இராமானுஜனின் இயல் எண்களின் பிரிவினைகள்

இராமானுஜனின் இயல் எண்களின் பிரிவினைகள் குறித்த பங்களிப்பு மிகவும் முக்கியமானது.  இயல் எண்களின் பிரிவினைகள் என்றால் என்ன?

1,2,3,4,5,6,7,.... ..  ...இயல் எண்களாகும். எத்தனை விதமாக இயல் எண்களின் கூட்டுத் தொகையாக ஓர் இயல் எண் எழுதப்பட முடியும் என்பதே இயல் எண்களின் பிரிவினைகள் ஆகும். இயல் எண் 2 க்கு 2 மற்றும் 1 + 1 என்ற இரண்டு பிரிவினைகள் உள்ளன.
2 = 2,
2=1+1
என்று இரண்டு விதமாக பிரித்து எழுதலாம்,
3=3,
3=2+1,
3=1+1+1
என்று மூன்றை மூன்று விதமாக பிரித்து எழுத முடிகிறது.
5=5,
5=4+1,
5=3+2,
5=3+1+1,
5=2+2+1,
5=2+1+1+1
5=1+1+1+1+1,
மற்றும்
6=6,
6=5+1,
6=4+2,
6=4+1+1,
6=3+3,
6=3+2+1,
6=3+1+1+1,
6=2+2+2,
6=2+2+1+1,
6=2+1+1+1+1,
6=1+1+1+1+1+1
என ஐந்து மற்றும் ஆறை முறையே 7 மற்றும் 11 விதமாக பிரித்து எழுதலாம். ஒவ்வொரு இயல் எண்ணுக்கும் எத்தனை பிரிவினைகள் இருக்கிறது என்பதை

p(1) = 1;p(2) = 2; p(3) = 3; p(4)=5;p(5)=7;p(6)=11 …………..

எனக் குறிக்கலாம். இதில் இராமானுஜனின் பங்கு என்ன? இந்த பிரிவினைகளில் இராமானுஜன் சில ஒழுங்குகளைக் கவனித்தார்.

அதாவது

P(4)=5

P(9)=30

P(14)=135

P(19)=490

P(24)=1575 ……………….

4  மற்றும் 9 இல் முடியும் இயல் எண்களின் பிரிவினைகளின் எண்ணிக்கை 5 ஆல் வகுபடும் எனக் கண்டறிந்தார்.

பொதுவாக  k=0,1,2,3,4,5… என்ற மதிப்புகளுக்கு

p(5k+4) இன் மதிப்பு 5 ஆல் வகுபடும் 

இதே போல் k=0,1,2,3,4,5… என்ற மதிப்புகளுக்கு

p(7k+5) இன் மதிப்பு 7 ஆல் வகுபடும் 

இதே போல் k=0,1,2,3,4,5… என்ற மதிப்புகளுக்கு

p(11k+6) இன் மதிப்பு 11 ஆல் வகுபடும் 

இங்கு 5,7,11 பகா எண்கள் என்பதைக் கவனிக்கவும். இதே போன்று மற்ற பகா எண்களுக்கும் இதே போன்று முடிவுகள் இருக்கும் என்றும், ஆனால் அவைகள் 5,7,11 போன்று எளிமையானதாக இருக்காது என்றும் இராமானுஜன் எழுதி வைத்தார்.