நாமகிரித் தாயாரின் அருள் : ராமானுஜன் – 126

சொல்வனம் இணைய இதழில் வெளியானது.

கணித உலகில் ராமானுஜன் (1887-1920) அவர்களின் தாக்கம் (legacy) இன்று வரை தொடர்வதற்கான காரணிகள் என்ன? ராமானுஜத்தால் கவரப்பட்டு, அவரது கணித ஆராய்ச்சிகளை முன்னெடுத்த இன்றைய கணித வல்லுனர்கள் என்ன கூறுகிறார்கள்? ராமானுஜனைக் கொண்டாடும் நாம்,ஒரு சிறு துளியாவது அவரது கணிதம் குறித்து நமக்கு அறிந்து கொள்ள முயலுகிறோமா? 

ராமானுஜனின் வாழ்க்கையும், கணிதத்தில் அவர் நிகழ்த்திய அதிசயங்களும் பலருக்கும் உத்வேகம் அளிப்பதாகவும், முன்மாதிரியாகவும் இருக்கிறது என்பதில் மாற்றுக் கருத்து இருக்க முடியாது. இதற்கு உதாரணமாக விண்வெளி-இயற்பியல் ஆய்வாளரும், நோபெல் பரிசு பெற்றவருமான சுப்பிரமணியம் சந்திரசேகரன், கணிதத்திற்கான ஃபீல்ட்ஸ் மெடல் பெற்ற செல்பர்க், கணிதவியலாளர்களான ஜார்ஜ் ஆண்ட்ரூஸ், ப்ரூஸ் ப்ருன்ட், கென் ஓனோ, கிருஷ்ணசாமி அல்லாடி, கண்ணன் சௌந்தரராஜன் என நீண்ட பட்டியலே கொடுக்கலாம். 1976 ஆம் ஆண்டு ஜார்ஜ் ஆண்ட்ருஸ் ராமானுஜனின் “தொலைந்த நோட்டுக்களை” கண்டுபிடித்த நாள் முதல் அந்தக் குறிப்புப் புத்தகங்களில் ராமானுஜன் நிரூபணம் இல்லாமல் எழுதி வைத்திருந்த முடிவுகளுக்குத் தீர்வு காண்பதில் ஈடுபட்டார். அதேபோல் ப்ரூஸ் ப்ரெண்ட் கிட்டத்தட்ட 35 ஆண்டுகளாக தொடர்ந்து ராமானுஜன் கணிதத்தில் தன்னை ஈடுபடுத்திக்கொண்டு ராமானுஜனின் ஆராய்ச்சிகளை புத்தகங்களாகக் கொண்டு வருவதில் முனைத்துள்ளார். பேராசிரியர் ஸ்ரீனிவாச ராவ் அவர்கள் ராமானுஜன் ஆராய்ச்சிக் கட்டுரைகள், அவர் நோட்டுப் புத்தகப் பக்கங்கள் மற்றும் முக்கிய கடிதங்கள் அடங்கிய ஒரு குறுந்தகடு வெளியிட்டுள்ளார்.

G.H.ஹார்டி ராமானுஜனின் திறமையை ஊக்குவித்து அவரின் திறமையை வெளிக் கொணர்ந்தார் என்றால் ராபர்ட் கணிகல் “The Man who knew infinity” என ராமானுஜனைப் பற்றி எழுதிய புத்தகம் அண்மைக்காலத்தில் அவரின் புகழை உலகளவு எடுத்துச் செல்ல உதவியது. இந்தப் புத்தகம் இந்த ஆண்டு தமிழில் “அனந்தத்தை அறிந்தவன்” என வாஞ்சிநாதன் அவர்களால் மொழி பெயர்க்கப் பட்டுள்ளது. அதைத்த் தொடர்ந்து ராமானுஜன் பற்றி பல புத்தகங்கள் எழுதப்பட்டுவிட்டன. இவர் பெயரைத் தாங்கிய கணித ஆராய்ச்சிகளை வெளியிடும் உலக அளவிலான The Ramanujan Journal மற்றும் The Jounal of Ramanujan Mathematical Society என்ற சஞ்சிகைகளும் வெளி வருகின்றன என்பது குறிப்பிடத்தக்கது. .ராமானுஜனின் 125 ஆம் ஆண்டு பிறந்த நாளை ஒட்டி அமெரிக்க கணித அறிவியல் சொசைட்டி ஜார்ஜ் ஆண்ட்ரூஸ், ப்ரூஸ் ப்ருன்ட், கென் ஓனோ, கிருஷ்ணசாமி அல்லாடி, கண்ணன் சௌந்தரராஜன், வாகன், ஜோனாதன் போர்வின் மற்றும் ஓலே வார்னெர் என்ற 8 எண்கணித ஆராய்ச்சியாளர்கள் ராமானுஜனின் கணிதம் குறித்து எழுதிய கட்டுரைகளை வெளியிட்டுள்ளது.

கும்பகோணத்தில் இருக்கும் சாஸ்திரா பல்கலைக் கழகத்தால் 2005 ஆம் ஆண்டு முதல் ஒவ்வொரு ஆண்டும் ராமானுஜன் பரிசு அவரின் பிறந்த நாளன்று 32 வயதுக்குள் சாதனை செய்த கணிதவியலாலருக்குக் கொடுக்கப்படுகிறது. இந்த ஆண்டு இந்த பரிசு 25 வயதில் சாதனைகள் செய்து கணிதப் பேராசிரியராக இருக்கும் பீட்டர் சூல்ஜ் (Peter Scholze) அவர்களுக்குக் கொடுக்கப் பட்டுள்ளது. மேலும் இத்தாலியிலுள்ள The International Centre for Theoretical Physics (ICTP) 2003 ஆம் ஆண்டிலிருந்து ஒவ்வொறு வருடமும் 45 வயதிற்கு மேற்படாத வளரும் நாடுகளில் இருந்து சிறந்த கணித சாதனையளருக்குக் கொடுக்கப்படுகிறது. இதைத் தவிர இந்திய தேசிய விஞ்ஞானக் கழகம் 1962 ஆம் முதல் சிறந்த கணித அறிவியல் சாதனைக்கு ராமானுஜன் மெடல் கொடுத்து கௌரவிக்கிறது .

ராமானுஜன் காலத்தை ஒப்பிடும்போது எண்கணித ஆராய்ச்சி இன்று கற்பனை செய்ய முடியாத அளவு முன்னேறியுள்ளது. பெர்மாவின் இறுதித் தேற்றம் போன்ற பல நீண்ட நாளைய திறந்த கேள்விகளுக்கு விடை காணப்பட்டுள்ளது. அந்த முடிவுகளின் நிரூபணங்களில் ராமானுஜனின் ஆராய்ச்சி முடிவுகள் ஏதோ ஒரு விதத்தில் தன் இருப்பைக் காட்டிக் கொண்டுள்ளன இது அவரது கணிதத்தின் முக்கியத்துவத்தை அடிக்கோடிட்டுக் காட்டுவதாக அமைகிறது.

இதில் கென் ஓனோ இறுதி முடிவு கண்ட இராமானுஜனின் இரண்டு கணிதப் பங்களிப்புகளைப் பற்றி இப்போது பார்க்கலாம்.

ஒரு நாள் கிரிக்கெட் போட்டியில் 4 ஓட்டங்கள் எடுத்தால் வெற்றி என்ற நிலையிலுள்ள அணி சரியாக 4 ஓட்டங்களை எடுத்து வெற்றி பெறுவதானால் அந்த ஓட்டங்களை எப்படியெல்லாம் பெற முடியும் என்று பார்ப்போம். ஒரே பந்தில் 4 ஓட்டங்கள் அல்லது மூன்று ஓட்டங்கள் மற்றும் ஒரு ஓட்டம் (3+1), அல்லது இரண்டு, இரண்டு ஓட்டங்கள் (2+2) அல்லது இரண்டு ஓட்டங்கள் மற்றும் இரண்டு ஒரு ஓட்டங்கள் (2+1+1) இல்லையெனில் நான்கும் ஒரு ஓட்டங்கள் (1+1+1+1) என ஐந்து விதமாக இந்த ஓட்டங்களை எடுத்து வெற்றி பெறமுடியும். அதாவது 4 என்ற எண்ணை மற்ற எண்களின் கூட்டுத் தொகையாக 5 வெவ்வேறு விதமாக எழுத முடிகிறது (எந்த வரிசையில் கூட்டுத் தொகையை எழுதுகிறோம் என்பதைக் கணக்கில் கொள்ள வேண்டியதில்லை). இதைத்தான் கணிதத்தில் பிரிவினைகள்(partitions) என்று கூறுகிறார்கள்.

முதல் இயல் எண்ணான ஒன்றை 1 = 1 என்று மட்டுமே எழுத முடியும். ஆனால் இரண்டை

• 2 = 2,
• 2=1+1

என்று இரண்டு விதமாக பிரித்து எழுதலாம்,

• 3=3,
• 3=2+1,
• 3=1+1+1

என்று மூன்றை மூன்று விதமாக பிரித்து எழுத முடிகிறது.

• 5=5,
• 5=4+1,
• 5=3+2,
• 5=3+1+1,
• 5=2+2+1,
• 5=2+1+1+1
• 5=1+1+1+1+1,

மற்றும்

• 6=6,
• 6=5+1,
• 6=4+2,
• 6=4+1+1,
• 6=3+3,
• 6=3+2+1,
• 6=3+1+1+1,
• 6=2+2+2,
• 6=2+2+1+1,
• 6=2+1+1+1+1,
• 6=1+1+1+1+1+1

என ஐந்து மற்றும் ஆறை முறையே 7 மற்றும் 11 விதமாக பிரித்து எழுதலாம். ஒவ்வொரு கூட்டுத்தொகையையும் அந்த எண்ணின் பிரிவினை (partition) என்று அழைக்கிறோம். எந்த ஒரு நேர்மறை முழு எண்ணையும் (positive integer)எத்தனை விதமாக மற்ற நேர்மறை முழு எண்களின் கூட்டுத் தொகையாக எழுத முடியும் என்பதைத்தான் அந்த நேர்மறை முழு எண்ணின் பிரிவினைகள் (partitions) என்று அழைக்கிறோம்.

0,1,2,3,4,5,6,7…..என எல்லா எண்களுக்கும் அதன் பிரிவினைகளை எழுதினால் கிடைக்கும் வரிசை இப்படிச் செல்கிறது -

1,1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22, 30, 42, 56, 77, 101, 135, 176, 231, 297, 385, 490, 627, 792, 1002, 1255, 1575, 1958, 2436, 3010,…. ….169229875, ………… – எனக் கிடைக்கும். இந்த வரிசையில் எந்த ஒழுங்கையும் நம்மால் காண முடிவதில்லை. ஆனால் இந்த எண்களின் பிரிவினைகள் குறித்து ஆராய்ச்சி செய்த ராமானுஜன் சில ஒழுங்குகளைப் பார்த்தார். எண்ணின் பிரிவினைகளை கீழ்கண்டவாறு சிறிது மாற்றி எழுதுவோம்

1, 1, 2, 3, 5
7, 11, 15, 22, 30
42, 56, 77, 101, 135,
176, 231, 297, 385, 490,
627, 792, 1002, 1255, 1575,
………………………………………..

இதில் ஐந்தாவது நெடுவரிசையில் (5th Column) வரும் எண்களைக் கவனியுங்கள். அவை அனைத்தும் 5-ஆல் வகுபடுவதைக் காணலாம். இதில் ஐந்தாவது நெடுவரிசையில் (5th Column) வரும் எண்களைக் கவனியுங்கள். அவை அனைத்தும் 5-ஆல் வகுபடுவதைக் காணலாம். இதே போன்று கீழே இறுதி நெடுவரிசையில் வரும் எண்கள் 7-ஆல் வகுபடுவதைக் காணலாம்.

1,1, 2, 3, 5, 7,
11, 15, 22, 30, 42, 56, 77,
101, 135, 176, 231, 297, 385, 490,
627, 792, 1002, 1255, 1575, 1958, 2436,
………………………………………………….

இதே போல் 11-ஆல் வகுபடும் ஓர் ஒழுங்கையும் இந்த பிரிவினைகள் வரிசையில் காணலாம். இங்கு 5,7,11 எல்லாம் பகா எண்கள் (prime numbers). இந்த ஒழுங்கைத் தான் ராமானுஜன் கண்டறிந்து நிரூபிக்கவும் செய்தார். அதனுடன் நில்லாமல், இது போன்று மற்ற 13, 17, 19….பகா எண்களால் வகுபடும் ஒழுங்கையும் இந்த வரிசையில் காணமுடியும் என எழுதி வைத்துச் சென்றார் ராமானுஜன். அவர் கூறியது போல் இந்த நேர்மறை முழு எண்களின் பிரிவினைகள் வரிசையில் வரும் ஒழுங்கை 90 ஆண்டுகளுக்குப் பிறகு கென் ஓனோ கண்டறிந்தார். பிரிவினைகளின் வரிசையில் பகுவியல் (Fractal) தன்மை இருப்பதை கென் ஓனோ கண்டறிந்தார். கென் ஓனோவின் சாதனை குறித்த விவரமான தகவல்களைத் தெரிவிக்கும் சொல்வனம் கட்டுரை இங்கே இருக்கிறது.

ராமானுஜனின் மற்றொரு “தொலைந்த நோட்டுக்களில்” இருந்த குறிப்புகள் இந்தப் பிரிவினைகள் குறித்த உண்மையை நிறுவ உதவிய அனுமானமாகும். இந்த அனுமானத்தையும் நிரூபித்தவர் கென் ஓனோ தான். ராமானுஜன் இங்கிலாந்திலிருந்து இந்தியா திரும்பி, மருத்துவமனையில் சிகிச்சை பெற்றுக் கொண்டிருக்கும் சமயம்கூட தொடர்ந்து கணிதச் சிந்தனையுடன் இருந்தார். அவர் கடைசியாக ஹார்டிக்கு 1920 ஆண்டில் எழுதியக் கடிதத்தில் ஒரு விதமான சார்பைக் குறித்து எழுதி இருந்தார். சார்பு என்பது நாம் பள்ளியில் படித்த கிராப் (graph) எனக் கொள்ளலாம். அதாவது ஒரு பந்தை தூக்கி எறிந்தால் அது ஒரு வளைவுப் பாதையில் சென்று கீழிறங்கும். அதனை கீழேயுள்ள சார்பு அல்லது கிராப் மூலம் அறியலாம்.

கணிதத்தில் சில தனிச் சிறப்பு வாய்ந்த சார்புகள் தேவைக்கேற்ப வரையறுக்கப் படுவதுண்டு. அது போல் ஜாகோபி என்ற கணித மேதை தனிச் சிறப்பு மிக்க சார்புகளை அறிமுகப்படுத்தினார். ஜாகோபி அறிமுகப்படுத்திய சார்புகளை ஒத்த சார்புகளை ராமானுஜன் அறிமுகப்படுத்தினார். ஜாகோபி முன்வைத்த சார்புகள் சீர்மைத் தன்மை கொண்டவைகள். ஆனால் ராமானுஜன் சிந்தனையில் உருவான சார்புகள் சீர்மைத் தன்மை அற்றவைகள். மேலும் ராமானுஜன் தான் அறிமுகப்படுத்திய சார்புகள் எவ்வகையில் ஜாகோபியின் சார்புகளுடன் தொடர்புடையது எனும் அனுமானத்தை எழுதி வைத்திருந்தார். (ஜாகோபி சார்புகள் “தீட்டா” என்றும், ராமானுஜனின் சார்புகள் “மாக் தீட்டா” சார்புகள் எனவும் அழைக்கப் படுகின்றன.)

ராமானுஜனின் சார்புகள் நிறைவு செய்யும் 17 முற்றோருமைகளை தீர்வில்லாமல் ராமானுஜன் எழுதி வைத்திருந்தார். இந்த சார்புகளைப் பற்றி மேலும் ராமானுஜன் ஆராய்ச்சியைத் தொடர்வதற்கு முன் அவர் காலம் முடிந்து விட்டது. இந்த சார்புகள் குறித்து ஜார்ஜ் ஆண்ட்ரூஸ் தொடர்ந்து ஆராய்ச்சி செய்து பல முற்றொருமைகளுக்கு நிரூபணம் கொடுத்தார். இருந்தாலும் இந்த சார்புகளைக் குறித்த புரிதல் பெரிய புதிராகவே இருந்தது.

அந்தச் சார்பை பத்து ஆண்டுகளுக்கு முன்தான் கணிதவியலாளர்கள் சரியாக புரிந்து கொண்டார்கள். கென் ஓனோ ஜாகோபி மற்றும் ராமானுஜனின் சார்புகளின் மதிப்புக்களைக கண்டறிந்து ஒப்பிட்ட போது, அது ராமானுஜனின் அனுமானத்தை ஒத்திருந்தது. கென் ஓனோ தான் 2006 ஆம் ஆண்டு செய்த ஆராய்ச்சி முடிவைக் கொண்டு தான், ராமானுஜன் சார்புகளின் மதிப்பைக் கணக்கிட்டார்., அதனை ராமானுஜன் வாழ்ந்த காலத்தில் இருந்த கணிதத்தை வைத்துக் அவரால் கணக்கிட்டிருக்க முடியாது. அப்படி இருந்தும் ராமானுஜனால் எப்படி இந்த மாதிரி ஒரு சரியான அனுமானத்தை கொடுக்க முடிந்தது என ஆச்சிரியப்படுகிறார். பிரிவினைகள் பற்றி புரிந்து கொள்ள இந்த

“இந்த மாக் தீட்டா சார்புகள் குறித்த ராமானுஜனின் சாதனையே அவரை என்றென்றும் நினைவில் கொள்ள போதுமானது “என ஏல் பல்கலைக்கழகத்து பேராசிரியர் அமெண்டா பால்சம் கூறியுள்ளார்.இந்த மாக் தீட்டா சார்புகள் கருந்துளைகள் (black holes) ஆராய்ச்சியில் பயன்படும் வாய்ப்புக்கள் இருக்கின்றன. ராமானுஜன் வாழ்ந்த காலத்தில் கருந்துளைகள் என்ற ஒன்றே இருந்ததில்லை என்பதை நினைவில் கொள்ள வேண்டும். ராமானுஜன் சார்புகள் உதவுவது மட்டுமின்றி, மேலும் பல இடங்களில் இதன் பயன்கள் இருப்பதால் , கென் ஓனோ ராமானுஜனை “முன் கூட்டியே அறியும் திறம்” (anticipator) கொண்டவர் என்கிறார்.

கென் ஓனோவின் இந்த நிரூபணங்கள் தான் ராமானுஜனின் கணிதப் பங்களிப்பின் முடிவா என்ற கேள்விக்கு, கென் ஓனோ “ஆமாம். அப்படித் தான் நினைக்கிறேன். ஆனால் அது தவறாகவும் இருக்கலாம்” எனக் கூறியுள்ளார்.

இது போன்ற கணிதக் கோட்பாடுகள் தனக்குத் தோன்றியதற்கு நாமகிரித் தாயார் அருள்தான் காரணம் என ராமானுஜன் கூறியுள்ளார். இது நம்பிக்கை சார்ந்து சரியானதாக இருக்கலாம். அதே சமயம், ராமானுஜனின் கணிதச் சிந்தனைகள் ஜகோபி, ஆய்லர் போன்ற கணித மேதைகளின் ஆழமான கற்பனைகள் மற்றும் தர்க்கங்களை ஒத்திருந்தது என்பதும் குறிப்பிடத்தக்கது.

http://www.ams.org/notices/201211/rtx121101522p.pdf 

http://www.ams.org/profession/prizes-awards/sastraprize2013.pdf 

http://www.newscientist.com/article/mg21628904.200-mathematical-proof-reveals-magic-of-ramanujans-genius.html 

http://www.ams.org/notices/201011/rtx101101441p.pdf