு இல்லை என்பது நமக்கு தெரிந்ததே. ஆனால் அதற்கு இணையான மற்றொரு பரிசு கணிதத்திற்காக 2002 ஆம் ஆண்டிலிருந்து கொடுக்கப்படுகிறது. அது ஏபல் (Abel) என்ற கணிதமேதையின் பெயரில் வழங்கப்படுகிறது. இதைத் தவிர பீல்ட்ஸ் மெடல் (Fields Medal) என்ற பரிசும் 1936 ஆம் ஆண்டிலிருந்து நான்கு வருடத்திற்கு ஒரு முறை கொடுக்கப்படுகிறது. இதையும் நோபெல் பரிசின் இணையாகக் கருதுகிறார்கள்.ஆனால் இதைப் பெறுபவரின் வயது நாற்பதிற்குள் இருக்க வேண்டும்.இதைப் பற்றி மேலும் இந்த தொடர் பதிவில் பார்க்கலாம். 2010 ஆம் ஆண்டிற்கான இந்த பரிசு ஜான் டேட் (John Tate) என்ற கணித மேதைக்கு வழங்கப்பட்டுள்ளது. ஜான் புகழ்பெற்ற ஹார்வர்ட் பல்கலைக்கழகத்தில் 36 ஆண்டுகள் பணிபுரிந்துள்ளார். அவருக்கு வயது 85. இந்த பரிசின் மூலம் அவருக்கு ஒரு மில்லியன் டாலர் பணமுடிப்பு கிடைக்கும். அதைவிட இந்த பரிசினால் கிடைக்கும் பெருமை அளவிட முடியாதது. இவர் கணிதத்தில் புரிந்துள்ள சாதனைகளை பார்ப்பதற்கு முன் ஏபல் மற்றும் ஏபல் பரிசைப் பற்றி பார்க்கலாம்.



ஏபல் 1802 ஆம் ஆண்டு நோர்வே நாட்டில் பிறந்தவர். மிகவும் வறுமையான வாழ்கை. இருந்தாலும் கணிதத்தில் அளப்பரிய ஆவல் மற்றும் திறமை. வாழ்ந்தது 26 ஆண்டுகளே. ஆனால் கணிதத்தில் பல முக்கியமான கண்டு பிடிப்புகளுக்கு சொந்தக்காரர். கல்லூரியில் கணிதம் படித்தவர்கள் இவர் பெயரை அறியாமல் இருந்திருக்க முடியாது. எல்லா இயல் எண்களுக்கும் ஈறுருப்புக்கோவைத் தேற்றம் (Binomial Theorem) உண்மையே என்ற நிரூபணத்தை கொடுத்தார். ஐந்துபடி சமன்பாட்டுக்கு (Quintic Equation ) பொதுவான இயற்கணிதத் தீர்வு (algebraic solution) கிடையாது என்ற பங்களிப்பு கணிதத்தில் மிக முக்கிய முடிவாகவும் மற்றும் இவருடைய கணிதக் கண்டுபிடிப்புகளில் மகுடம் சூடுவதாகவும் இருக்கிறது.இந்த ஐந்துபடி சமன்பாட்டுக்கு பொதுவான இயற்கணிதத் தீர்வு உண்டா அல்லது இல்லையா என்று கண்டறிய பல நூற்றாண்டுகளாக கணித மேதைகள் முயற்சி செய்து வந்தார்கள். அதாவது ax^2+bx+c=௦ 0 என்ற இருபடி சமன்பாட்டுக்கு (quadratic equation)



என்ற தீர்வு காணும் முறையை பள்ளியில் படிக்காமல் தப்பித்திருக்க முடியாது. அதே போல் ax^3+bx^2+cx+d=௦௦௦ 0 என்ற மூன்றுபடி சமன்பாட்டுக்கு




என்பது தீர்வாகும்,(இதை மனப்பாடம் செய்ய முயற்சிக்க வேண்டாம். இதைக் கண்டு பிடித்தவர் கார்டானோ [Cardano] என்பவர்.) இதேபோல் நான்குபடி சமன்பாடுக்கும் தீர்வு காண முடியும். அது மிகவும் சிக்கலான சூத்திரமாகையால் இங்கு கொடுக்கவில்லை. ஆனால் இதேபோல் ஒரு தீர்வு ஐந்துபடி சமன்பாடுக்குக் கிடையாது என்று ஏபல் நிறுவியது கணித வரலாற்றில் ஒரு திருப்புமுனை. இதை நிரூபிக்க முயற்சித்த போது குலக் கோட்பாடு (Group Theory) என்ற புதிய கணிதப் பிரிவை தொடங்கி வைத்தார்.

இவர் 1829 ஆம் ஆண்டு காச நோயால் மரணமடைந்தார். 26 ஆண்டுகள் வாழ்ந்தாலும், என்ன ஒரு வாழ்க்கை. இப்படிப் பட்ட ஒரு மேதை தோன்றியதை நினைத்து மகிழ்வதா அல்லது இயற்கை விதிகளை நிந்திப்பதா?

விடுவதாக இல்லை...