வியாழன், 19 மார்ச், 2009

பகா எண்களின் எண்ணிக்கை

இயல் எண்களில் மொத்தம் எத்தனை பகா எண்கள் உள்ளன?ஒரு குறிப்பிட்ட அளவு பகா எண்களே உள்ளனவா அல்லது முடிவில்லாத (infinite) அளவு எண்ணிக்கையில் பகா எண்கள் இருக்கின்றனவா?இதற்கான விடையை 2000 ஆண்டுகளுக்கு முன்னே யூக்ளிட் (Euclid) கூறிவிட்டார்.அதாவது முடிவில்லாத எண்ணிக்கையில் பகா எண்கள் இருக்கின்றன என்பதே அது.சரி அதை எப்படி அவர் நிரூபித்தார் என்று பார்ப்போம்.
2,3,5,7 ...முதலியவைகள் பகா எண்கள் என்பது நம்க்குத் தெரியும்.பொதுவான நிரூபணத்தைப் பார்ப்பதற்கு முன் சில உதாரணங்களைப் பார்ப்போம்.

2X3+1 =7

2X3X5+1 = 31

2X3X5X7+1 = 211

2X3X5X7X11+1 = 2311

2X3X5X7X11X13+1 = 30031

இதில் 7,31,211 மற்றும் 2311 பகா எண்கள். 30031 ஒரு பகா எண் அல்ல.
ஆனால் 30031 = 59X509.

அதாவது 30031 என்ற எண் 59 மற்றும் 509 என்ற பகா எண்களின் பெருக்குத் தொகையாகும்.இதிலிருந்து என்ன தெரிகிறது என்றால் இரண்டிலிருந்து ஆரம்பித்து அடுத்தடுத்துள்ள பகா எண்களைப் பெருக்கி அதனுடன் ஒன்றைக் கூட்டினால் அதன் விடை ஒரு பகா எண்ணாகவோ அல்லது அந்த பெருக்குத் தொகையில் உள்ள பகா எண்களை விட பெரிய பகா எண்களின் பெருக்குத் தொகையகவோ இருக்கும்.பொதுவான நிரூபணத்தை இப்போது பார்ப்போம். .

நிரூபிக்க வேண்டியது : பகா எண்களின் எண்ணிக்கை எண்ணிலடங்காத (infinite) அளவு உள்ளன.

நிரூபணம்: பகா எண்கள் ஒரு குறிப்பிட்ட அளவே இருப்பதாக வைத்துக் கொள்வோம்.
அதாவது p1, p2, p3,......... pn என்று n பகா எண்கள் தான் உள்ளன என்று எடுத்துக் கொள்வோம்.

p1 * p2 * p3:........ * pn +1 = N எனக் கொள்க.

N என்பதும் ஒரு இயல் எண் ஆகும்.மேலும் N-க்கு p1அல்லது p2அல்லது p3,.......அல்லது pn இல் எந்த பகா எண்ணும் காரணியாக இருக்க முடியாது.

அதனால் N ஒரு பகா எண்ணாக இருக்க வாய்ப்பு உள்ளது.N ஒரு பகா எண்ணாக இருந்தால், அது p1, p2, p3,......... pn -லிருந்து வேறுபட்ட பகா எண்ணாக இருப்பதால்,நாம் முதலில் எடுத்துக் கொண்ட "குறிப்பிட்ட அளவிலான n பகா எண்கள் தான் உள்ளன" என்பது உண்மை இல்லை என்றாகிறது.

N பகா எண்ணாக இல்லை என்றால், அது p1, p2, p3,......... pn இல்லாத பகா எண்களின் பெருக்குத் தொகையாகத் தான் இருக்க முடியும்.எனவே நாம் முதலில் எடுத்துக் கொண்ட "குறிப்பிட்ட அளவிலான n பகா எண்கள் தான் உள்ளன" என்பது மீண்டும் உண்மை இல்லை என்று என்றாகிறது.

எனவே ஒரு குறிப்பிட்ட அளவிலான n பகா எண்கள் தான் உள்ளன என்பது தவறு.எண்ணிலடங்காத பகா எண்கள்(infinite number of primes) உள்ளன என்று நிரூபணமாகிறது.
யூக்ளிடின் இந்த நிரூபணம் மிக எளிமையானதும் மற்றும் அழகானதுமாகும்.

ஆனால் இந்த நிரூபணத்தில் கொடுக்கப்பட்ட பகா எண்களில் இருந்து அடுத்த பகா எண்ணை கண்டுபிடிக்க முயற்சிக்காமல், கொடுக்கப்பட்ட பகா எண்களை விட பெரிய பகா எண்ணை எப்பொழுதுமே கண்டு பிடிக்கலாம் என்பது தெரிகிறது.எது தேவையோ அதனை மட்டும் சரியாக நிரூபிக்கும் யூக்ளிடின் இந்த முறை மிக அற்புதமானது. இயல் எண்களில் பகா எண்களின் பகிர்மானம் (distribution) எந்த ஒரு ஒழுங்குடனும் அமையவில்லை.அப்படியென்றால் பகா எண்களைக் கண்டறிய எதாவது வழி இருக்கிறதா என்று அடுத்த கட்டுரையில் பார்ப்போம்.
தயவு செய்து இந்த கட்டுரையை படித்து விட்டு எதாவது தவறு இருந்தால் சுட்டிக் காட்டவும். மேலும் எந்த இடத்திலாவது விளக்கம் சரியில்லை என்றால் தெரியப் படுத்தவும்.

கருத்துகள் இல்லை:

கருத்துரையிடுக