இந்த வாரக் கணக்கு - 6

சிவாவிடம் எத்தனை கால்சட்டைகள் உள்ளனவோ அதைப் போல் மூன்று மடங்கு சட்டைகள் உள்ளன. ஒரு வருடம் முழுதும் (ஆங்கில வருடம்) வெவ்வேறு பிணைப்பு (differnt combination) உள்ள கால்சட்டையும்,சட்டையும் அணிய முற்படுகிறான் சிவா.அப்படியென்றால் குறைந்த பட்சம் எத்தனை கால்சட்டைகள் சிவாவிடம் இருக்க வேண்டும்?

கொடுக்கப்பட்ட இயல் எண்ணுக்கு எத்தனை காரணிகள் உள்ளன?

கொடுக்கப்பட்ட ஒரு இயல் எண்ணுக்கு எத்தனை காரணிகள் உள்ளன என்பதை எப்படிக் கண்டுபிடிப்பது?முந்தய பதிவில் பார்த்தது போல், எந்த ஒரு இயல் எண்ணையும் பகா எண்களின் பெருக்குத் தொகையாக எழுத முடியும்.இந்த பெருக்குத் தொகையும் ஒரு தனித்தன்மை (uniqueness) கொண்டது.எனவே எந்த இயல் எண்ணும் பகா எண்கள் அல்லது பகா எண்களின் அடுக்குக்குறிகளின் (exponents) பெருக்குத் தொகையாக இருக்கும்.உதாரணமாக 12 என்ற எண்ணை எடுத்துக் கொள்வோம்.

12=2x6=2x2x3=2^2x3

2^2 மொத்தமுள்ள காரணிகள் மூன்று.அதாவது 2^0 ,2^1 மற்றும் 2^2 .
அதே போல 3-இன் காரணிகள் 3^0 மற்றும 3^1 ஆகும.

2^0 X 3^0 =1
2^1 X 3^0 = 2
2^2 X 3^0 = 4

2^0 X 3^1 = 3
2^1 X 3^1 = 6
2^2 X 3^1 = 12

எனவே 12-ன் மொத்த காரணிகளின் எண்ணிக்கை 3x2=6 ஆகும்.அதாவது 1,2,3,4,6,12 என்ற எண்கள் 12-ன் காரணிகள் ஆகும.

இப்போது 100 என்ற எண்ணை எடுத்துக் கொள்வோம்.

100=10X10
=2X5X2X5
=2^2X5^2

2^2 மொத்தமுள்ள காரணிகள் மூன்று. அதே போல் 5^2 மொத்தமுள்ள காரணிகள் மூன்று.
எனவே 100-ன் மொத்த காரணிகளின் எண்ணிக்கை 3X3=9 ஆகும்.அதாவது 1,2,4,5,10,20,25,50,100 என்ற எண்கள் 100-ன் காரணிகள் ஆகும.

பொதுவாக n என்ற இயல் எண்ணை எடுத்துக் கொள்வோம்.
n-யை பகா எண்களின் பெருக்குத் தொகையாக எழுதுவோம்.

n = p1^n1 * p2^n2 * p3^n3:........ * pk^nk என்று வைத்துக் கொள்வோம்.

p1-ன் மொத்த காரணிகளின் எண்ணிக்கை n1+1 ஆகும்.

p2-ன் மொத்த காரணிகளின் எண்ணிக்கை n2+1 ஆகும்

p3-ன் மொத்த காரணிகளின் எண்ணிக்கை n3+1 ஆகும்
....
...

....

pk-ன் மொத்த காரணிகளின் எண்ணிக்கை nk+1 ஆகும்

எனவே n-ன் மொத்த காரணிகளின் எண்ணிக்கை (n1+1)(n2+1)(n3+1)........(nk+1) ஆகும்.

முதல் ஆயிரம் இயல் எண்களின் பகா எண்களின் பெருக்குத் தொகையை இங்கே காணலாம்.

இந்திரா பார்த்தசாரதியின் "ஹெலிகாப்டர்கள் கீழே இறங்கிவிட்டன"

இந்திரா பார்த்தசாரதியின் (இ.பா.) "ஹெலிகாப்டர்கள் கீழே இறங்கிவிட்டன" என்ற நாவலை சமீபத்தில் படித்தேன்.தி.ஜானகிராமன் முதல் பதிப்பிற்கு முன்னுரை எழுதி இருக்கிறார்.அமிர்தம்,திலகம்,நித்யா,பானு மற்றும் பானர்ஜீ முக்கிய கதா பாத்திரங்கள்.அமிர்தம் ஒரு மத்திய அரசாங்க அதிகாரி.டெல்லியில் தன் மனைவி திலகத்துடன் வசித்து வருகிறார்.திலகம் கருப்பு நிறம்,சினிமா,டிராமா,கணவனுக்கு சமைத்து போடுவது மற்றும் கணவன் தனக்கு மட்டும் தான் என்ற நினைப்புடன் வாழும் ஒரு சாதாரண நடுத்தர வர்க்கப் பெண்.கல்யாணமாகி 12 வருடங்கள் ஆகியும் குழந்தை இல்லாதது வேறு திலகத்திற்கு தாழ்வு மனப்பான்மை ஏற்படுத்துகிறது..அமிர்தம் சற்று வித்தியாசமான மிகவும் உணர்ச்சி வயப்பட்டு முடிவுகள் எடுக்கும் ஒரு பாத்திரம். திருமணத்திற்கு முன் நித்யா என்ற பெண்ணுடன் காதலுடன் கூடிய ஒரு பழக்கம் இருக்கிறது அமிர்தத்திற்கு.உணர்ச்சி வேகத்தில் நித்யாவுடன் உள்ள உறவை விட்டு,தன் சொந்தகார பெண்ணான திலகத்தை மணக்கிறான்.வழக்கமான வாழ்க்கைப் பயணத்தில் நாடகத்தில் நடிக்கும் பானுவைப் பார்த்தவுடன் அமிர்தத்திற்கும் திலகத்திற்கும் இடையே பிரச்சனைகள் ஏற்படுகின்றன.அவர்கள் மத்தியில் நிகழும் மனப்போராட்டங்கள் மற்றும் உளவியல் ரீதியில் அவர்கள் நடந்து கொள்ளும் விதத்தை மிக அழகாக இ.பா. சித்தரித்திருக்கிறார்.

பானுவைப் பார்த்தவுடன் அமிர்தத்திற்கு நித்யாவை பார்த்து போல் இருக்கிறது.தன் பழைய காலத்து நினைவுகள் தொல்லை கொடுக்கிறது.நாடகம் முடிந்தவுடன் அமிர்தத்திற்கு தற்செயலாக பானுவை அவள் வீட்டில் காரில் இறக்கும் வாய்ப்பு கிடைக்கிறது.அப்போது அவள் பேசும் முறை கூட நிதயாவைப் போல் இருப்பதாக உணர்கிறான் அமிர்தம்.பானுவிற்கும் அமிர்தத்திற்கும் இடையே அடிக்கடி பேசுவது பழகுவது என்று உறவு தொடர்கிறது.பானுவின் அம்மாவிற்கு அது பிடிக்கவில்லை.பானு அம்மா அவள் அப்பாவை விட்டு பிரிந்து வந்ததால், பானுவின் வாழ்க்கை அவள் அம்மாவுடன் கழிகிறது.பானுவிற்கு அவள் அம்மாவைப் பிடிக்கவில்லை.அவளை விட்டு பிரிந்து வரவேண்டும் என்று எண்ணுகிறாள்.திலகத்திற்கும் அமிர்தத்தின் மேல் சந்தேகம் வலுக்கிறது.

வாழ்கையில் கடந்து வந்த பாதையைத் திரும்பிப் பார்க்கலாம்.ஆனால் பின்னால சென்று அந்த வாழ்க்கையை பானுவுடன் வாழ அமிர்தம் முயற்சிக்கிறான்.அது விவேகமானதா மற்றும் நடை முறை சாத்தியமா போன்ற நுணுக்கமான கேள்விகளுக்கு விடை அறியும் முயற்சி தான் இந்தக் கதை.இது கிட்டத்தட்ட 40௦ ஆண்டுகளுக்கு முன் இருந்த நடுத்தர வர்க்க தமிழ் சமுதாயத்தின் வாழ்க்கையின் ஒரு பகுதியை சித்தரிக்கிறது.

திலகத்தை விவாகரத்து செய்து விட்டு, என்னுடன் வாழ முடியுமா என்று பானு கேட்டவுடன் வாழ்கையின் உண்மையை உணர்கிறான் அமிர்தம்.இந்தக் கதையில் வரும் பானர்ஜீ மூலமாக இ.பா. பேசுகிறார் என்று எனக்குத் தோன்றியது.
"இயற்கைக்கும் மனிதனுக்குமிடையே நிகழும் போராட்டத்துக்கு வாழ்கை என்று பெயர்.மனிதன் வாழ்ந்து கொண்டிருப்பதே அவன் வெற்றி.மரணமே அவன் தோல்வி.ஆகவே போராட்டம் என்பது பௌதீக ரீதியில் தான் இருக்கும்.மனம் கற்பித்துக் கொள்ளும் பயங்கரமான சிக்கல்களுக்கு, அவன்தான் பொறுப்பே ஒழிய இயற்கையல்ல" என்ற பானர்ஜீயின் கூற்று எனக்கு மிகவும் பிடித்தது. மேலும் பானர்ஜீ "நீ எதைச் செய்வதாக இருந்தாலும் நாணயமாகச் செய்" என்று அமிர்தத்திற்கு அறிவுறுத்துவது எல்லா மனிதர்களுக்கும் எல்லா காலத்திலும் பொருந்தக் கூடிய ஒன்று.

இறுதியில் டெலிபோன் மணி அடிப்பதுடன் கதை முடிகிறது.வாசகனிடம் விடப்பட்ட முடிவு.படித்து முடித்தவுடன் பலவிதமான எண்ணங்களுக்கு வித்திடுகிறது.
இந்த கதையை நடுத்தர மற்றும் மேல் தட்டு மக்கள் தான் படிக்க முடியும்.சிறுது ஹிந்தி மற்றும் ஆங்கிலம் அங்கங்கே தலை காட்டுகிறது.அதுவும் கதையின் தேவையைப் பொறுத்தே.விறுவிறுப்பு குறையாமல் எழுதப்பட்ட இதை கட்டாயம் படிக்கலாம்.

இப்போது இந்த புத்தகம் கிழக்குப் பதிப்பகத்தில் கிடைக்கிறது.
அதற்கான சுட்டி:
http://nhm.in/shop/978-81-8368-137-7.html
Details ISBN 978-81-8368-137-7
Weight 170.00 gms
Book Title Helicoptergal Keezhe Irangi Vittana
Pages 144 Format Printed Book Year Published 2006

இந்த வாரக் கணக்கு - 5

256 மீ என்ற நிர்ணயக்கப்பட்ட சுற்றளவு கொண்ட செவ்வகத்தின் அதிகபட்ச பரப்பளவு என்னவாக இருக்கும்?ஏன்?

பகா எண்களின் எண்ணிக்கை

இயல் எண்களில் மொத்தம் எத்தனை பகா எண்கள் உள்ளன?ஒரு குறிப்பிட்ட அளவு பகா எண்களே உள்ளனவா அல்லது முடிவில்லாத (infinite) அளவு எண்ணிக்கையில் பகா எண்கள் இருக்கின்றனவா?இதற்கான விடையை 2000 ஆண்டுகளுக்கு முன்னே யூக்ளிட் (Euclid) கூறிவிட்டார்.அதாவது முடிவில்லாத எண்ணிக்கையில் பகா எண்கள் இருக்கின்றன என்பதே அது.சரி அதை எப்படி அவர் நிரூபித்தார் என்று பார்ப்போம்.
2,3,5,7 ...முதலியவைகள் பகா எண்கள் என்பது நம்க்குத் தெரியும்.பொதுவான நிரூபணத்தைப் பார்ப்பதற்கு முன் சில உதாரணங்களைப் பார்ப்போம்.

2X3+1 =7

2X3X5+1 = 31

2X3X5X7+1 = 211

2X3X5X7X11+1 = 2311

2X3X5X7X11X13+1 = 30031

இதில் 7,31,211 மற்றும் 2311 பகா எண்கள். 30031 ஒரு பகா எண் அல்ல.
ஆனால் 30031 = 59X509.

அதாவது 30031 என்ற எண் 59 மற்றும் 509 என்ற பகா எண்களின் பெருக்குத் தொகையாகும்.இதிலிருந்து என்ன தெரிகிறது என்றால் இரண்டிலிருந்து ஆரம்பித்து அடுத்தடுத்துள்ள பகா எண்களைப் பெருக்கி அதனுடன் ஒன்றைக் கூட்டினால் அதன் விடை ஒரு பகா எண்ணாகவோ அல்லது அந்த பெருக்குத் தொகையில் உள்ள பகா எண்களை விட பெரிய பகா எண்களின் பெருக்குத் தொகையகவோ இருக்கும்.பொதுவான நிரூபணத்தை இப்போது பார்ப்போம். .

நிரூபிக்க வேண்டியது : பகா எண்களின் எண்ணிக்கை எண்ணிலடங்காத (infinite) அளவு உள்ளன.

நிரூபணம்: பகா எண்கள் ஒரு குறிப்பிட்ட அளவே இருப்பதாக வைத்துக் கொள்வோம்.
அதாவது p1, p2, p3,......... pn என்று n பகா எண்கள் தான் உள்ளன என்று எடுத்துக் கொள்வோம்.
p1 * p2 * p3:........ * pn +1 = N எனக் கொள்க.

N என்பதும் ஒரு இயல் எண் ஆகும்.மேலும் N-க்கு p1அல்லது p2அல்லது p3,.......அல்லது pn இல் எந்த பகா எண்ணும் காரணியாக இருக்க முடியாது.

அதனால் N ஒரு பகா எண்ணாக இருக்க வாய்ப்பு உள்ளது.N ஒரு பகா எண்ணாக இருந்தால், அது p1, p2, p3,......... pn -லிருந்து வேறுபட்ட பகா எண்ணாக இருப்பதால்,நாம் முதலில் எடுத்துக் கொண்ட "குறிப்பிட்ட அளவிலான n பகா எண்கள் தான் உள்ளன" என்பது உண்மை இல்லை என்றாகிறது.

N பகா எண்ணாக இல்லை என்றால், அது p1, p2, p3,......... pn இல்லாத பகா எண்களின் பெருக்குத் தொகையாகத் தான் இருக்க முடியும்.எனவே நாம் முதலில் எடுத்துக் கொண்ட "குறிப்பிட்ட அளவிலான n பகா எண்கள் தான் உள்ளன" என்பது மீண்டும் உண்மை இல்லை என்று என்றாகிறது.

எனவே ஒரு குறிப்பிட்ட அளவிலான n பகா எண்கள் தான் உள்ளன என்பது தவறு.எண்ணிலடங்காத பகா எண்கள்(infinite number of primes) உள்ளன என்று நிரூபணமாகிறது.
யூக்ளிடின் இந்த நிரூபணம் மிக எளிமையானதும் மற்றும் அழகானதுமாகும்.

ஆனால் இந்த நிரூபணத்தில் கொடுக்கப்பட்ட பகா எண்களில் இருந்து அடுத்த பகா எண்ணை கண்டுபிடிக்க முயற்சிக்காமல், கொடுக்கப்பட்ட பகா எண்களை விட பெரிய பகா எண்ணை எப்பொழுதுமே கண்டு பிடிக்கலாம் என்பது தெரிகிறது.எது தேவையோ அதனை மட்டும் சரியாக நிரூபிக்கும் யூக்ளிடின் இந்த முறை மிக அற்புதமானது. இயல் எண்களில் பகா எண்களின் பகிர்மானம் (distribution) எந்த ஒரு ஒழுங்குடனும் அமையவில்லை.அப்படியென்றால் பகா எண்களைக் கண்டறிய எதாவது வழி இருக்கிறதா என்று அடுத்த கட்டுரையில் பார்ப்போம்.
தயவு செய்து இந்த கட்டுரையை படித்து விட்டு எதாவது தவறு இருந்தால் சுட்டிக் காட்டவும். மேலும் எந்த இடத்திலாவது விளக்கம் சரியில்லை என்றால் தெரியப் படுத்தவும்.

இந்த வார கணக்கு - 4

இன்று Friday the 13th. இதை வைத்து ஒரு கணக்கு பார்ப்போம்.
ஒரு வருடத்தில் அதிகபட்சமாக எத்தனை 13 ம் தேதிகள் வெள்ளிக்கிழமையாக இருக்கும்?

இந்த வாரக் கணக்கு - 3

ஒரு 4x4x4 கனசதுரத்தின் ஒரு மூலையில் சந்திக்கும் மூன்று முகங்கள் (three faces of the cube that meet in a corner) சிவப்பு நிற சாயம் அடிக்கப்படுகிறது.பின்னர் அந்த கனசதுரம் 1x1x1 கனசதுரங்களாக பிரித்துப் போடப்படுகிறது.அதிலிருந்து குறைந்தபட்சம் ஒரு முகமாவது சிவப்பு சாயம் கொண்ட கனசதுரத்தை தேர்ந்தெடுப்பதற்கான நிகழ்தகவு(probability) என்ன?

3/3/09 - வர்க்கமூல நாள்

இன்று வர்க்கமூல நாள் ஆகும்.அதாவது 3/3/09 என்ற இந்தத் நாளில் தேதியும்,மாதமும் 9-இன் வர்க்க மூலமாகும்.இதற்கு முன்னால் இந்த நூற்றாண்டில் 2/2/04 என்ற நாள் வர்க்கமூல நாளாக வந்தது நினைவிருக்கலாம்.ஒரு இயல் எண்ணின் வர்க்கமூலம் இயல் எண்ணாக இல்லாத போது,அந்த எண் ஒரு விகிதமுறா எண்ணாக (irrational numbers) இருக்கும்.உதாரணத்திற்கு இரண்டின் வர்க்கமூலம் ஒரு விகிதமுறா எண் ஆகும்.(இதை நிரூபிப்பது மிக சுலபம்.)விகிதமுறா எண்ணைப் பற்றிய சிறு வரலாற்றைப் பார்ப்போம்.

பிதகோரஸ் பற்றி நம் எல்லோருக்கும் தெரியும்.பிதகோரஸ் "எண்கள் தான் எல்லாமே[1].எண்களைத் நன்கு தெரிந்து கொண்டால் இந்த பிரபஞ்சத்தையே தெரிந்து கொண்டு விடலாம்" என்று கூறினார். மேலும் ஒவ்வொரு எண்ணுக்கும் ஒரு தனிப்பட்ட தன்மையை கற்பித்தார்.அதாவது ஒன்றிலிருந்து எல்லா எண்களும் வருவதால் அதனை ஒரு "ஸ்ருஷ்டிகர்தா" (creator) எண் என்றார்.இரண்டை முதலாவது பெண் எண் என்றும்,மூன்றை முதலாவது ஆண் எண்ணாகவும் வரையறுத்தார்.இரண்டையும் மூன்றையும் கூட்டினால் ஐந்து வருவதால்,அதனை கல்யாணத்துடன் சம்பந்தப்படுத்தினார்[2].

பிதகோரசும் அவருடன் சேர்ந்து இருந்தவர்களும் பிதகோரியன்ஸ்(Pythogoreans) என்று அழைக்கப்படுகிறார்கள்.அவர்களில் ஒருவர் இந்த விகிதமுறா எண்ணைக் கண்டுபிடித்திருக்கலாம்.பிதகோரஸ் தேற்றம் நமக்கு எல்லோருக்கும் தெரிந்ததே.ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் கால்கள் (legs of a right triangle) ஒன்று என்று இருந்தால்,அதன் கர்ணம் இரண்டின் வர்க்கமூலம் என்று வருவதை அறிந்தார்.எதையும் இரண்டு முழு எண்களின் விகிதமாக எழுத முடியும் என்று நினைத்திருந்த பிதகோரசுக்கு இது மிகப் பெரிய அதிர்ச்சியாக இருந்தது.எதையும் இரண்டு முழு எண்களின் விகிதமாக எழுத முடியும் என்று பிதகோரியன்ஸ் நினைத்ததால் இரண்டின் வர்க்கமூலத்தை இரண்டு எண்களின் விகிதமாக எழுத முயன்றார்கள்.கிட்டதட்ட அவர்களால் அதை செய்ய முடிந்ததே தவிர, அந்த முயற்சியில் வெற்றி அடைய முடியவில்லை.சில விகிதங்கள் இரண்டு முழு எண்களின் விகிதமாக எழுத முடியாது என்பதை அறிந்து பிதகோரஸ் மனமுடைந்து போனார்.அதனால் இதை மிக ரகசியமாக வைத்திருந்தார்கள்.ஆனால் அவர்கள் குழுவில் இருந்த ஒருவர் இதனை வெளிப்படுத்தினார்.

ஆனால் இன்று நமக்கு விகிதமுறா எண்களைப் பற்றி நன்கு தெரியும்.டெடிகந்ட் (Dedikand) மற்றும் காச்சி(Cauchy) போன்றவர்கள் விகிதமுறு எண்களில் இருந்து எப்படி விகிதமுறா எண்களை அடையும் வழியை கூறினார்கள் என்பதைப் பற்றி வேறு ஒரு முறை பார்போம்.

அடுத்த வர்க்கமூல நாள் 4/4/2016 அன்று வருகிறது.


1.Suzuki, Jeff. A history of mathematics. New Jersey: Prentics-Hall, Inc., 2002.

2.NCTM. Historical Topic for the mathematics classroom. Reston, VA: NCTM, INC., 2006.