இராமானுஜனின் இயல் எண்களின் பிரிவினைகள்

இராமானுஜனின் இயல் எண்களின் பிரிவினைகள் குறித்த பங்களிப்பு மிகவும் முக்கியமானது.  இயல் எண்களின் பிரிவினைகள் என்றால் என்ன?

1,2,3,4,5,6,7,.... ..  ...இயல் எண்களாகும். எத்தனை விதமாக இயல் எண்களின் கூட்டுத் தொகையாக ஓர் இயல் எண் எழுதப்பட முடியும் என்பதே இயல் எண்களின் பிரிவினைகள் ஆகும். இயல் எண் 2 க்கு 2 மற்றும் 1 + 1 என்ற இரண்டு பிரிவினைகள் உள்ளன.
2 = 2,
2=1+1
என்று இரண்டு விதமாக பிரித்து எழுதலாம்,
3=3,
3=2+1,
3=1+1+1
என்று மூன்றை மூன்று விதமாக பிரித்து எழுத முடிகிறது.
5=5,
5=4+1,
5=3+2,
5=3+1+1,
5=2+2+1,
5=2+1+1+1
5=1+1+1+1+1,
மற்றும்
6=6,
6=5+1,
6=4+2,
6=4+1+1,
6=3+3,
6=3+2+1,
6=3+1+1+1,
6=2+2+2,
6=2+2+1+1,
6=2+1+1+1+1,
6=1+1+1+1+1+1
என ஐந்து மற்றும் ஆறை முறையே 7 மற்றும் 11 விதமாக பிரித்து எழுதலாம். ஒவ்வொரு இயல் எண்ணுக்கும் எத்தனை பிரிவினைகள் இருக்கிறது என்பதை

p(1) = 1;p(2) = 2; p(3) = 3; p(4)=5;p(5)=7;p(6)=11 …………..

எனக் குறிக்கலாம். இதில் இராமானுஜனின் பங்கு என்ன? இந்த பிரிவினைகளில் இராமானுஜன் சில ஒழுங்குகளைக் கவனித்தார்.

அதாவது

P(4)=5

P(9)=30

P(14)=135

P(19)=490

P(24)=1575 ……………….

4  மற்றும் 9 இல் முடியும் இயல் எண்களின் பிரிவினைகளின் எண்ணிக்கை 5 ஆல் வகுபடும் எனக் கண்டறிந்தார்.

பொதுவாக  k=0,1,2,3,4,5… என்ற மதிப்புகளுக்கு

p(5k+4) இன் மதிப்பு 5 ஆல் வகுபடும் 

இதே போல் k=0,1,2,3,4,5… என்ற மதிப்புகளுக்கு

p(7k+5) இன் மதிப்பு 7 ஆல் வகுபடும் 

இதே போல் k=0,1,2,3,4,5… என்ற மதிப்புகளுக்கு

p(11k+6) இன் மதிப்பு 11 ஆல் வகுபடும் 

இங்கு 5,7,11 பகா எண்கள் என்பதைக் கவனிக்கவும். இதே போன்று மற்ற பகா எண்களுக்கும் இதே போன்று முடிவுகள் இருக்கும் என்றும், ஆனால் அவைகள் 5,7,11 போன்று எளிமையானதாக இருக்காது என்றும் இராமானுஜன் எழுதி வைத்தார்.

ஜான் நேஷ் (John Nash) - இயற்கையான கணித மேதை

ஜான் நேஷ் என்றவுடன் நினைவுக்கு வருவது "A Beautiful Mind" சினிமா மற்றும் கேம் தியரியில் அவரின் பங்களிப்புக்கு கிடைத்த நோபெல் பரிசும் தான். இவைகளைக் குறித்து நிறையவே எழுதப்பட்டுவிட்டது.நேஷ் மேற்கொண்ட மிக முக்கியமான அடிப்படைக் கணித ஆராய்ச்சிக்காக இந்த ஆண்டுக்கான ஏபல் பரிசு கொடுக்கப்பட்டது. இந்த பரிசை லூயி நிறன்பர்க் (Louis Nirenberg) உடன் பகிரிந்து கொண்டார்.

நேஷின் திறமை இளம் வயதிலேயே கண்டறியப் பட்டதில் அதிசயம் ஏதும் இல்லை. அவர் முதுகலைப் பட்டப் படிப்புப்  படிக்க புகழ்பெற்ற பிரின்ஸ்டன் பல்கலைகழகத்திற்கு விண்ணப்பித்த சமயம் அவர் பேராசிரியர் கொடுத்த சிபாரிசுக் கடிதத்தைப் பாருங்கள்.

இதை விட சிறந்த சிபாரிசுக் கடிதம் வேறு யாருக்கும் கிடைக்க கூடுமா என்பது சந்தேகம் தான்.சமீபத்தில் அவர் காலமானாலும், அவரின் கணிதப் பங்களிப்பு நிரந்திரத் தன்மை கொண்டது.

நேஷ் வடிவியல்(Geometry) மற்றும் பகுதி வகைக்கெழு சமன்பாடுகளில்(Partial Differential Equations) தன் பங்களிப்பைச் செய்தார்.இவரின் ஆராய்ச்சியின் முக்கியக் கூறுகளை கோடிட்டுக் காட்டுவது தான்  இந்தக் கட்டுரையின் நோக்கம். மேலும் வடிவியல் மற்றும் வகைக்கெழுவின் வளர்ச்சி குறித்த கணித வரலாற்றையும் சிறிது காணலாம்.

யூக்ளிட் (Euclid)முதல் ரீமான் (Riemann) வரையிலான வடிவியல் அடைந்த வளர்ச்சியைக் குறித்து முதலில் பார்ப்போம்..மனித நாகரீகத் தொடக்கத்தில் விளை நிலத்தின் வடிவம், அதன் பரப்பளவு அறிய விவசாயிகள்  முற்பட்டனர்.    இது தான் வடிவியலின் தொடக்கம் எனலாம்.  மிகவும் தொன்மையான நாகரீகங்களான இந்தியா, சீனா மற்றும் எகிப்து  வடிவியலைப்  பயன்படுத்திய விதம் அறிய மிகவும்சுவையாக இருக்கிறது. உதாரணத்திற்கு எகிப்தில் ஒரே அளவிலான 12 கயிறுகளை கீழேயுள்ள படத்தில் இருப்பது போல் இணைத்து விடுவார்கள்.  ஐந்து தொடர்ச்சியான கயிற்றுத்  துண்டுகளை B  விலிருந்து C க்கு இழுத்துப் பிடித்து, மூன்று தொடர் துண்டுகளை கொஞ்சம் கூட தொய்வில்லாமல் A வில் வளைத்து, மீதமுள்ள நான்கு துண்டுகளை B வரை  சேர்த்து விடலாம். 3-4-5 அளவுகள் கொண்ட ஒரு செங்கோண முக்கோணம் கிடைப்பதைப் பார்க்கலாம்..

 

இது போல் தமிழிலும் ஒரு கவிதை இருக்கிறது..

                

                 "ஓடும் நீளம் தனை ஒரேஎட்டுக்

                     கூறு ஆக்கி கூறிலே ஒன்றைத்

                    தள்ளி குன்றத்தில் பாதியாய்ச் சேர்த்தால்

                    வருவது கர்ணம் தானே. "

இந்தக் கவிதை 8-6-10  என்ற செங்கோண முக்கோணத்தைக் குறிப்பதைக் காணலாம். புகழ்பெற்ற "பித்தகோரஸ் தேற்றத்த்தின்" சில கூறுகளை இந்தப் பழமை நாகரீகங்கள் அறித்திருந்தது எனத் தெரிகிறது. இதெல்லாம் பிதகோரஸ் தேற்றத்தின் மறுதலைக்கு(Converse of Pythagoras Theor  உதாரணங்கள் என எடுத்துக் கொள்ளலாம். முயற்சி மற்றும் தவறு (Trial and Error) முறையில் இதைக் கண்டறிந்திருக்கலாம்.எப்படி மற்றும் ஏன் என்ற கேள்விகள் எகிப்திய நாகரீகத்தில் கேட்கும்படியான சூழ்நிலை இல்லை எனலாம். அன்றிந்த ஆட்சி மற்றும் சமுதாய அமைப்பே அதற்கு காரணம் எனக் கூறப்படுகிறது.

அதே சமயம் மற்றொரு பழமை நாகரீகமான பாபிலோனியன்ஸ் அறிந்த பிதகோரஸ் தேற்றம்  எகிப்து நாகரீகத்தை விட சற்று கூடுதலாகவே இருந்ததாக கண்டறியப்பட்ட சாட்சியங்கள் மூலமாக அறிகிறோம். இது 1900 -1600 B.C காலகட்டம். இந்த நாகரீகத்தில் "எப்படி" என அறியும் முயற்சி இருந்ததாகத் தெரிகிறது. ஆனால் மிக முக்கியமான "ஏன்" என்ற கேள்வி கேட்கப்பட்டதாகத் தெரியவில்லை. அதற்கு 1000 B.C வரை கிரேக்க நாகரீகத்திற்கு காத்திருக்க வேண்டியதாகியது. 

     ......தொடரும் ....

இராமானுஜன் - 127

இராமானுஜனின் பிறந்த நாளான டிசம்பர் 22 ஆம் தேதி அவரின் கணிதப் பங்களிப்பின் ஒரு துளியைப் பற்றி இங்கு பார்ப்போம்.


(நன்றி: http://filmzznwzz.blogspot.com/2011/12/happy-birthday-srinivasa-ramanujan.html)
குழந்தைகளுக்கான ஒரு சிறிய புதிருடன் தொடங்குவோம். குழந்தையிடம் ஒரு இயல் எண்ணை (சிறிய எண்ணாக இருந்தால் நல்லது) நினைத்துக் கொள்ளச் சொல்லவும். அந்த எண்ணுடன் 9 யைக் கூட்டச் சொல்லவும். கூட்டி வந்த விடையை இரண்டால் பெருக்கி, கிடைக்கும் எண்ணிலிருந்து 4 யை கழித்த பின் இரண்டால் வகுக்கச் சொல்லவும்.இறுதியில் முதலில் நினைத்துக் கொண்ட எண்ணை கழித்தால் 7 என்ற எண் எப்போதுமே விடையாகக் கிடைப்பதைப் பார்க்கலாம்.

உதாரணமாக 15 என்ற எண்ணை எடுத்துக் கொள்வோம்.
15+9 =24
24X 2= 48
48-4 44
44/2= 22
22-15 = 7

இதில் பெரிய புதிர் ஒன்றுமில்லை என்பது நமக்குத் தெரியும். ஆனால் குழந்தைகளுக்கு ஒரு சுவாரசியமான அனுபவமாக இருக்கலாம்.

ஒவ்வொருவருக்கும் ஓர் எண் பிடித்தமானதாக இருக்கும். எம்.ஜி.யாருக்கு இராசியான எண்  9 என்பார்கள் என நினைவு. 7 என்ற எண் எனக்கு மிகவும் பிடித்த எண். அலெக்ஸ் பெல்லோஸ் என்பவர் உலகளவில் பிடித்தமான எண் கண்டறிய நடத்திய ஓட்டெடுப்பில் 7 வெற்றி பெற்றுள்ளதை இங்கு காணலாம்.

சரி இராமனுஜனுக்கும் 7 என்ற எண்ணுக்கும்  என்ன தொடர்பு?  இரண்டு இயல் எண்களை எடுத்துக் கொள்வோம். அந்த எண்களின் வர்க்கங்களின் கூட்டுத்தொகை ஒரு வர்க்க எண்ணாக(square number) இருக்குமா? பள்ளி நாட்களில்  படித்த "பிதகோரஸ்" தேற்றம் நினைவிற்கு வர வேண்டுமே? உதாரணத்திற்கு 3^ 2+4^ 2= 5^ 2.(3^ 2 எனில் 3X 3)  இதுபோல் ஒரு கணிதக் கோவை (mathematical expression) எப்போது வர்க்க எண்ணைக் கொடுக்கும் என்ற கேள்வி மிகவும் பழமையானது. மூவாயிரம் ஆண்டுகளுக்கு முன்பே மனிதகுலம் இதற்கான விடை அறிந்திருந்தனர்.

இராமானுஜன் 1913 ஆம் ஆண்டு 2^n - 7 என்ற கோவை எந்த n மதிப்புக்களுக்கு ஒரு வர்க்க எண்ணைக் கொடுக்கும் எனக் கண்டறிந்தார்.
n = 1,3,4,5,15 என்ற நான்கு மதிப்புக்களுக்கு மட்டும்  தான்  2^n - 7 ஒரு வர்க்க எண்ணாக இருக்கும் என்ற அனுமானத்தை முன்வைத்தார்.
அதாவது
 2^ 3-7 = 1 (1 இன் வர்க்கம்)
2^ 4-7 = 9 (3 இன் வர்க்கம்)
2^ 5-7 = 25 (5 இன் வர்க்கம்)
2^ 15-7 = 32768-7=32761 (181 இன் வர்க்கம்)

இதை 1948 ஆம் ஆண்டு நார்வேவைச் சேர்ந்த கணிதவியலாளர் நெகால் இதனை நிரூபித்தார். இதில் சுவையான விஷயம் என்னவென்றால்

2^n - D (D என்பது பொதுவான இயல் எண்ணைக் குறிக்கிறது)என்ற கோவை அதிக பட்சம் இரண்டு இயல் எண்களின் n மதிப்பிற்குத் தான் வர்க்க எண்ணாக  இருக்கும் என்ற முடிவு தான் இராமானுஜன் ஆராய்ந்த 2^n - 7 என்ற கோவை தனித்தன்மையானது எனத் தெரிய வந்தது.

 2^n - D என்ற கோவையில் D=7 க்கு மட்டும் நான்கு n மதிப்புக்களுக்கு வர்க்க எண்ணைக் கொடுக்கிறது.

இதிலிருந்து .இந்த மஞ்சுல் பார்கவா வீடியோவில் நுழைந்தால் சுவையான கணிதத்திற்குள் செல்லலாம்