தமிழில் கணிதம்: இயல் எண்கள் ஓர் அறிமுகம்

கணிதத்தைப் பற்றி தமிழில் எழுத முயற்சிக்கலாம் என்று உள்ளேன்.கணிதத்தின் சில அருமையான கோட்பாடுகள்,புகழ்பெற்ற முரண்பாடுகள் (paradox), கணித மேதைகள் பற்றிய அறிமுகம் முக்கியமாக இடம் பெறும்.எளிமையான கணக்குகள் வலைத்தளத்தில் வாரம் ஒரு முறை வெளியிடப்பட்டு,அடுத்த வாரம் விடை கொடுக்கப்படும்.கணிதம் தொடர்ந்து படிக்க ஆர்வம் உள்ளவர்கள்,ஏதோ காரணங்களினால் படிக்கும் காலத்தில் ரசித்துப் படிக்க முடியாதவர்கள் இதனால் பயன் பெற வாய்ப்பு இருக்கும்.மாற்று யோசனைகள் வரவேற்கப் படுகின்றன.தவறு இருந்தால் தயவு செய்து சுட்டிக் காட்டவும்.

இயல் எண்கள் (natural numbers)

{1,2,3,4,5,........} என்ற எண்கள் இயல் எண்கள் அல்லது இயற்கை எண்கள் என்று அழைக்கப்படுகிறது.
இரண்டால் வகுபடும் இயல் எண்கள் இரட்டை (even) எண்கள் என்றும்,இரண்டால் வகுபடாத இயல் எண்கள் ஒற்றை (odd) எண்கள் என்றும் வரையறுக்கப்படுகிறது.எனவே {2,4,6,.....} இரட்டை எண்களாகும்.{1,3,5.....} ஒற்றை எண்களாகும்.இயல் எண்களில் உள்ள மிக எளிமையான இரண்டு முடிவுகளை முதலில் பார்ப்போம்.

1. 1+2+3+4+5+........+100-இன் கூட்டுத் தொகை என்ன?

நூறு எண்களின் கூட்டுத்தொகையை முதலில் S என்று வைத்துக் கொள்வோம்.பின்னர் 1-லிருந்து 100-வரை கீழுள்ளவாறு இரண்டுமுறை எழுதுவோம்.

S= 1+ 2+ 3+4+5+........+100 ---------------(1)
S=100+99+98+..................+ 1 ---------------(2)

இப்பொழுது (1)+(2) ==> 2S=101+101+101+............+101 (100 முறை 101 கூட்டப்பட்டுள்ளது)

அதாவது, 2S= 101X100

அதனால் S= 101X50 = 5050.

இதிலிருந்து முதல் n இயல் எண்களின் கூட்டுத்தொகையை

[nX(n+1)]/2 என்பதைக் காணலாம்.

இதைப் பற்றிய ஒரு சுவையான சம்பவத்தை இங்கு நினைவு கூறுவோம்.காஸ் (Gauss) என்ற புகழ் பெற்ற கணித மேதைதொடக்கப் பள்ளியில் படித்த காலத்தில் அவருடைய ஆசிரியர் மாணவர்களை ஒன்றிலிருந்து நூறு வரை உள்ள இயல் எண்களின் கூட்டுத் தொகையை கண்டறியுமாறு கூறிவிட்டு, சிறிது கண்யர்ந்து இளைப்பாற முயன்றார்.ஆனால் இந்த கணக்கை கொடுத்த இரண்டு நிமிடத்தில் மேற்சொன்ன முறையில் விடை கண்டு ஆசிரியரிடம் கூறினான் சிறுவன் காஸ்.அந்த காலத்தில் இந்த சுலபமான முறை தெரியாததால், ஆசிரியர் வழக்கமான கூட்டல் முறையில் விடை கண்டுபிடித்து சரி பார்க்க நேரிட்டது.தூங்க நினைத்த ஆசிரியரின் தூக்கத்தைக் கெடுத்தான் காஸ் தன் அறிவுத் திறமையால்.

2. 1+3+5+7+..........39 - இன் கூட்டுத் தொகை என்ன?

மேலே சொன்ன முறையில் செய்தால்,

S= 1+ 3+ 5+...........+39
S=39+37+35+ +1

2S=40+40+.................+40 (20 முறை)

2S=40X20 ==> S=400.

இதை சற்று வேறு மாதிரி பார்ப்போம்.

1 = 1

1+3 = 4 =2X2 (இரண்டு முதல் இயல் ஒற்றை எண்களின் கூட்டுத் தொகை)

1+3+5 = 9 =3X3 (மூன்று முதல் இயல் ஒற்றை எண்களின் கூட்டுத் தொகை)

1+3+5+7=16 = 4X4 (நான்கு முதல் இயல் ஒற்றை எண்களின் கூட்டுத் தொகை)
...
.
.1+3+5+7+.........+39=20X20=400 (இருபது முதல் இயல் ஒற்றை எண்களின் கூட்டுத் தொகை)

முதல் k இயல் ஒற்றை எண்களின் கூட்டுத் தொகை எப்பொழுதுமே k -இன் வர்கமாகும்.
அதாவது kXk.

தொடரும்.....