அ முத்துலிங்கத்தின் ‘அமெரிக்கக்காரி’ – நடைமுறை சிக்கல்கள் 

நான் அமெரிக்காவிற்கு புலம் பெயர்ந்த புதிதில், கென் என்ற ஒரு மிக நல்ல மனிதருடன் வேலை பார்க்கும் வாய்ப்பு கிடைத்தது. அவரிடமிருந்து அமெரிக்க வாழ்க்கை முறைகள் குறித்து பல விஷயங்கள் கற்றறிந்தேன். அவருடைய தந்தை வழிவந்தவர்கள் இத்தாலியையும், தாய் வழிவந்தவர்கள்  போலந்தையும் சேர்ந்தவர்கள். அவருடைய பெற்றோர்களுக்கு ஓரளவு இத்தாலி மற்றும் போலந்துடன் தொடர்பு இருந்தது எனவும், தானும் தன் மகளும் முழுமையான அமெரிக்கர்கள் எனவும் சொன்னார். அதிகபட்சம் புலம்பெயர்ந்த மூன்றாம் தலைமுறையினர்கள் அமெரிக்க கலாசாரத்துடன் ஒன்றி வாழப் பழகிக்கொள்கிறார்கள்  இன வேற்றுமை உணர்வுச் சிக்கல்களைப் பற்றி விவாதித்தபோது “இன்று கடுமையானச் சட்டஙகள் உள்ளன. எல்லா இனத்தவரும் வெளித் தோற்றத்தில் ஒற்றுமையாக இருப்பதாகத் தெரிகிறது. ஆனால் மனதளவில் வித்தியாசப்படுத்துதல், பாரபட்சம் பாராட்டுதல், உயர்வு மனப்பான்மை மற்றும் தாழ்வு மனப்பான்மை மறைந்ததாகக் கூற முடியாது. விரைவில் மறையும் வாய்ப்பு குறைவுதான்” என்று கென் கூறியது இன்றைக்கும் பொருந்துவதாகத்தான் இருக்கிறது.

. அ.முத்துலிங்கத்தின் “அமெரிக்கக்காரி” படித்தவுடன் நினைவில் வந்தது கென்னுடன் பல ஆண்டுகளுக்கு முன் நிகழ்ந்த இந்த உரையாடல்தான். புலம்பெயர்ந்த முதல் தலைமுறையினர்கள் கடந்து செல்லும் அனைத்தையும் மதியின் வாழ்க்கையில் காண முடிகிறது. பிரச்சினைகளின் தொடக்கம் ஆங்கில மொழி உச்சரிப்பு மற்றும் ஒரே பொருள் கொண்ட வெவ்வேறு வார்த்தைகளின் பயன்பாடு. புலம்பெயரும் ஊரைப் பொறுத்து எதிரெதிர் துருவத்தில் அமையும் சீதோஷ்ண நிலைக்கு சரிசெய்து கொள்வதும் கடினமானது. சிறு வயதில் அறிந்தும் அறியாமலும் மனதில் ஆழப் பதிந்துவிட்ட சில எண்ணங்களை விடவும் முடியாமல் பழக்க வழக்கங்களை மாற்றிக் கொள்ளவும் முடியாமல் ஒருவித குழப்பமான சூழலுடன்தான் முதல் சில துவக்க ஆண்டுகள் செல்லும். மேலும் புதிய கலாச்சாரத்தின் சில நல்ல கூறுகளைக் கடைபிடிப்பதிலும் மனச் சிக்கல்கள் தோன்றுவதைக் காண முடியும். இந்தியாவில் எப்படி கிரிக்கெட் குறித்து  பள்ளிகள், கல்லூரிகள் மற்றும் அலுவலகங்களில் விவாதிப்போமோ அதே போன்று பேஸ்பால், பேஸ்கட்பால், அமெரிக்க ஃபுட்பால் பற்றிய விவாதங்கள் நடக்கும். முழுவதும் பங்கு பெற முடியாவிட்டாலும், விவாதத்தைப் புரிந்து கொள்ளவாவது  நாம் அந்த விளையாட்டுகளைக் குறித்து அறிந்திருக்க வேண்டியது அவசியமாகிறது. என் மகன் பள்ளியில் படிக்கும்போது, காலை அவசரத்திலும் இணையத்தில் விளையாட்டு முடிவுகள், அது சம்பந்தமான கட்டுரைகள் படித்து விட்டுத் தான் கிளம்புவான். அவன் வயதொத்த மாணவர்களிடையேயான அழுத்தமே இதற்கு காரணம். இந்த விஷயத்தில் மதியின் அறியாமையை அ. முத்துலிங்கம் அழகாக சித்தரித்திருக்கிறார்.

அமெரிக்கக்காரியின் கதைக்களம் 90-களின் இறுதியில் அமெரிக்காவில் நடந்ததாக அமைக்கப்பட்டுள்ளது. இந்த இருபது ஆண்டுகளில் இன வேற்றுமைச் சிக்கல்கள் அதிகமாகி உள்ளது என்பதை மறுக்க முடியாது. என்னுடன் பணிபுரியும் சக அமெரிக்கர் பதினைந்து வயதான தன் பெண்ணிற்கு இன்னும் ஒர் ஆண் நண்பர் கிடைக்கவில்லையே என வருத்தப்பட்டார். ஆனால் இலங்கையில் வளர்ந்த மதி பதினெழு ஆண்டுகள் தரை பார்த்து நடந்திருக்கிறாள். இந்த கலாச்சார வேறுபாட்டின் விளைவே, மதியால் தன் காதலர்களைத் தக்க வைத்துக் கொள்வதிலோ அல்லது காதலர்களைத் தேர்வு செய்வதிலோ வெற்றி காணாமல் இருந்ததற்கான காரணம் எனலாம். தன்னைத் தேடி வந்த மூன்று ஆண்களுக்கும் உறவின் ஆரம்பமாக இருந்தது, மதிக்கு உறவின் முடிவானது. இந்த நாட்டில் குழந்தைகளுடன் கூட தொடர்ந்து உரையாடவும், அவர்களின் பிரச்சினைகளைப் புரிந்து கொள்ளவும் அறிவுறுத்தப்படுகிறது. தனி மனித சுதந்திரத்துக்கு குழந்தைப்பருவத்தில் இருந்தே இங்கு மதிப்பளிக்கப்படுவதால், அவர்கள் சுதந்திரமாய் முடிவெடுக்க ஊக்குவிக்கப்படுகிறார்கள். நாம் அவர்களைப் புரிந்து கொள்ள வேண்டும், எதையும் கட்டாயப்படுத்த முடியாது. ஆனால் மதி பெரியவர்களின் சொல்படியும், கட்டளைகளுக்கு அடிபணிந்தும் வாழ வேண்டும் என வளர்க்கப்பட்டவள். புலம் பெயர்ந்தவுடன் சொந்தமாக முடிவுகளை எடுத்து தன் வாழ்க்கைப் பயணத்தைத் தொடருவதில் சங்கடங்களை எதிர் கொள்கிறாள். முதல் காதலன் தன் அறைக்கு அழைத்தவுடன், அவனுடன் உரையாடி அவனைப் புரிந்து கொள்ளவோ அல்லது தன் தரப்பை விளக்கவோ மதி முயலவில்லை. தன் குடும்பத்தாரை அறிமுகப்படுத்திய மூன்றாவது காதலனுடனாவது இரண்டு மணி நேர கார் பயணத்தில் தன் மனநிலையை விளக்கியிருக்கலாம். இந்த உரையாடல்கள் மூலம் அமெரிக்க வாழ்வின் யதார்த்தாங்களை ஓரளவுக்காவது புரிந்து கொண்டிருக்கலாம்.

மதி புலம் பெயர இலங்கையின் உள் நாட்டுப் போரும் ஒரு காரணி. தன் தாயைத் தவிர வேறு உறவும் இல்லை. இலங்கையிலிருந்து அமெரிக்கா வந்து அந்த பல்கலைக்கழகத்தில் படிக்கும் ஒரே நபர். இத்தனைச் சிக்கல்களிருந்தும் விடுபட்டு தெளிவு பெற மூன்று ஆண்டுகள் மதிக்குத் தேவைப்படுகிறது. மதிக்கு வியட்நாமைச்  சேர்ந்த லாங்ஹன் பிடித்ததற்கு காரணம், அவன் தன்னை படுக்கை அறைக்கு அழைக்காததா அல்லது தனிமையும், சிறிது முதிர்ச்சியும் கொடுத்த புரிதலா? வேறு காரணங்களும் இருக்கலாம். திருமணத்திற்கு பின்பான லாங்ஹன்னின் அன்பும், அரவணைப்பும் மதிக்குத் தன் இலட்சியத்தை அடைய உதவுகிறது.  நான்கு ஆண்டுகளாக குழந்தை பிறக்காததற்கு தான் மட்டுமே காரணம் என்பதால், தன்னைப் பிரிந்து செல்லலாம் என லாங்ஹன் சொல்வதை மதி நிராகரிப்பது கதையில் ஓர் அருமையான தருணம். பொதுவாக அமெரிக்கர்களிடையே திருமண பந்த்ததின் பிணைப்பு மிகவும் மெலிதானது என்ற எண்ணம் பரவலாக இருக்கிறது. இங்கு வருவதற்கு முன் என் எண்ணமும் இதையொட்டித் தான் இருந்தது. ஆனால் இருபந்தைத்து வருடத்திற்கு மேல் திருமண வாழ்க்கையை வெற்றிகரமாக தொடரும் நண்பர்கள் இருக்கிறார்கள்.

தன்னால் முடியவில்லை என்றாலும் வியட்நாமியுடன் சேர்ந்து வாழும் இலங்கைக்காரியான தனக்கு ஆப்பிரிக்க இனத்தவரின் விந்தீடு மூலம் பிறக்கும் பெண் குழந்தை கலாச்சார சிக்கல்கள் எதிர்கொள்ளாமல் சுதந்திரமாக வாழும் என்பதே மதிக்கு பெரியளவில் நிம்மதியைக் கொடுக்கிறது.

இலக்கியம் பற்றிப் பேசும்போது நாம் பொதுமைப்படுத்திப் பேசுவது இயல்பு. ஆனால், மதி புலம்பெயர்ந்தவர்களின் மனநிலையை வெளிப்படுத்தினாலும் அவள் அவர்களின் பிரதிநிதியல்ல. இனத்தேசீயவாதம் காரணமாக போர் நிகழ்ந்த இலங்கைச் சூழலில் மதியின் தேர்வுகள் கவனிக்கத்தக்கவை. அவள் வியட்நாமியனைக் காதலித்து மணம் புரிந்து, ஆப்பிரிக்கரின் விந்தணுவை ஏற்று பிள்ளை பெற்றுக் கொள்கிறாள். எத்தனை தமிழர்கள் இப்படிச் செய்வார்கள்? தன் பின்னணியையும் தன் தாயகத்தையும் பார்த்து தன் பெண்ணைப் பார்க்கும்போது மதியின் மனநிலை என்னவாக இருக்கும்?

மதி அமெரிக்கக்காரியோ இல்லையோ, அவளை ஒரு தனித்துவம் கொண்ட மனுஷியாகப் படைத்திருப்பதில் அ. முத்துலிங்கம் வெற்றி பெறுகிறார். அதுவே இதை ஒரு உயர்ந்த படைப்பாகவும் ஆக்குகிறது.

"பதாகை" இணைய இதழில் வெளியானது.

அ.முத்துலிங்கம் அவர்களின் ‘அமெரிக்கக்காரி‘ சிறுகதை

எண் 2017 - புத்தாண்டு வாழ்த்துகள்

மார்கழி மாதத்தில் விடுமுறை நாட்களில் கோவிலுக்குச் சென்று திருப்பாவை படிப்பது வழக்கம். எங்க ஊரில் 9 மணிக்குத் தான் கோவில் திறக்கும். 10 மணி வாக்கில் திருப்பாவை வாசிப்பு தொடங்கும். மொத்தமே பத்து நபர்கள் இருந்தால் அதுவே அதிகம். அதில் ஐந்து பேராவது தமிழ் படிக்கத் தெரிந்தவர்களாக இருப்பார்கள். அவர்களுடன் படிப்பது நல்ல அனுபவம். ஒரு தெலுங்கு நண்பரும் வருவார்.அவர் தமிழ் படிப்பதைக் கேட்பதும் ஓர் அனுபவம் தான். அவர் இன்று கோவிலை விட்டு கிளம்பும் போது "2017"  எப்படி எனக் கேட்டார்.அவர் கெட்ட  நேரம்.

நான் 2017 ஒரு பகா எண் (Prime Number). அடுத்த பகா எண் வருடம் 2027 என்றேன். அவர் நல்ல நேரம். தொலைபேசி சிணுங்கியது. மனைவி அழைக்கிறார் என்று பவ்யமாக பேசிக் கொண்டே சென்று விட்டார். சரி அவரிடம் சொல்ல விட்டதை இங்கு எழுதி விடலாம் என்று முடிவு செய்தேன். இதற்கு மேலும் தொடர்ந்து படிப்பது உங்கள் தைரியத்தைப் பொருத்தது.

பகா எண் என்றால் என்ன? p > 1 என்ற எந்தவொரு இயல் எண்ணுக்கும் இரணடு காரணிகள் மட்டுமே இருந்தால் அதை பகா எண் என்கிறோம். 2017 க்கு 1 மற்றும் 2017 என்ற இரண்டு காரணிகள் தான் உள்ளன. 2017 ன் மற்ற இயல்புகளைப் பார்ப்போம். 2017 ஐ இரண்டு எண்களின் வர்கத்தின் கூட்டுத் தொகையாக எழுதலாம். அதாவது

                   2017 = 1936 + 81 = 44X44 + 9X9

மேலும் பைத்தாகரஸ் தேற்றம் படித்தது நினைவிருக்கலாம். ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் ஒரு பக்கத்தின் அளவு 792 மற்றும் அடுத்த பக்கத்தின் அளவு 1885 எனக் கொண்டால், கர்ணத்தின் அளவு 2017 ஆக இருக்கும். அதாவது

              2017X2017= 792X792 + 1855X1855

2017, 792 மற்றும் 1885 என்ற மூன்று எண்களுக்கும் பொதுவான காரணி 1 தான். அதனால் (792,1885,2017) ஐ பைத்தாகோரஸின் தொடக்கநிலை மூவர்கள் (triplets) எனலாம். இதை மேலும் புரிந்து கொள்ள (6,8,10) என்ற பைத்தாகோரஸின் மூவர்களுக்கு (3,4,5) பைத்தாகோரஸின் தொடக்கநிலை மூவர்கள் ஆகும்.

இப்போது கலப்பு எண்கள் உலகத்தில் 2017 ஒரு பகா எண்ணாக இருக்குமா? இரண்டாவது பரிமாணத்தில் ஒரு புள்ளியைக் குறிக்க வேண்டுமானால் அதற்கு இரண்டு எண்கள் தேவைப்படுகிறது.(1,1) என்ற புள்ளியை எடுத்துக் கொள்வோம். இதில் ஓர் அலகு x-அச்சில் நகர்ந்து, பிறகு அதற்கு செங்குத்தாக ஓர் அலகு நேரே மேலாக சென்றால் (1,1) என்ற புள்ளியை அடைந்து விடலாம். இதையே

Z = 1+1i  என எழுதுவோம். இதில் i என்பது -1 ன் வர்கமூலமாகும்.

I = sqt(-1) . இப்போதைக்கு i என்றால் செங்குத்தாக பயணிப்பது எனக் கொள்வோம். கலப்பு எண்கள் குறித்த விரிவான பதிவு பிறகு எழுதப் பார்க்கிறேன். இப்போது

2017 = (44+9i)(44-9i)

என எழுதலாம். எனவே கலப்பு எண்களைக் கணக்கில் கொண்டால் 2017 ஒரு பகா எண்ணாக இருக்காது.

எல்லா நண்பர்களுக்கும் என் புத்தாண்டு வாழ்த்துகள்.

இராமானுஜனின் இயல் எண்களின் பிரிவினைகள்

இராமானுஜனின் இயல் எண்களின் பிரிவினைகள் குறித்த பங்களிப்பு மிகவும் முக்கியமானது.  இயல் எண்களின் பிரிவினைகள் என்றால் என்ன?

1,2,3,4,5,6,7,.... ..  ...இயல் எண்களாகும். எத்தனை விதமாக இயல் எண்களின் கூட்டுத் தொகையாக ஓர் இயல் எண் எழுதப்பட முடியும் என்பதே இயல் எண்களின் பிரிவினைகள் ஆகும். இயல் எண் 2 க்கு 2 மற்றும் 1 + 1 என்ற இரண்டு பிரிவினைகள் உள்ளன.
2 = 2,
2=1+1
என்று இரண்டு விதமாக பிரித்து எழுதலாம்,
3=3,
3=2+1,
3=1+1+1
என்று மூன்றை மூன்று விதமாக பிரித்து எழுத முடிகிறது.
5=5,
5=4+1,
5=3+2,
5=3+1+1,
5=2+2+1,
5=2+1+1+1
5=1+1+1+1+1,
மற்றும்
6=6,
6=5+1,
6=4+2,
6=4+1+1,
6=3+3,
6=3+2+1,
6=3+1+1+1,
6=2+2+2,
6=2+2+1+1,
6=2+1+1+1+1,
6=1+1+1+1+1+1
என ஐந்து மற்றும் ஆறை முறையே 7 மற்றும் 11 விதமாக பிரித்து எழுதலாம். ஒவ்வொரு இயல் எண்ணுக்கும் எத்தனை பிரிவினைகள் இருக்கிறது என்பதை

p(1) = 1;p(2) = 2; p(3) = 3; p(4)=5;p(5)=7;p(6)=11 …………..

எனக் குறிக்கலாம். இதில் இராமானுஜனின் பங்கு என்ன? இந்த பிரிவினைகளில் இராமானுஜன் சில ஒழுங்குகளைக் கவனித்தார்.

அதாவது

P(4)=5

P(9)=30

P(14)=135

P(19)=490

P(24)=1575 ……………….

4  மற்றும் 9 இல் முடியும் இயல் எண்களின் பிரிவினைகளின் எண்ணிக்கை 5 ஆல் வகுபடும் எனக் கண்டறிந்தார்.

பொதுவாக  k=0,1,2,3,4,5… என்ற மதிப்புகளுக்கு

p(5k+4) இன் மதிப்பு 5 ஆல் வகுபடும் 

இதே போல் k=0,1,2,3,4,5… என்ற மதிப்புகளுக்கு

p(7k+5) இன் மதிப்பு 7 ஆல் வகுபடும் 

இதே போல் k=0,1,2,3,4,5… என்ற மதிப்புகளுக்கு

p(11k+6) இன் மதிப்பு 11 ஆல் வகுபடும் 

இங்கு 5,7,11 பகா எண்கள் என்பதைக் கவனிக்கவும். இதே போன்று மற்ற பகா எண்களுக்கும் இதே போன்று முடிவுகள் இருக்கும் என்றும், ஆனால் அவைகள் 5,7,11 போன்று எளிமையானதாக இருக்காது என்றும் இராமானுஜன் எழுதி வைத்தார்.

சங்க இலக்கியப் பயிலரங்கம் டெட்ராயிட்

திருமதி. வைதேஹி ஹெர்பெர்ட் அவர்களின் சங்க இலக்கியப் பயிலரங்கம் டெட்ராயிட் நகரில் ஆகஸ்ட் திங்கள் 15-16 ஆகிய நாட்களில் மிகச் சிறப்பாக நடைபெற்றது. நண்பர் திருமூர்த்தியின் முன்னெடுப்பில் "தமிழ் மறுமலர்ச்சி இயக்கம்" எனும் அமைப்பை நடத்தி வரும் டாக்டர் இராஜாராமன் மற்றும்  மிச்சிகன்  தமிழ் சங்கம் உதவியில் இந்தப் பயிலரங்கம் நடத்தப்பட்டது. இவர்களுக்கு எத்தனை நன்றி சொன்னாலும் தகும்.

இங்கொன்றும், அங்கொன்றுமாக சங்க இலக்கியம் படித்திருக்கிறேன். குறிப்பாக பிற்கால இலக்கியங்கள் படிக்கும் போது, தமிழ்ர்கள்  வாழ்வு முறை மற்றும் தமிழ் மரபின் தொடர்ச்சியாக சங்க இலக்கியத்தை மேற்கோள் காட்டுவதின் மூலம் சென்றடைந்த வாசிப்பு அனுபவம் தவிர பெரிய அளவில் ஈடுபாடு இருந்ததில்லை என்பது தான் உண்மை. ஆனால் அந்த எண்ணத்தை முற்றிலும் மாற்றியது இந்தப் பயிலரங்கமெனில், அது மிகையாகாது.

சங்க இலக்கியத்தின் முக்கியக் கூறுகளை அறிமுகம்படுத்தும் விதமாக எழுதப்பட்ட "Sangam Literature: A Beginner's Guide" என்ற புத்தகம், இந்த பயிலரங்கத்தில் கலந்து கொண்ட அனைவருக்கும் இலவசமாகக் கொடுக்கப்பட்டது. முதல் நாள் பயிலரங்கில் பகிரப்பட்டவைகள்(நினைவிலிருந்து):

1. சங்க இலக்கியம் 18 நூல்களால் ஆனது.  பத்துப்பாட்டு எனப்படும் (முல்லைப் பாட்டு, நெடுநல் வாடை போன்ற) பத்து நீண்ட பாடல்கள் மற்றும் எட்டுத்தொகை எனப்படும் (குறுந்தொகை, ஐங்குறுநூறு போன்ற) 8 தொகை நூல்கள்.

2. சங்க இலக்கியக் காலம் தோராயமாக கி.மு.400 - கி.பி 300 வரை எனலாம்.

3. அகம், புறம். அகப்பாடல்களில் தலைவன், தலைவி, தோழி,தாய், செவிலித் தாய் - இவர்களிடையேயான உணர்ச்சிப் பகிர்தல். புறப் பாடல்களில் போர் மற்றும் மன்னர்களின் பெருமைகள், வெற்றி குறித்த தகவல்கள் இடம் பெற்றுள்ளன. உள்ளங்கை -அகம் மற்றும் புறங்கை  - புறம் என்ற ஒப்பீடு நச்சினர்க்கினியாரால் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.

4. குறிஞ்சித் திணை, முல்லைத் திணை, பாலைத் திணை, நெய்தல் திணை மற்றும் மருதத் திணை குறித்து விரிவாக வைதேஹி அவர்கள் எடுத்துரைத்தார்கள். மேலும் உதாரணத்திற்கு சில பாடல்களும் படிக்கப்பட்டு பொருளும் விரித்துரைக்கப்பட்டது.

5. கிட்டத்தட்ட சங்க இலக்கியக் காலத்தில் ஏற்றத்தாழ்வற்ற ஒரு சமூகம் இருந்ததாகத் தெரிகிறது. இழிசினன் என்ற சொல்லின் சங்க  இலக்கியப் பயன்பாடு குறித்த நீண்ட உரையாடல் நடந்தது. வைதேஹி அவர்கள் ஜைன மதத்தின் தாக்கம் தான் இத்தகைய சொல்லாடலுக்கு வழி வகுத்தது என்று தாம் உறுதியாக நம்புவதாகக் கூறினார். ஜைன நம்பிக்கையின் அடிப்படையில் இது இறங்கு முகமாக செல்லும் பிறப்பினை குறிப்பதே தவிர, பிறப்பாலோ இல்லை செய்யும் தொழிலைக் கொண்டோ வரையறுக்கப் பட்டதில்லை என்றார். ஆனால் இதில் அறிஞர்கள் இடையே கருத்து வேறுபாடு இருக்கிறது. இதைக் குறித்து மேலும் அறிந்து கொள்ள இராஜம் அவர்களின் சமீபத்திய புத்தகத்தை படிக்குமாறு பரிந்துரைத்தார்.

6. வைதேஹி அவர்கள் பல அறிஞர்களின் உரையையும்  படிப்பதின் மூலம், சங்க கால தமிழ் மரபு, வாழ்க்கை  முறை மற்றும்  அன்றைய இயற்கைச் சூழல் போன்றவற்றை திருத்தமாக அறிந்து கொள்ளலாம் என்றார்.குறிப்பாக குறுந்தொகைக்கு  உ. வே.சா  மற்றும் புறநானூறுக்கு அவ்வை துரைசாமி நூல்களைக் குறிப்பிட்டார். . மேலும் ஐராவதன் மகாதேவன் அவர்களின் புத்தகங்களைப் படிக்க வேண்டியதின்  முக்கியத்துவத்தையும் எடுத்துரைத்தார்.

வைதேஹி அவர்கள் சங்க இலக்கிய மொழி பெயர்ப்பு செய்தது மட்டுமின்றி, வடக்கு அமெரிக்கா  மற்றும் கனடாவின் முக்கிய நகரங்களில் இதைப் போன்ற "இலவச" சங்க இலக்கியப் பயிலரங்கங்கள் நடத்தி வருகிறார். இந்த மகத்தானத் தொண்டு  பாராட்டப் பட வேண்டியது. இவரின் ஆங்கில மொழி பெயர்ப்பு குறித்து சமீபத்தில் கடுமையான விமர்சனங்கள் முன் வைக்கப்பட்டுள்ளன.. தமிழில் எதை எழுதினாலும் கிணற்றில் போட்ட கல் போல் அது காணாமல் போவது தான் இயல்பு.. இந்தளவுக்கு அவர் உழைப்பு கவனம் பெறுவது, ஆறுதல் அளிப்பதாகவே இருக்கிறது. மேலும் வைதேஹி அவர்கள் ஆங்கிலத்தை ஒரு கருவியாகப் பயன்படுத்தி, இந்த ஒப்பற்ற இலக்கியத்தை பலருக்கும் சென்றடைய மேற்கொண்ட முயற்சி வரவேற்கத்தக்கது. 

இரண்டாம் நாள் நிகழ்வுக்கு செல்ல முடியவில்லை. அதைக் குறித்த குறிப்பை வேறு யாரும் பகிர்வார்கள் என நினைக்கிறேன்.

ஜான் நேஷ் (John Nash) - இயற்கையான கணித மேதை

ஜான் நேஷ் என்றவுடன் நினைவுக்கு வருவது "A Beautiful Mind" சினிமா மற்றும் கேம் தியரியில் அவரின் பங்களிப்புக்கு கிடைத்த நோபெல் பரிசும் தான். இவைகளைக் குறித்து நிறையவே எழுதப்பட்டுவிட்டது.நேஷ் மேற்கொண்ட மிக முக்கியமான அடிப்படைக் கணித ஆராய்ச்சிக்காக இந்த ஆண்டுக்கான ஏபல் பரிசு கொடுக்கப்பட்டது. இந்த பரிசை லூயி நிறன்பர்க் (Louis Nirenberg) உடன் பகிரிந்து கொண்டார்.

நேஷின் திறமை இளம் வயதிலேயே கண்டறியப் பட்டதில் அதிசயம் ஏதும் இல்லை. அவர் முதுகலைப் பட்டப் படிப்புப்  படிக்க புகழ்பெற்ற பிரின்ஸ்டன் பல்கலைகழகத்திற்கு விண்ணப்பித்த சமயம் அவர் பேராசிரியர் கொடுத்த சிபாரிசுக் கடிதத்தைப் பாருங்கள்.

இதை விட சிறந்த சிபாரிசுக் கடிதம் வேறு யாருக்கும் கிடைக்க கூடுமா என்பது சந்தேகம் தான்.சமீபத்தில் அவர் காலமானாலும், அவரின் கணிதப் பங்களிப்பு நிரந்திரத் தன்மை கொண்டது.

நேஷ் வடிவியல்(Geometry) மற்றும் பகுதி வகைக்கெழு சமன்பாடுகளில்(Partial Differential Equations) தன் பங்களிப்பைச் செய்தார்.இவரின் ஆராய்ச்சியின் முக்கியக் கூறுகளை கோடிட்டுக் காட்டுவது தான்  இந்தக் கட்டுரையின் நோக்கம். மேலும் வடிவியல் மற்றும் வகைக்கெழுவின் வளர்ச்சி குறித்த கணித வரலாற்றையும் சிறிது காணலாம்.

யூக்ளிட் (Euclid)முதல் ரீமான் (Riemann) வரையிலான வடிவியல் அடைந்த வளர்ச்சியைக் குறித்து முதலில் பார்ப்போம்..மனித நாகரீகத் தொடக்கத்தில் விளை நிலத்தின் வடிவம், அதன் பரப்பளவு அறிய விவசாயிகள்  முற்பட்டனர்.    இது தான் வடிவியலின் தொடக்கம் எனலாம்.  மிகவும் தொன்மையான நாகரீகங்களான இந்தியா, சீனா மற்றும் எகிப்து  வடிவியலைப்  பயன்படுத்திய விதம் அறிய மிகவும்சுவையாக இருக்கிறது. உதாரணத்திற்கு எகிப்தில் ஒரே அளவிலான 12 கயிறுகளை கீழேயுள்ள படத்தில் இருப்பது போல் இணைத்து விடுவார்கள்.  ஐந்து தொடர்ச்சியான கயிற்றுத்  துண்டுகளை B  விலிருந்து C க்கு இழுத்துப் பிடித்து, மூன்று தொடர் துண்டுகளை கொஞ்சம் கூட தொய்வில்லாமல் A வில் வளைத்து, மீதமுள்ள நான்கு துண்டுகளை B வரை  சேர்த்து விடலாம். 3-4-5 அளவுகள் கொண்ட ஒரு செங்கோண முக்கோணம் கிடைப்பதைப் பார்க்கலாம்..

 

இது போல் தமிழிலும் ஒரு கவிதை இருக்கிறது..

                

                 "ஓடும் நீளம் தனை ஒரேஎட்டுக்

                     கூறு ஆக்கி கூறிலே ஒன்றைத்

                    தள்ளி குன்றத்தில் பாதியாய்ச் சேர்த்தால்

                    வருவது கர்ணம் தானே. "

இந்தக் கவிதை 8-6-10  என்ற செங்கோண முக்கோணத்தைக் குறிப்பதைக் காணலாம். புகழ்பெற்ற "பித்தகோரஸ் தேற்றத்த்தின்" சில கூறுகளை இந்தப் பழமை நாகரீகங்கள் அறித்திருந்தது எனத் தெரிகிறது. இதெல்லாம் பிதகோரஸ் தேற்றத்தின் மறுதலைக்கு(Converse of Pythagoras Theor  உதாரணங்கள் என எடுத்துக் கொள்ளலாம். முயற்சி மற்றும் தவறு (Trial and Error) முறையில் இதைக் கண்டறிந்திருக்கலாம்.எப்படி மற்றும் ஏன் என்ற கேள்விகள் எகிப்திய நாகரீகத்தில் கேட்கும்படியான சூழ்நிலை இல்லை எனலாம். அன்றிந்த ஆட்சி மற்றும் சமுதாய அமைப்பே அதற்கு காரணம் எனக் கூறப்படுகிறது.

அதே சமயம் மற்றொரு பழமை நாகரீகமான பாபிலோனியன்ஸ் அறிந்த பிதகோரஸ் தேற்றம்  எகிப்து நாகரீகத்தை விட சற்று கூடுதலாகவே இருந்ததாக கண்டறியப்பட்ட சாட்சியங்கள் மூலமாக அறிகிறோம். இது 1900 -1600 B.C காலகட்டம். இந்த நாகரீகத்தில் "எப்படி" என அறியும் முயற்சி இருந்ததாகத் தெரிகிறது. ஆனால் மிக முக்கியமான "ஏன்" என்ற கேள்வி கேட்கப்பட்டதாகத் தெரியவில்லை. அதற்கு 1000 B.C வரை கிரேக்க நாகரீகத்திற்கு காத்திருக்க வேண்டியதாகியது. 

     ......தொடரும் ....

இயக்குநர் கே.பாலசந்தர் நினைவில் ..

இயக்குநர் கே.பாலசந்தர் ஒரு முழுமையான வாழ்க்கையைத்தான் வாழ்ந்து சென்றுள்ளார். இருந்தாலும் ரொம்பவுமே வருத்தமாக இருக்கிறது அவர் படைப்புகள்  எனக்கு மிகவும் பிடிக்கும்.குறிப்பாக தப்புத் தாளங்கள், அவர்கள், நிழல் நிஜமாகிறது.அவர் படங்களின் பாடல்கள் மிக அருமையாக இருக்கும். வி.குமார், M.S விஸ்வநாதன்  , இளையராஜா மற்றும் A.R. ரஹ்மான் வரை எல்லா இசை அமைப்பாளர்களையும் நன்றாக பயன்படுத்தியிருப்பார். நிழல் நிஜமாகிறது சினிமாவில் இரண்டே பாடல்கள் தான். தேன் சுவை. உன்னால் முடியும் தம்பி பாடல்கள் மற்றும் பின்னணி இசை இன்றும் காதில் ஒலித்துக் கொண்டிருக்கிறது. டூயட்டிலும் சௌக்கியமான இசை.

தப்புத் தாளங்கள் சினிமாவில் ரஜினியின் தம்பி சரிதாவைப் பார்த்து விட்டு போன செய்தி ரஜினிக்குத் தெரிந்தவுடன் வரும் காட்சியில் , ரஜினியும் ,சரிதாவும் போட்டி போட்டுக் கொண்டு நடித்திருப்பார்கள். ஒரு காட்சியில்  வந்தாலும் கமல் அசத்தியிருப்பார்.   "நாய் வித்த காசு குறைக்கும்' இது" நினைவிருக்கிறதா?



அவர்களில் ரஜினியை சாடிஸ்ட் ரோலில் மிளிர வைத்திருப்பார் கே.பி. நிழல் நிஜமாகிறதில் கம்பன் ஏமாந்தான் பாடலில் கமல் நடிப்பும், இலக்கணம் மாறுதோ பாடலில் சுமித்ரா நடிப்பும் இன்றும் கண்களில் நிற்கிறது. ஆனாலும் ஷோபா எல்லோரையும் தூக்கிச் சாப்பிட்டுருப்பார்.

பாமா விஜயம் சினிமாவில் நடுத்தர வர்க்கத்தினரின் பகட்டை வெளிப்படுத்தியிருந்த விதம் அற்புதம்.

நாகேஷை ஒரு சிறந்த குணச்சித்திர நடிகராக பரிமளிக்க வைத்ததில் கே.பி யின் பங்கு மிக முக்கியம்.

சின்னத்திரையில் "இரயில் சிநேகம்" என்ற தொடரில் டைட்டில் பாட்டாக வந்த "அந்த வீணைக்குத் தெரியாது அதை செய்தவன் யாரென்று" சஹானா ராகப் பாடல் எனக்கு மிக மிகப் பிடித்த ஒன்று.

இப்படி எழுதிக் கொண்டே போகலாம். எல்லா பிரபலங்களுக்கும் அவர்கள் துறையில் கோலோச்சும் கால கட்டம் உண்டு. கே.பி யும் ஒரு கால கட்டத்தில் தமிழ் சினிமாத் துறையில் கோலோச்சினார்.இன்று அவர் நம் மத்தியில் இல்லை என்பது வருத்தம் தான். 

இராமானுஜன் - 127

இராமானுஜனின் பிறந்த நாளான டிசம்பர் 22 ஆம் தேதி அவரின் கணிதப் பங்களிப்பின் ஒரு துளியைப் பற்றி இங்கு பார்ப்போம்.


(நன்றி: http://filmzznwzz.blogspot.com/2011/12/happy-birthday-srinivasa-ramanujan.html)
குழந்தைகளுக்கான ஒரு சிறிய புதிருடன் தொடங்குவோம். குழந்தையிடம் ஒரு இயல் எண்ணை (சிறிய எண்ணாக இருந்தால் நல்லது) நினைத்துக் கொள்ளச் சொல்லவும். அந்த எண்ணுடன் 9 யைக் கூட்டச் சொல்லவும். கூட்டி வந்த விடையை இரண்டால் பெருக்கி, கிடைக்கும் எண்ணிலிருந்து 4 யை கழித்த பின் இரண்டால் வகுக்கச் சொல்லவும்.இறுதியில் முதலில் நினைத்துக் கொண்ட எண்ணை கழித்தால் 7 என்ற எண் எப்போதுமே விடையாகக் கிடைப்பதைப் பார்க்கலாம்.

உதாரணமாக 15 என்ற எண்ணை எடுத்துக் கொள்வோம்.
15+9 =24
24X 2= 48
48-4 44
44/2= 22
22-15 = 7

இதில் பெரிய புதிர் ஒன்றுமில்லை என்பது நமக்குத் தெரியும். ஆனால் குழந்தைகளுக்கு ஒரு சுவாரசியமான அனுபவமாக இருக்கலாம்.

ஒவ்வொருவருக்கும் ஓர் எண் பிடித்தமானதாக இருக்கும். எம்.ஜி.யாருக்கு இராசியான எண்  9 என்பார்கள் என நினைவு. 7 என்ற எண் எனக்கு மிகவும் பிடித்த எண். அலெக்ஸ் பெல்லோஸ் என்பவர் உலகளவில் பிடித்தமான எண் கண்டறிய நடத்திய ஓட்டெடுப்பில் 7 வெற்றி பெற்றுள்ளதை இங்கு காணலாம்.

சரி இராமனுஜனுக்கும் 7 என்ற எண்ணுக்கும்  என்ன தொடர்பு?  இரண்டு இயல் எண்களை எடுத்துக் கொள்வோம். அந்த எண்களின் வர்க்கங்களின் கூட்டுத்தொகை ஒரு வர்க்க எண்ணாக(square number) இருக்குமா? பள்ளி நாட்களில்  படித்த "பிதகோரஸ்" தேற்றம் நினைவிற்கு வர வேண்டுமே? உதாரணத்திற்கு 3^ 2+4^ 2= 5^ 2.(3^ 2 எனில் 3X 3)  இதுபோல் ஒரு கணிதக் கோவை (mathematical expression) எப்போது வர்க்க எண்ணைக் கொடுக்கும் என்ற கேள்வி மிகவும் பழமையானது. மூவாயிரம் ஆண்டுகளுக்கு முன்பே மனிதகுலம் இதற்கான விடை அறிந்திருந்தனர்.

இராமானுஜன் 1913 ஆம் ஆண்டு 2^n - 7 என்ற கோவை எந்த n மதிப்புக்களுக்கு ஒரு வர்க்க எண்ணைக் கொடுக்கும் எனக் கண்டறிந்தார்.
n = 1,3,4,5,15 என்ற நான்கு மதிப்புக்களுக்கு மட்டும்  தான்  2^n - 7 ஒரு வர்க்க எண்ணாக இருக்கும் என்ற அனுமானத்தை முன்வைத்தார்.
அதாவது
 2^ 3-7 = 1 (1 இன் வர்க்கம்)
2^ 4-7 = 9 (3 இன் வர்க்கம்)
2^ 5-7 = 25 (5 இன் வர்க்கம்)
2^ 15-7 = 32768-7=32761 (181 இன் வர்க்கம்)

இதை 1948 ஆம் ஆண்டு நார்வேவைச் சேர்ந்த கணிதவியலாளர் நெகால் இதனை நிரூபித்தார். இதில் சுவையான விஷயம் என்னவென்றால்

2^n - D (D என்பது பொதுவான இயல் எண்ணைக் குறிக்கிறது)என்ற கோவை அதிக பட்சம் இரண்டு இயல் எண்களின் n மதிப்பிற்குத் தான் வர்க்க எண்ணாக  இருக்கும் என்ற முடிவு தான் இராமானுஜன் ஆராய்ந்த 2^n - 7 என்ற கோவை தனித்தன்மையானது எனத் தெரிய வந்தது.

 2^n - D என்ற கோவையில் D=7 க்கு மட்டும் நான்கு n மதிப்புக்களுக்கு வர்க்க எண்ணைக் கொடுக்கிறது.

இதிலிருந்து .இந்த மஞ்சுல் பார்கவா வீடியோவில் நுழைந்தால் சுவையான கணிதத்திற்குள் செல்லலாம்




                   

மிச்சிகன் தமிழ் சங்கம் - தமிழ்நாடு அறக்கட்டளை இணைந்து நடத்திய நாடகம்

சென்ற ஞாயிறு டிசம்பர் 14 ஆம் தேதி மிச்சிகன் தமிழ் சங்கமும்  - தமிழ்நாடு அறக்கட்டளையும்  இணைந்து நடத்திய நகைச்சுவை நாடகம் பஞ்சதந்திரம்  காண  துணைவியாருடன் சென்றிருந்தேன். தமிழ்நாடு அறக்கட்டளை செய்து வரும் மகத்தான பொதுச் சேவைக்கு நிதி சேர்க்கும் முகமாக இந்த நாடகம் நடத்தப்பட்டது. பஞ்சதந்திரம் நாடகம் அமெரிக்காவின் சில முக்கிய நகரங்களில் நடத்தப்பட்டு நல்ல வரவேற்பு கிடைத்ததாக அறிவித்தார்கள்.

இந்த நாடகத்தை சந்திரமௌலி எழுதியுள்ளார்கள். டெட்ராய்டில் இதைத்  தயாரித்து, இயக்கியவர் பழகுவதற்கு இனிமையானவரும் மற்றும் மரியாதைக்குரியவருமான டாக்டர் வெங்கடேசன் .அம்புஜா வெங்கடேசன்  குரலில் தெளிவான தமிழில் ஒலித்த கதைக்களத்துடன் நாடகம் தொடங்கியது. நாடகத்தில் நடித்த எல்லா நடிகர்களையும் என்னால் இனம் காண முடியவில்லை.ஒரு நிறுவனத்தின் உதவி பொது மேலாளர் பஞ்சாபிகேசனைச் சுற்றி கதை நகர்கிறது.பஞ்சபிகேசனாக நடித்தவர் நன்றாகச்  செய்திருந்தார். டாஸ்மாக், போலி சாமியார்கள் (குறிப்பாக நித்தியானந்தா?) போன்ற சமீப கால தமிழ்நாடு செய்திகளையும், ஆப்பிள், அண்ட்ராயிட், கூகிள்  என தற்கால பங்களிப்புகளையும் மற்றும் 70 களின் ஆனந்தவிகடன் ஜோக்குகளையும் வைத்து ஒரு நகைச்சுவை நாடகத்தைக் கொடுத்திருக்கிறார்கள். தொழில்முறை இல்லாத ஒரு குழுசெய்த இந்த முயற்சி பாராட்டத்தக்கது.

பஞ்சபிகேசன் மனைவியாக நடித்தவரின் டயலாக் டெலிவரி தொழில் முறை நடிகரை ஒத்திருந்தது. டாஸ்மாக் கடை முதலாளியாக வந்த ராக்கெட் ராஜா (சதீஷ்) மற்றும் அவர் அல்லக்கையாக நடித்தவர்(தேசிகன் ) அமர்களம்.என்ன சிங்கம் சூரியா - அனுஷ்கா போல உயரம் கொஞ்சம் பிரச்சனை. தேசிகன் ரொம்பவுமே குனிய வேண்டியதாகி விட்டது. சாமியார் (ஆனந்த்) மற்றும் அவரின் சிஷ்யகோடி (வெங்கடேசன்) பட்டையும் (நெற்றியில் தான்) கொட்டையுமாக வந்தது அந்த சிவபெருமானின் திருவிளையாடல் தானோ ? என்ன தான் முகத்தை மறைத்தாலும் இன்னொரு சிஷ்யகோடி சேதுராமன் என்பதை  உடல்மொழி காட்டிக் கொடுத்து விட்டது.ஒரு நல்ல பொழுது போக்கு.ஒர்  உயர்ந்த நோக்கத்திற்காக தங்கள் பங்களிப்பைக் கொடுத்த அனைத்து நடிகர்களுக்கும் வாழ்த்துகளை மனதார தெரிவித்துக் கொள்கிறேன். இடைவேளையில் நண்பர்கள் சிலருடன் உரையாடியது  ஆனந்த அனுபவம்.

தமிழ்நாடு அறக்கட்டளை கொடையாகக் கிடைக்கும் பணத்தை நல்ல முறையில் தமிழ்நாட்டில் பயன்[படுத்துவதை அறிய மகிழ்ச்சியாக இருந்தது. இது போல் கொடுக்கும் நன்கொடைகள் ஜாதி, மதம் மற்றும் இனம் தாண்டி தேவையானவர்களுக்கு சென்றைடைவதே இதன் சிறப்பு.


நாடகத்திலிருந்து:

"நான் சாமியார் கிட்ட ஏழு ஜென்மமும் நீங்களும், நானும் புருஷனும், பெண்டாட்டியாகவும் இருக்கணும் அப்படின்னு வேண்டிண்டேன்.நீங்க என்ன வேண்டிண்டேள்?" பஞ்சாபிகேசன் மனைவி

"நான் இதுவே ஏழாவது ஜென்மமா இருக்கணும்னு  வேண்டிண்டேன்" பஞ்சாபிகேசன்.

"எல்லா உடம்பிற்கும் ஹார்ட்வேர் ஒன்னு தான் ஆனால் ஆபரேடிங் சிஸ்டம் தான் வேறு" சாமியார்.

பி.கு : சமூக ஊடகங்களில் இருந்து தப்பித்தோம் என நினைத்து கொண்டிருக்கும் போதே , நாடக அரங்கிலும் லிங்கா குறித்த அரட்டை தொடர்ந்து காதில் விழுந்த வண்ணம் இருந்தது. நல்லா தான் இருந்தது .. லாஜிக் பார்க்கக் கூடாது ஒரு பெண்மணி. நாங்க லாஜிக் எல்லாம் கழட்டி வைத்து விட்டுத் தான் போனோம். அப்படியும் பிடிக்கலை.மற்றொருவர். 65 வயதில் அனுஷ்கா, சோனாக்ஷி தேவையா என சற்று பொறாமையுடன் கூடிய எரிச்சலுடன் சில ஆண்கள். அந்த அனுஷ்காவிற்காக இன்னொரு தடவை பார்க்கலாம்.என்று சொன்னவர் என் இனம் போல.

ஃபீல்ட்ஸ் பதக்கம் – ஓர் எளிய அறிமுகம்

கணிதத்திற்கு நோபல் பரிசு கிடையாது . அல்ஃப்ரெட் நோபலின் சம காலத்தில் வாழ்ந்த ஸ்வீடன் நாட்டு கணித வல்லுநர்  மாங்க்னெஸ் குஸ்டாஃப் (யோஸ்டா) மிட்டாக்-லெஃப்லர் (Magnus Gustaf (Gösta) Mittag-Leffler) ஸ்வீடனின் அரசரிடம் தொடர்ந்து பேசி கணிதத்துக்கு ஏற்கனவே ஒரு பரிசை நிறுவ ஏற்பாடு செய்துவிட்டதால், நோபேல் அதனுடன் போட்டி போட விரும்பவில்லை என்பது ஒரு காரணமாக இருந்திருக்க வாய்ப்புண்டு எனச் சொல்லப்படுகிறது. இதுவும் வெறும் யூகமே. ஆனால் மிட்டாக்-லெஃப்லர் தான் நோபலின் மறைவுக்குப் பின் (1886)அவர் நிறுவிய பரிசை உலகளவில் பிரபலமாக்க பங்காற்றிய முக்கியமானவர்களில் ஒருவர் என்பது குறிப்பிடத்தக்கது.

கணித ஆராய்ச்சிக்கு ஒரு பரிசு நிறுவ வேண்டும் என்ற எண்ணம் கனடாவின் கணிதவியலாளர் ஜான் சார்ல்ஸ் ஃபீல்ட்ஸ்க்கு (Fields) உதித்தது. 1928 ஆம் ஆண்டு கணித உலகில் தன் எண்ணத்தைப்பகிர்ந்து கொண்டு ஆதரவு தேடினார். அது அத்தனை சுலபமாக அமையவில்லை. ஆனால் அவர் விடா முயற்சியுடன் செயல்பட்டார். பரிசு நிறுவப்படாத நிலையில்கூட சிற்பக் கலைஞர்களையும் சந்தித்து அந்தப் பரிசுக்கான பதக்கம் எப்படி இருக்க வேண்டும் எனும் வடிவமைப்பை பற்றிய கருத்துகளைப் பரிமாறிக் கொண்டார். பீல்ட்ஸ் பதக்கம் குறித்த முதல் தகவல் பிப்ருவரி 24, 1931 ஆம் நடைபெற்ற உலக கணிதக் கூட்டமைப்பின் குழுக் கூட்டத்தின் குறிப்பில் இடம் பெற்றுள்ளது. அப்போது $2,500/= மதிப்பில் இரண்டு பரிசுகள் கொடுப்பதாக முடிவு செய்யப்பட்டது.

1932 ஆம் ஆண்டு பீல்ட்ஸ் கணிதத்திற்கான பரிசைக் கொடுக்க பல நாடுகளின் ஆதரவு இருப்பதாகத் தெரிவித்தார். மேலும் இந்தப் பதக்கம் 40 வயதிற்கு உட்பட்டவர்களுக்கே கொடுக்கப்பட வேண்டும் என்றார். இதற்குக் காரணமாக “ஏற்கெனவே கணிதத்தில் செய்த சாதனைக்காகவும், பரிசு பெற்றவர்கள் எதிர்காலத்தில் ஊக்கத்துடன் செயல்படவும் மற்றவர்களுக்கு ஒரு தூண்டுகோலாகவும் அமைய வேண்டும்” என்பதை முன் வைத்தார்.   ஆனால் எதிர்பாராதவிதமாக ஃபீல்ட்ஸ் 1932 ஆம் ஆண்டு ஆகஸ்ட் மாதம் தீடீரென காலமானார். மரணப்படுக்கையில் இருக்கும்போது உயில் எழுதிய பீல்ட்ஸ், $47,000 டாலர்களை இந்தப் பரிசுத் தொகைக்கான நிதிக்கு அளிப்பதாக எழுதி வைத்தார்.  கணித ஆராய்ச்சிக்குக் கொடுக்கும் பதக்கம் எவர் ஒருவரின் பெயரையும் கொண்டிருக்கக் கூடாது என்று ஃபீல்ட்ஸ் கூறியிருந்தாலும், இந்தப் பதக்கம் “ஃபீல்ட்ஸ் பதக்கம்” என்றே வழங்கப்படுகிறது. இதற்கு 15,000 கனடா டாலர்கள் பண முடிப்பாகக் கொடுக்கப்படுகிறது.

நான்கு வருடத்திற்கு ஒரு முறை உலகக் கணிதவியலாளர்கள் கூடும் மாநாட்டில் இந்தப் பரிசு அதிகபட்சம் நான்கு கணித வல்லுனர்களுக்கு வழங்கப்படுகிறது. 1936 ஆம் ஆண்டு முதல் பரிசு லொர்ஷ் ஆல்போர்ஸ் (Lars Ahlfors) மற்றும் ஜெஸ்சி டக்லஸுக்கும் (Jesse Douglas) ஆஸ்லோவில் நடந்த உலகக் கணிதவியலாளர்கள் சந்திப்பில் வழங்கப்பட்டது. இரண்டாம் உலகப் போருக்குப் பிறகு 1950 ஆம் ஆண்டிலிருந்து தொடர்ந்து நான்கு ஆண்டுகளுக்கு ஒரு முறை இந்தப் பரிசு வழங்கப்பட்டு வருகிறது.

இந்தப் பதக்கத்தின் விட்டம் 7.5 செ.மீ.  இருக்க வேண்டுமென்றும், இது உலகளவில் வழங்கப்படுவதால் அதில் பொறிக்கப்படும் எழுத்துகள் லத்தீன் அல்லது கிரேக்கத்தில் அமைய வேண்டும் என்றும்  ஃபீல்ட்ஸ் முடிவு செய்திருந்தார்.  எனவே ஃபீல்ட்ஸ் பதக்கத்தின் வடிவமைப்பு ஒரு பக்கத்தில் ஆர்கமிடீஸ் உருவமும், அதனைச் சுற்றி லத்தீன் மொழியில் ரோமப் புலவன் மனிலியஸ் வார்த்தைகள் “உங்கள் புரிதலைத் தாண்டி கடந்து செல்லவும் மற்றும் பிரபஞ்சத்தை முற்றும் கற்றுணர்தராகவும்” (To pass beyond your understanding and make yourself master of the universe) என்றும் பொறிக்கப்பட்டுள்ளது. பதக்கத்தின் மற்றொரு பக்கம்

“உலகத்திலுள்ள எல்லா கணிதவியலாளர்களும்  கூடி  அளிக்கிறார்கள் (பதக்கத்தினை), தலைசிறந்த எழுத்துக்காக (Mathematicians having congregated from the whole world awarded (this medal) because of outstanding writings)

எனப் பொறிக்கப்பட்டுள்ளது.

ஃபீல்ட்ஸ் பதக்கத்தை நோபேல் பரிசுடன் ஓப்பீடு செய்வது  போதுமானதல்ல எனலாம். நோபேல் பரிசு வயது முதிர்ந்த சாதனையாளர்களுக்குக் கொடுக்கப்படுகிறது. ஃபீல்ட்ஸ் பதக்கம் 40 வயதிற்குட்பட்ட கணிதவியலாளர்களின் சாதனைகளுக்குக் கொடுக்கப்படுவதோடு, தொடர்ந்து முனைப்புடன் எதிர்காலத்தில் அவர்கள் செயல்படவும் ஊக்குவிக்கிறது. 2000 ஆம் ஆண்டு Michael Monastyrsky “ஃபீல்ட்ஸ் legacy” என்ற உரை ஆற்றியபோது

“எந்தக் கணித முடிவுகளுக்காக ஃபீல்ட்ஸ் பதக்கம் வழங்கப்பட்டதோ, அவை கணிதத்தின் வளர்ச்சியை பிரதிபலிப்பதாகவும், பதக்கம் பெற்றவர்கள் கணிதச் சமூகத்தை பிரதிபலிக்கும் தகுதியுடையவர்களாகவும் இருக்கிறார்கள்”

எனக் குறிப்பிட்டுள்ளார்.

ஆனால் நாற்றெ டர்ம் பல்கலைகழகத்தைச் சேர்ந்த கிர்க் டொரன் மற்றும் ஹார்வர்ட் பல்கலைகழகத்தைச் சேர்ந்த ஜார்ஜ் போர்ஜஸ் என்ற இரு பொருளாதார நிபுணர்கள்  ஃபீல்ட்ஸ் பதக்கம் வென்றவர்களின் பதக்கம் வாங்கிய பிறகான உற்பத்தித்திறன் குறித்த ஓர் ஆராய்ச்சியை   சமீபத்தில் மேற்கொண்டார்கள். கணிதவியலாளர்கள் வெளியிடும் கணித ஆராய்ச்சிக் கட்டுரைகள் குறித்த தரவுகள் கிடைக்கின்றன. இந்தப் பதக்கம் நான்கு ஆண்டுகளுக்கு ஒரு முறை கொடுக்கப்படுவதால், பதக்கம் கொடுக்கப்படும் ஆண்டில், 37 வயதை எட்டிய கணித ஆராய்ச்சியாளர்களுக்கு இந்த விருது கிடைக்கும் வாய்ப்பில்லாமல் போகிறது. விருது கிடைக்காத இந்தக்  கணித ஆராய்ச்சியாளர்களின் உற்பத்தித்திறனை பரிசு வென்றவர்களின் திறனோடு ஒப்பிட்டுப் பார்த்தார்கள். ஆச்சரியப்படும் வகையில் பரிசு பெற்றவர்களின் உற்பத்தித்திறன் குறைவதாக அவர்கள் ஆராய்ச்சியின் முடிவில் கண்டறிந்தார்கள்.

இப்போது இந்த ஃபீல்ட்ஸ் பதக்கம் வழங்குவதன் நோக்கம் நிறைவேறவில்லையா என்ற கேள்வி எழுகிறது. வித்தியாசம் எங்கு வருகிறதென்றால், பரிசு பெற்றவர்கள் கணிதத்தின் அவர்களுக்கு அதிக பரிச்சயமில்லாத, புதிய பிரிவுகளில் தங்கள் ஆராய்ச்சியை மேற்கொள்ள முயல்வதால் எனலாம்.  கணித ஆராய்ச்சிக்கு பெரிய அளவிலான அறிவியல் உபகரணங்களோ அல்லது பெரிய அளவில் பொருளாதார உதவியோ  தேவையில்லை. அதனால் சுலபமாக பீல்ட்ஸ் பதக்கம் வென்றவர்கள் கணிதத்தின் உட்பிரிவுகளில் புதிய ஆராய்ச்சிகளை மேற்கொள்ள முடிகிறது. புதுப்பிரிவு என்பதால் ஆராய்ச்சிக் கட்டுரைகள் வெளியிட எடுத்துக் கொள்ளும் காலமும் அதிகரிக்கிறது.அதே சமயம் பதக்கம் வெல்லத் தவறியவர்கள் தொடர்ந்து தங்களின் ஆராய்ச்சியை தங்களுக்கு உகந்த கணிதப் பிரிவில்  தொடர்வதால் அதிக அளவில், குறுகிய இடைவெளியில் தங்கள் கண்டுபிடிப்புக்களை வெளியிடமுடிகிறது.

இது தவிர, ஆபெல் பரிசு என்ற வாழ்நாள் சாதனை கணித விருது 2003 ஆம் ஆண்டிலிருந்து வழங்கப்படுகிறது. இதுவரை ஆபெல் பரிசு வென்ற 5 கணிதவியலாளர்கள், ஏற்கனவே ஃபீல்ட்ஸ் பதக்கம் வென்றவர்கள் என்பது குறிப்பிடத்தக்கது. தனது 28 ஆம் வயதில் ஆபெல் பரிசு மிகக் குறைந்த வயதில் பெற்ற ழான் பியே ஸேர் (Jean-Pierre Serre) குறித்த கட்டுரையை சொல்வனத்தில் இங்குபடிக்கலாம். மனித சமுதாயத்தின் தேவைக்கேற்ப கணிதத்தின் வளர்ச்சி இருந்து வருகிறது என்பதில் ஐயமில்லை.

மரியம் மிர்சகனி (Maryam Mirzakhani), மஞ்சுல் பார்கவ், அர்டுர் அவிலா மற்றும் மார்டின் ஹைரெர்  இந்த ஆண்டு ஃபீல்ட்ஸ் பதக்கம்  பெற்றவர்கள்., ஈரான் நாட்டைச் சேர்ந்தபெண் கணிதவியலாளர் மரியம் மிர்சகனி இந்தப் பதக்கத்தை வென்ற முதல் பெண் கணிதவியலாளர். முதல் முறையாக, இந்திய வம்சாவழியைச் சேர்ந்த மஞ்சுல் பார்கவ் மற்றும் பிரேசில் நாட்டைச் சேர்ந்த இலத்தீன் அமெரிக்கர் அர்டுர் அவிலாக்கும் (Artur Avila) ஃபீல்ட்ஸ் பதக்கம் அளிக்கப்பட்டுள்ளது என்பது குறிப்பிடத்தக்கது. மஞ்சுல் பார்கவ் இராமனுஜன் போன்றே எண்கணிதத்தில் தன் ஆராய்ச்சியை மேற்கொள்பவர். மேலும் இவர் ஒரு மிகச் சிறந்த தபேலா கலைஞரும் கூட.

சொல்வன இணைய இதழில் வெளியான கட்டுரை 

மறையீட்டியலும் கணிதமும்

கருத்துப் பரிமாற்றம் இரகசியமாகச் செய்து கொள்ள வேண்டிய அவசியம் ஆதிகாலத்திலிருந்து மனிதச் சமுதாயத்திற்குத் தேவையானதாக இருந்து வந்துள்ளது. நான் சிறுவனாக இருக்கும்போது என் உறவினர்கள் இருவர் எனக்குப் புரியக் கூடாது என்று “கககடைக க்ககுகபோகககலாகம் ” எனப் பேசிக் கொள்வார்கள். அதில் அவர்களுக்கு ஒரு மகிழ்ச்சி. சில நாட்களில் அவர்களின் இந்த மொழி எனக்குப் புரிந்து விட்டது.

ஔவை கம்பரின் ஒரு விடுகதைக்குக் கூறிய பதிலைப் பாருங்கள்.

எட்டேகால் லட்சணமே எமனே றும்பரியே
மட்டில் பெரியம்மை வாகனமே முட்டமேற்
கூரையில்லா வீடே குலராமன் தூதுவனே
ஆரையடா சொன்னா யடா?

இங்கு அவலட்சணம், எருமைமாடு, கழுதை, குட்டிச்சுவர், குரங்கு என நேரடியாகச் சொல்லாமல் மறையீட்டு மொழியில் (cryptic language) சொல்லியுள்ளார்.

ஜூலியஸ் சீசர் அந்தரங்கமான செய்திகளைப் பகிரும்போது நேரடியான மொழியில் எழுதாமல், மறையீட்டு மொழியில் வெளிப்படுத்தினார். அதாவது Aக்கு பதிலாக E. Bக்கு பதிலாக F என மாற்றி எழுதுவது. உதாரணமாக M EQ GSQMRK என்று செய்தி அனுப்பலாம். சீசர் காலத்தில் பலரும் படிப்பறிவு இல்லாதவர்களாக இருந்ததால் இதைப் போன்ற மறையீட்டு மொழி இராணுவ ரகசிய தகவல் பரிமாற்றங்களிலும் மிகவும் பாதுகாப்பான முறையில் பயன்படுத்தப்பட்டது. இதைத்தான் “சீசர் மறைகுறியீடு” என்கிறோம்.

  

20ஆம் நூற்றாண்டில் எனிக்மா என்ற இயந்திரம் முதல் உலகப்போர் முடியும் தருவாயில் 1918 ஆம் ஆண்டு ஜெர்மனியைச் சேர்ந்த Arthur Scherbius என்பவரால் கண்டுபிடிக்கப்பட்டது. முதலில் எனிக்மா, வர்த்தகத்துறையில்தான் பயன்படுத்தப்பட்டது. எனிக்மாவில் பல மாதிரிகள் இருந்தாலும், பரவலாக ஜெர்மனியின் இராணுவம் உபயோகித்த எனிக்மா இயந்திரம்தான் விவாதிக்கப்படுகிறது.

இந்த இயந்திரம் எப்படி நேர்மொழியில் எழுதப்பட்டதை மறைமொழியில் மாற்றுகிறது என இந்தத் தளத்தில் காணலாம்.

உதாரணத்திற்கு SOLVANAM INSPIRES என்பதை  XVTYIZPA PJEGTDLC  .என மறைமொழியில் மாற்றுகிறது

இரண்டாம் உலகப் போரில் ஜெர்மனி இந்த மறைகுறியீட்டு முறையை இராணுவ ரகசியப் பரிமாற்றத்திற்குப் பயன்படுத்தியது. இந்த மறைகுறியீடு முறை சிக்கலானதாக இருந்தாலும், இதன் வடிவமைப்பில் இருந்த குறைகளால் ஜெர்மனியால் மறைமொழியில் பரிமாறிக் கொள்ளப்பட்ட செய்திகளை இங்கிலாந்து மறை குறியீட்டாளர்கள் கடின முயற்சிக்குப் பின் கண்டறிந்தார்கள். அது எப்படிச் சாத்தியமானது எனப் பார்ப்போம்.

அப்போது இங்லாந்தின் பிரதமராக இருந்த வின்ஸ்டன் சர்ச்சில் ப்லேட்ச்லே பார்க்கில் (Bletchley Park) இரகசியமாக நடந்து வந்த எனிக்மா இயந்திரத்தின் மறைகுறியீட்டை முறிக்கும் ஆராய்ச்சிக்கு முழு ஆதரவு கொடுத்தார். அப்போதுதான் ஆலன் டியூரிங் தலைமையில் ப்லேட்ச்லே பார்க்கில் குடில் 8 இல் இயங்கிய குழு “பாம்ப் ” (Bombe) என்ற இயந்திரத்தை கண்டுபிடித்ததின் மூலம் எனிக்மாவின் மறைகுறியீட்டை நேர்மொழியாக மாற்ற உதவியது. இதனால் இரண்டாம் உலகப் போர் இரண்டு ஆண்டுகள் முன்னதாகவே  முடிவுக்கு வந்தது எனவும் கருதப் படுகிறது.

இரண்டாம் உலகப்போர்வரை பயன்படுத்தப்பட்ட மறைகுறியீட்டு முறைகளில் நேர்மொழியை மறைமொழியாக மாற்ற பயன்படுத்தும் இரகசிய திறவியே (Key) மறைமொழியை நேர்மொழியாக மாற்றவும் உபயோகப் படுத்தப்பட்டது. இதில் உள்ள பிரச்சனை என்னவென்றால், நேர்மொழியை மறைமொழியாக மாற்றி அனுப்புபவருக்கும், அதைப் பெற்றுக் கொள்ளுபவருக்கும் இரகசியத் திறவி தெரிந்திருக்க வேண்டும். அந்தத் திறவி இருவருக்கும் முதலிலேயே தெரிந்திருக்கவில்லையெனில்,அதனை இரகசியமாகப் பகிர்ந்து கொள்வதில் சிக்கல் உள்ளது. மேலும் மறைமொழியில் அனுப்பப்படும் செய்தியை பெறுபவரைத் தவிர வேறு மூன்றாம் நபர் இடைமறிக்கும் பட்சத்தில், மறைமொழியாக்க உபயோகப்படுத்திய திறவியைக் கண்டறிந்தால் மறைமொழியை நேர்மொழியாக மாற்றிவிட முடியும். அதனால் செய்தியின் இரகசியத் தன்மையை இழக்க நேரிடும்.

இந்தப் பிரச்சனையை எப்படி எதிர கொள்வது என்ற ஆராய்ச்சி இரண்டாம் உலகப் போருக்குப் பின் மேற்கொள்ளப் பட்டது. 1976 ஆம் ஆண்டு ஸ்டான்போர்ட் பல்கலைக்கழகத்தைச் சேர்ந்த Whitfield Diffie and Martin Hellman என்ற இரண்டு ஆராய்ச்சியாளர்கள் திருப்புமுனையாக அமைந்த “New Directions in Cryptography” என்ற ஆராய்ச்சிக் கட்டுரையில், நேர் மொழியை மறைமொழியாக மாற்ற பொதுத்திறவியும், மறைமொழியை நேர்மொழியாக்க வேறு இரகசிய திறவியும் பயன்படுத்தலாம் என்ற கோட்பாட்டை முன்வைத்தார்கள்.

பொதுத் திறவி யார் வேண்டுமானாலும் பயன்படுத்தி எந்த நேர்மொழியையும் மறைமொழியாக மாற்ற முடியும். அதே சமயம் மறைமொழியை நேர்மொழியாக மாற்ற வேறொரு திறவி பயன்படுத்தப்படும். அது இரகசியமானதாக இருக்கும். இதைத்தான் பொதுத்திறவி மறையீட்டாக்கம் (Public-key Cryptography) என்கிறோம்.

இதைச் சிறிது மேலும் புரியும்படி பார்ப்போம். ஓரிடத்திலிருந்து வேறொரு இடத்திற்குச் செல்லும் வழியையே மீண்டும் வருவதற்கும் உபயோகித்தால், புறப்பட்ட இடத்திற்கே வந்து சேர்ந்து விட முடியும். இந்த முறைதான் இரண்டாம் உலகப் போர் வரை மறையீட்டாக்கத்தில் பயன்படுத்தப்பட்டது. ஆனால் 1976 ஆம் ஆண்டிற்குப் பிறகு திட்டி வாயில் (trapdoor) மரையீட்டாக்க முறை பயன்பாட்டிற்கு வந்தது. அதாவது மகாபாரதத்தில் அபிமன்யு சக்கர வியூகத்தில் நுழைவதற்குத் தெரிந்தது. ஆனால் வெளிவரத் தெரியவில்லை. அது போல் நேர்மொழியை மறைமொழியாக மாற்ற முடியும். ஆனால் மறைமொழியை நேர்மொழியாக்கும் திறவி கண்டறிவது மிகவும் கடினம்.

1977 ஆம் ஆண்டு பாஸ்டனில் இருக்கும் MIT பல்கலைகழகத்தைச் சேர்ந்த Ron Rivest, Adi Shamir and Leonard Adleman என்ற மூவரும் பொதுத் திறவி மறையீட்டாக்கம் செயல்படுத்தும் ஒரு முறையைக் கண்டறிந்தனர்.  இதில் ரிவெஸ்ட் மற்றும் ஷமீர் இருவரும் கணனியியல் துறையில் நிபுணர்கள். அல்டெர்மென் கணித ஆய்வில் சிறந்து விளங்கினர். ரிவெஸ்ட் மற்றும் ஷமீர் புதுமையான வழிமுறைகளை முன் வைப்பார்கள். அதனை ஆராய்ந்து அதில் இருக்கும் குறையைக் கண்டறிந்து, அவர்களின் ஆய்வு வழி தவறாமல் பார்த்துக் கொண்டார் அல்டெர்மென்.. இது போல் ஒரு வருடம் தொடர்ந்தது. மூவருக்கும் ஒரு விதமான சோர்வு மனப்பான்மை ஆட்கொண்டது. அந்தச் சமயத்தில்  மூவரும்  பாஸ் ஓவர் (Passover) என்ற யூத விடுதலை நாளைக் ஒரு மாணவன் வீட்டில் Manischewitz வைன் சிறிது அதிகமாகவே குடித்து விட்டு நள்ளிரவில் அவரவர் இருப்பிடம் திரும்பினார்கள். ரிவேஸ்ட்டுக்கு தூக்கம் வரவில்லை. ஒரு கணிதப் புத்தகத்துடன் சோபாவில் அமர்ந்து கொண்டு சிந்தித்த போது, திடீரெனத் தான் தேடிக் கொண்டிருந்த கேள்விக்கான விடை உதித்தது. அன்றிரவே ஓர் அருமையான கணிதக் கட்டுரையை ரிவேஸ்ட் எழுதி முடித்தார். ஷமீர் மற்றும் அல்டெர்மென் உதவியுடன்  பொதுத் திறவி மறையீட்டாக்கம் செயல்படுத்தும் முறை முழுமை பெற்றது. அதுதான் புகழ்பெற்ற RSA மறையீடக்கமாகும். இதில்தான் மறையீட்டாக்கத்தில் கணிதத்தின் பயன்பாடு தொடங்கியது. அதுவும் கணிதத்தின் அழகியலை அனுபவிக்கும் நோக்கில் ஆராயப்பட்டு வந்த பகா எண்கள் பொதுத்திறவி மறையீட்டாக்கத்தில் பயன்பட்டது மிகவும் ஆச்சரியமான நிகழ்வு எனலாம்.

RSA மறையீட்டாக்கத்திற்கும் பகா எண்களுக்கும் என்ன உறவு எனப் பார்ப்போம். இரண்டு காரணிகள் மட்டுமே உள்ள எந்த இயல் எண்ணும் பகா எண் எனப்படுகிறது. கொடுக்கப்பட்ட இயல்  எண் பகா எண்ணா இல்லையா எனக் கண்டறிவதற்கு வழிமுறைகள் உள்ளன. இப்போது இரண்டு பகா எண்களை p , q என எடுத்துக் கொள்வோம்.இந்த இரண்டு எண்களையும் பெருக்கினால் கிடைக்கும் எண்ணை n = p  X q என்போம்.

இரண்டு பகா எண்கள் கொடுக்கப்பட்டால் அதனைப் பெருக்குவது சுலபம். ஆனால் இரண்டு பகா எண்களைப் பெருக்கி வரும் விடையைக் கொடுத்து, பெருக்கப்பட்ட இரண்டு பகா எண்களைக் கண்டறிய முயல்வது மிகக் கடினம். குறிப்பாக 155 இலக்கங்களைக் கொண்ட (512 பிட் என கணணி மொழியில் கூறுவார்கள்) இரண்டு பகா எண்களின்  பெருக்குத் தொகையிலிருந்து அந்த இரண்டு பகா எண்களைக் கண்டறிய எடுத்துக் கொள்ளும் நேரம் மிக அதிகம்.

அதே சமயம் 2048 பிட் (617 இலக்கங்கள்) இரண்டு பகா எண்களின் பெருக்குத் தொகையிலிருந்து அதன் காரணிகளைக் கண்டறிய பில்லியன் டாலர்கள் கணக்கில் செலவாகும்.

இந்த உத்தியில் பயன்படுத்தப்பட்ட கணிதம் 18 ஆம் நூற்றாண்டில் பெர்மா (Fermat) பகா எண்களைக் குறித்து  கண்டறிந்த உண்மையின் அடிப்படையில் அமைந்துள்ளது.

சரி. இந்த RSA  மறையீட்டு  முறையில் குறைகளே இல்லையா? இதைத் தவிர வேறு கணிதத்தின் அடிப்படையில் அமைந்த வேறு மறைகுறியீட்டு முறைகள் உள்ளனவா என அடுத்த் கட்டுரையில் பார்ப்போம்.

சொல்வன இணைய இதழில் வெளியான கட்டுரை.