பகா எண்களும் காரணிகளும்

இயல் எண்களை இரண்டு வகையான எண்களாகப் பிரிக்கலாம்.ஒன்று பகா எண்கள் (Prime numbers).மற்றொன்று தொகுப்பெண்கள்  (Composite numbers).குறிப்பாக, 6 என்ற எண்ணை எடுத்துக் கொள்வோம்.6=2x3 அல்லது 6=1x6 என்று எழுத முடியும். அதாவது மூன்றை இரண்டு முறை கூட்டினலோ, இரண்டை மூன்று முறை கூட்டினலோ அல்லது ஒன்றை ஆறு முறை கூட்டினாலோ 6 என்ற எண் கிடைக்கிறது. 1,2,3 மற்றும் 6 என்பவைகள் ஆறின் காரணிகள் (factors) என்று அறியப்படுகிறது. அதே நேரத்தில் 5 என்ற எண்ணை 1x5 என்று தான் எழுத முடியும். ஐந்திற்கு 1 மற்றும் 5 என்று இரண்டு காரணிகள் தான் உள்ளன.

ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட (N>1) இரண்டு காரணிகள் மட்டுமே கொண்ட இயல் எண்களை பகா எண்களாகவும், இரண்டுக்கு மேற்பட்ட காரணிகள் கொண்ட இயல் எண்களை தொகுப்பெண்களாவும் வரையறை செய்யலாம்.

அதனால் 5 என்பது ஒரு பகா எண்.6 என்பது ஒரு தொகுப்பெண் ஆகும்.

காரணிகள் பற்றி சில அழகான (எல்லோருக்கும் தெரிந்தது தான்) முடிவுகளை இப்போது பார்ப்போம். 12 என்ற எண்ணுக்கு 1,2,3,4,6 மற்றும் 12 என்ற 6 காரணிகள் உள்ளன.25 என்ற எண்ணுக்கு 1,5,25 என்ற மூன்று காரணிகள் உள்ளது.24 என்ற எண்ணுக்கு 1,2,3,4,6,8,12 மற்றும் 24 என்று 8 காரணிகள் இருப்பதைக் காணலாம்.36 என்ற எண்ணுக்கு 1,2,3,4,6,9,12,18 மற்றும் 36 என்று 9 காரணிகள் இருக்கிறது.25 .மற்றும் 36 என்ற இரண்டு எண்களும் முறையே 3 மற்றும் 9 என்ற ஒற்றைப் படை காரணிகள் (odd number of factors) கொண்ட வர்க்க எண்கள் (square numbers) என்பதைக் கவனிக்கவும்.அதாவது

காரணிகளின் எண்ணிக்கை ஒற்றைப் படை எண்களாக இருக்கும் இயல் எண்கள் (n>1) வர்க்க எண்கள் மட்டும் தான். அதே போல் வர்க்க எண்களுக்கு மட்டும் தான் காரணிகளின் எண்ணிக்கை ஒற்றைப் படையாக இருக்கும்.

வர்க்க எண்களுக்கு மட்டும் ஏன் ஒற்றைப் படைக் காரணிகள் இருக்கின்றது என்று பார்போம்.12 என்ற வர்க்க எண் இல்லாத தொகுப்பெண்ணை  எடுத்துக் கொள்வோம். 12-இன் வர்க்க மூலம் மூன்றுக்கும் நான்கிற்கும் இடையே உள்ளது.மேலும் இது ஒரு இயல் எண் ஆக இருக்காது.12-இன் 6 காரணிகளில் மூன்று காரணிகள் 1,2,3 அதன் வர்க்க மூலத்தை விட சிறியதாகவும்,மூன்று காரணிகள் 4,6,12 அதன் வர்க்க மூலத்தை விட பெரியதாகவும் உள்ளதைக் காணலாம்.

பொதுவாக எந்த வர்க்க எண் இல்லாத தொகுப்பெண்ணுக்கும் அதன் வர்க்க மூலத்தை விட சிறியதாகவும்,பெரியதாகவும் உள்ள காரணிகளின் எண்ணிக்கை சமமாக இருக்கும். அதே நேரத்தில் வர்க்க எண்ணின் வர்க்க மூலம் ஒரு இயல் எண்ணாக இருக்கும்.அந்த வர்க்க எண்ணின் வர்க்க மூலத்தை விட சிறியதாகவும்,பெரியதாகவும் உள்ள காரணிகளின் எண்ணிக்கையுடன்,வர்க்க மூலமும் சேர்ந்து மொத்த காரணிகளின் எண்ணிக்கை ஒற்றைப் படையாகிறது.

மேலும் எந்த இயல் எண்ணையும் பகா எண்களின் பெருக்குத் தொகையாக எழுதலாம்.உதாரணமாக

24 = 2x2x2x3
98 = 2x7x7
1000 = 2x2x2x5x5x5

இந்த காரணங்களினால் தான் கொடுக்கப்பட்ட எந்த இயல் எண்ணும் பகா எண்ணா என்று கண்டறிய அந்த எண்ணின் வர்க்க மூலம் வரை உள்ள பகா எண்களில் எதாவது ஒன்று அதனுடைய காரணியாக உள்ளதா என்று கண்டறிவது போதுமானது.

இந்த விஷயங்களை எட்டு வயதிற்கு மேற்பட்ட குழந்தைகள் இருந்தால் சொல்லிக் கொடுத்து கணிதத்தில் ஆர்வத்தை வளர்க்கலாம்.கீழே உள்ளது போல் சில சுலபமான கணக்குகளை போடும் பயிற்சியும் உதவும்.

1.சரியாக இரண்டு பகா எண்களின் பெருக்குத் தொகையை கொண்ட மிகப் பெரிய இரண்டு இலக்க இயல் எண் எது?

2.சரியாக ஏழு காரணிகள் கொண்ட மிகச் சிறிய இயல் எண் எது?

3. 100 க்கு கீழ் எத்தனை இயல் எண்களுக்கு சரியாக மூன்று காரணிகள் மட்டும் உள்ளன?

தொடரும்