கொடுக்கப்பட்ட விகிதமுறா எண் (rational numbers) கெழுக்களை (coefficiants) கொண்ட சமன்பாட்டுக்கு முழு எண்ணிலோ (integers) அல்லது விகிதமுறா எண்ணிலோ தீர்வு இருக்கிறதா என்று பார்ப்பது ஒரு முக்கியத்துவம் வாய்ந்ததாக கணிதத்தில் உள்ளது. இதில் பல ஆராய்ச்சிகள் நடை பெறுகின்றன.
உதாரணமாக X^2+Y^2 = 1 என்ற வட்டத்தின் சமன்பாட்டை எடுத்துக் கொள்ளவும். இதற்கு (-1,0) என்பது ஒரு விகிதமுறா எண் தீர்வாகும்.இதிலிருந்து பல விகதமுறா எண் தீர்வுகளைக் கண்டறியமுடியும். (-1,0) என்ற புள்ளியில் இருந்து வட்டத்தை மற்றொரு புள்ளியில் வெட்டுமாறு ஒரு நேர்கோடு வரையவும். இந்த நேர்கோட்டின் சரிவு (slope) விகிதமுறா எண்ணாக இருந்தால், இந்த நேர்கோடு வட்டத்தை வெட்டும் புள்ளியும் விகதமுறா எண்ணாக இருக்கும். எனவே ஒரு விகிதமுறா தீர்வு இருந்தால் முடிவில்லா (infinite) விகிதமுறா எண் தீர்வுகளை கண்டறியமுடியும்.
இதேபோல் Y^2 = X^3+aX^2+bX+c என்ற நீள்வட்ட வளைவுகளுக்கு ஒரு விகதமுறா எண் தீர்வு இருந்தால், முடிவில்லா (infinite) விகிதமுறா எண் தீர்வுகளை கண்டறிய முடியுமா என்ற கேள்வி எழுந்தது. இதில் என்ன அழகு என்றால், நீள் வட்ட வளைவில் உள்ள எல்லா புள்ளிகளும் ஒரு குலம் (group) ஆக இருக்கும்.
மூன்று படி நீள்வட்ட வளைவு y^2+y = x^3-x கீழே உள்ள படத்தில் உள்ளது போல் இருக்கும்.
இதில் P = (a,b) என்ற புள்ளியை எடுத்துக் கொண்டு, இந்த புள்ளியில் ஒரு தொடுகோடு வரையவும். அது இந்த வரைவை Q புள்ளியில் சந்திக்கும். மீண்டும் Q வில் ஒரு தொடுகோடு வரைந்தால் அது R என்ற வேறு புள்ளியில் இந்த வரைவை வெட்டும். இப்படி தொடர்ந்து செய்து வந்தால் மீண்டும் முதலில் ஆரம்பித்த P என்ற புள்ளியை வந்து அடைந்தால் புள்ளி P ஒரு விகிதமுறா எண்ணாக இருக்கும். இந்த நீள் வட்ட வரைவுகள் புகழ்பெற்ற பெர்மாடின் இறுதி தேற்றத்தை (Fermat's Last Theorem) நிரூபிக்க உதவியது. மேலும் "Cryptography" என்ற இன்று மிகவும் பிரபலமான துறையில் நீள்வட்ட வரைவுகள் மிகவும் பயன்படுத்தப்படுகிறது.இதில் தான் சேரே (Serre) பல அருமையான கண்டுபிடிப்புகளை செய்துள்ளார். அவருக்கு முதல் ஏபல் விருது கொடுக்கப்பட்டது மிகவும் பொருத்தமானது..
செரெவைப் பற்றி மேலும் அறிய இந்த சுட்டியை சொடுக்கவும்.
நீள்வட்ட வரைவுகளைப் பற்றி மேலும் அறிய சொடுக்கவும்
இந்த இடுகை பிடித்திருந்தால் ஓட்டு போட்டுச் செல்லவும். பல பேர் படிக்க ஒரு வாய்ப்பு கிடைக்கும்.
கருத்துகள் இல்லை:
கருத்துரையிடுக