இயக்குநர் கே.பாலசந்தர் நினைவில் ..

இயக்குநர் கே.பாலசந்தர் ஒரு முழுமையான வாழ்க்கையைத்தான் வாழ்ந்து சென்றுள்ளார். இருந்தாலும் ரொம்பவுமே வருத்தமாக இருக்கிறது அவர் படைப்புகள்  எனக்கு மிகவும் பிடிக்கும்.குறிப்பாக தப்புத் தாளங்கள், அவர்கள், நிழல் நிஜமாகிறது.அவர் படங்களின் பாடல்கள் மிக அருமையாக இருக்கும். வி.குமார், M.S விஸ்வநாதன்  , இளையராஜா மற்றும் A.R. ரஹ்மான் வரை எல்லா இசை அமைப்பாளர்களையும் நன்றாக பயன்படுத்தியிருப்பார். நிழல் நிஜமாகிறது சினிமாவில் இரண்டே பாடல்கள் தான். தேன் சுவை. உன்னால் முடியும் தம்பி பாடல்கள் மற்றும் பின்னணி இசை இன்றும் காதில் ஒலித்துக் கொண்டிருக்கிறது. டூயட்டிலும் சௌக்கியமான இசை.

தப்புத் தாளங்கள் சினிமாவில் ரஜினியின் தம்பி சரிதாவைப் பார்த்து விட்டு போன செய்தி ரஜினிக்குத் தெரிந்தவுடன் வரும் காட்சியில் , ரஜினியும் ,சரிதாவும் போட்டி போட்டுக் கொண்டு நடித்திருப்பார்கள். ஒரு காட்சியில்  வந்தாலும் கமல் அசத்தியிருப்பார்.   "நாய் வித்த காசு குறைக்கும்' இது" நினைவிருக்கிறதா?



அவர்களில் ரஜினியை சாடிஸ்ட் ரோலில் மிளிர வைத்திருப்பார் கே.பி. நிழல் நிஜமாகிறதில் கம்பன் ஏமாந்தான் பாடலில் கமல் நடிப்பும், இலக்கணம் மாறுதோ பாடலில் சுமித்ரா நடிப்பும் இன்றும் கண்களில் நிற்கிறது. ஆனாலும் ஷோபா எல்லோரையும் தூக்கிச் சாப்பிட்டுருப்பார்.

பாமா விஜயம் சினிமாவில் நடுத்தர வர்க்கத்தினரின் பகட்டை வெளிப்படுத்தியிருந்த விதம் அற்புதம்.

நாகேஷை ஒரு சிறந்த குணச்சித்திர நடிகராக பரிமளிக்க வைத்ததில் கே.பி யின் பங்கு மிக முக்கியம்.

சின்னத்திரையில் "இரயில் சிநேகம்" என்ற தொடரில் டைட்டில் பாட்டாக வந்த "அந்த வீணைக்குத் தெரியாது அதை செய்தவன் யாரென்று" சஹானா ராகப் பாடல் எனக்கு மிக மிகப் பிடித்த ஒன்று.

இப்படி எழுதிக் கொண்டே போகலாம். எல்லா பிரபலங்களுக்கும் அவர்கள் துறையில் கோலோச்சும் கால கட்டம் உண்டு. கே.பி யும் ஒரு கால கட்டத்தில் தமிழ் சினிமாத் துறையில் கோலோச்சினார்.இன்று அவர் நம் மத்தியில் இல்லை என்பது வருத்தம் தான். 

இராமானுஜன் - 127

இராமானுஜனின் பிறந்த நாளான டிசம்பர் 22 ஆம் தேதி அவரின் கணிதப் பங்களிப்பின் ஒரு துளியைப் பற்றி இங்கு பார்ப்போம்.


(நன்றி: http://filmzznwzz.blogspot.com/2011/12/happy-birthday-srinivasa-ramanujan.html)
குழந்தைகளுக்கான ஒரு சிறிய புதிருடன் தொடங்குவோம். குழந்தையிடம் ஒரு இயல் எண்ணை (சிறிய எண்ணாக இருந்தால் நல்லது) நினைத்துக் கொள்ளச் சொல்லவும். அந்த எண்ணுடன் 9 யைக் கூட்டச் சொல்லவும். கூட்டி வந்த விடையை இரண்டால் பெருக்கி, கிடைக்கும் எண்ணிலிருந்து 4 யை கழித்த பின் இரண்டால் வகுக்கச் சொல்லவும்.இறுதியில் முதலில் நினைத்துக் கொண்ட எண்ணை கழித்தால் 7 என்ற எண் எப்போதுமே விடையாகக் கிடைப்பதைப் பார்க்கலாம்.

உதாரணமாக 15 என்ற எண்ணை எடுத்துக் கொள்வோம்.
15+9 =24
24X 2= 48
48-4 44
44/2= 22
22-15 = 7

இதில் பெரிய புதிர் ஒன்றுமில்லை என்பது நமக்குத் தெரியும். ஆனால் குழந்தைகளுக்கு ஒரு சுவாரசியமான அனுபவமாக இருக்கலாம்.

ஒவ்வொருவருக்கும் ஓர் எண் பிடித்தமானதாக இருக்கும். எம்.ஜி.யாருக்கு இராசியான எண்  9 என்பார்கள் என நினைவு. 7 என்ற எண் எனக்கு மிகவும் பிடித்த எண். அலெக்ஸ் பெல்லோஸ் என்பவர் உலகளவில் பிடித்தமான எண் கண்டறிய நடத்திய ஓட்டெடுப்பில் 7 வெற்றி பெற்றுள்ளதை இங்கு காணலாம்.

சரி இராமனுஜனுக்கும் 7 என்ற எண்ணுக்கும்  என்ன தொடர்பு?  இரண்டு இயல் எண்களை எடுத்துக் கொள்வோம். அந்த எண்களின் வர்க்கங்களின் கூட்டுத்தொகை ஒரு வர்க்க எண்ணாக(square number) இருக்குமா? பள்ளி நாட்களில்  படித்த "பிதகோரஸ்" தேற்றம் நினைவிற்கு வர வேண்டுமே? உதாரணத்திற்கு 3^ 2+4^ 2= 5^ 2.(3^ 2 எனில் 3X 3)  இதுபோல் ஒரு கணிதக் கோவை (mathematical expression) எப்போது வர்க்க எண்ணைக் கொடுக்கும் என்ற கேள்வி மிகவும் பழமையானது. மூவாயிரம் ஆண்டுகளுக்கு முன்பே மனிதகுலம் இதற்கான விடை அறிந்திருந்தனர்.

இராமானுஜன் 1913 ஆம் ஆண்டு 2^n - 7 என்ற கோவை எந்த n மதிப்புக்களுக்கு ஒரு வர்க்க எண்ணைக் கொடுக்கும் எனக் கண்டறிந்தார்.
n = 1,3,4,5,15 என்ற நான்கு மதிப்புக்களுக்கு மட்டும்  தான்  2^n - 7 ஒரு வர்க்க எண்ணாக இருக்கும் என்ற அனுமானத்தை முன்வைத்தார்.
அதாவது
 2^ 3-7 = 1 (1 இன் வர்க்கம்)
2^ 4-7 = 9 (3 இன் வர்க்கம்)
2^ 5-7 = 25 (5 இன் வர்க்கம்)
2^ 15-7 = 32768-7=32761 (181 இன் வர்க்கம்)

இதை 1948 ஆம் ஆண்டு நார்வேவைச் சேர்ந்த கணிதவியலாளர் நெகால் இதனை நிரூபித்தார். இதில் சுவையான விஷயம் என்னவென்றால்

2^n - D (D என்பது பொதுவான இயல் எண்ணைக் குறிக்கிறது)என்ற கோவை அதிக பட்சம் இரண்டு இயல் எண்களின் n மதிப்பிற்குத் தான் வர்க்க எண்ணாக  இருக்கும் என்ற முடிவு தான் இராமானுஜன் ஆராய்ந்த 2^n - 7 என்ற கோவை தனித்தன்மையானது எனத் தெரிய வந்தது.

 2^n - D என்ற கோவையில் D=7 க்கு மட்டும் நான்கு n மதிப்புக்களுக்கு வர்க்க எண்ணைக் கொடுக்கிறது.

இதிலிருந்து .இந்த மஞ்சுல் பார்கவா வீடியோவில் நுழைந்தால் சுவையான கணிதத்திற்குள் செல்லலாம்




                   

மிச்சிகன் தமிழ் சங்கம் - தமிழ்நாடு அறக்கட்டளை இணைந்து நடத்திய நாடகம்

சென்ற ஞாயிறு டிசம்பர் 14 ஆம் தேதி மிச்சிகன் தமிழ் சங்கமும்  - தமிழ்நாடு அறக்கட்டளையும்  இணைந்து நடத்திய நகைச்சுவை நாடகம் பஞ்சதந்திரம்  காண  துணைவியாருடன் சென்றிருந்தேன். தமிழ்நாடு அறக்கட்டளை செய்து வரும் மகத்தான பொதுச் சேவைக்கு நிதி சேர்க்கும் முகமாக இந்த நாடகம் நடத்தப்பட்டது. பஞ்சதந்திரம் நாடகம் அமெரிக்காவின் சில முக்கிய நகரங்களில் நடத்தப்பட்டு நல்ல வரவேற்பு கிடைத்ததாக அறிவித்தார்கள்.

இந்த நாடகத்தை சந்திரமௌலி எழுதியுள்ளார்கள். டெட்ராய்டில் இதைத்  தயாரித்து, இயக்கியவர் பழகுவதற்கு இனிமையானவரும் மற்றும் மரியாதைக்குரியவருமான டாக்டர் வெங்கடேசன் .அம்புஜா வெங்கடேசன்  குரலில் தெளிவான தமிழில் ஒலித்த கதைக்களத்துடன் நாடகம் தொடங்கியது. நாடகத்தில் நடித்த எல்லா நடிகர்களையும் என்னால் இனம் காண முடியவில்லை.ஒரு நிறுவனத்தின் உதவி பொது மேலாளர் பஞ்சாபிகேசனைச் சுற்றி கதை நகர்கிறது.பஞ்சபிகேசனாக நடித்தவர் நன்றாகச்  செய்திருந்தார். டாஸ்மாக், போலி சாமியார்கள் (குறிப்பாக நித்தியானந்தா?) போன்ற சமீப கால தமிழ்நாடு செய்திகளையும், ஆப்பிள், அண்ட்ராயிட், கூகிள்  என தற்கால பங்களிப்புகளையும் மற்றும் 70 களின் ஆனந்தவிகடன் ஜோக்குகளையும் வைத்து ஒரு நகைச்சுவை நாடகத்தைக் கொடுத்திருக்கிறார்கள். தொழில்முறை இல்லாத ஒரு குழுசெய்த இந்த முயற்சி பாராட்டத்தக்கது.

பஞ்சபிகேசன் மனைவியாக நடித்தவரின் டயலாக் டெலிவரி தொழில் முறை நடிகரை ஒத்திருந்தது. டாஸ்மாக் கடை முதலாளியாக வந்த ராக்கெட் ராஜா (சதீஷ்) மற்றும் அவர் அல்லக்கையாக நடித்தவர்(தேசிகன் ) அமர்களம்.என்ன சிங்கம் சூரியா - அனுஷ்கா போல உயரம் கொஞ்சம் பிரச்சனை. தேசிகன் ரொம்பவுமே குனிய வேண்டியதாகி விட்டது. சாமியார் (ஆனந்த்) மற்றும் அவரின் சிஷ்யகோடி (வெங்கடேசன்) பட்டையும் (நெற்றியில் தான்) கொட்டையுமாக வந்தது அந்த சிவபெருமானின் திருவிளையாடல் தானோ ? என்ன தான் முகத்தை மறைத்தாலும் இன்னொரு சிஷ்யகோடி சேதுராமன் என்பதை  உடல்மொழி காட்டிக் கொடுத்து விட்டது.ஒரு நல்ல பொழுது போக்கு.ஒர்  உயர்ந்த நோக்கத்திற்காக தங்கள் பங்களிப்பைக் கொடுத்த அனைத்து நடிகர்களுக்கும் வாழ்த்துகளை மனதார தெரிவித்துக் கொள்கிறேன். இடைவேளையில் நண்பர்கள் சிலருடன் உரையாடியது  ஆனந்த அனுபவம்.

தமிழ்நாடு அறக்கட்டளை கொடையாகக் கிடைக்கும் பணத்தை நல்ல முறையில் தமிழ்நாட்டில் பயன்[படுத்துவதை அறிய மகிழ்ச்சியாக இருந்தது. இது போல் கொடுக்கும் நன்கொடைகள் ஜாதி, மதம் மற்றும் இனம் தாண்டி தேவையானவர்களுக்கு சென்றைடைவதே இதன் சிறப்பு.


நாடகத்திலிருந்து:

"நான் சாமியார் கிட்ட ஏழு ஜென்மமும் நீங்களும், நானும் புருஷனும், பெண்டாட்டியாகவும் இருக்கணும் அப்படின்னு வேண்டிண்டேன்.நீங்க என்ன வேண்டிண்டேள்?" பஞ்சாபிகேசன் மனைவி

"நான் இதுவே ஏழாவது ஜென்மமா இருக்கணும்னு  வேண்டிண்டேன்" பஞ்சாபிகேசன்.

"எல்லா உடம்பிற்கும் ஹார்ட்வேர் ஒன்னு தான் ஆனால் ஆபரேடிங் சிஸ்டம் தான் வேறு" சாமியார்.

பி.கு : சமூக ஊடகங்களில் இருந்து தப்பித்தோம் என நினைத்து கொண்டிருக்கும் போதே , நாடக அரங்கிலும் லிங்கா குறித்த அரட்டை தொடர்ந்து காதில் விழுந்த வண்ணம் இருந்தது. நல்லா தான் இருந்தது .. லாஜிக் பார்க்கக் கூடாது ஒரு பெண்மணி. நாங்க லாஜிக் எல்லாம் கழட்டி வைத்து விட்டுத் தான் போனோம். அப்படியும் பிடிக்கலை.மற்றொருவர். 65 வயதில் அனுஷ்கா, சோனாக்ஷி தேவையா என சற்று பொறாமையுடன் கூடிய எரிச்சலுடன் சில ஆண்கள். அந்த அனுஷ்காவிற்காக இன்னொரு தடவை பார்க்கலாம்.என்று சொன்னவர் என் இனம் போல.

ஃபீல்ட்ஸ் பதக்கம் – ஓர் எளிய அறிமுகம்

கணிதத்திற்கு நோபல் பரிசு கிடையாது . அல்ஃப்ரெட் நோபலின் சம காலத்தில் வாழ்ந்த ஸ்வீடன் நாட்டு கணித வல்லுநர்  மாங்க்னெஸ் குஸ்டாஃப் (யோஸ்டா) மிட்டாக்-லெஃப்லர் (Magnus Gustaf (Gösta) Mittag-Leffler) ஸ்வீடனின் அரசரிடம் தொடர்ந்து பேசி கணிதத்துக்கு ஏற்கனவே ஒரு பரிசை நிறுவ ஏற்பாடு செய்துவிட்டதால், நோபேல் அதனுடன் போட்டி போட விரும்பவில்லை என்பது ஒரு காரணமாக இருந்திருக்க வாய்ப்புண்டு எனச் சொல்லப்படுகிறது. இதுவும் வெறும் யூகமே. ஆனால் மிட்டாக்-லெஃப்லர் தான் நோபலின் மறைவுக்குப் பின் (1886)அவர் நிறுவிய பரிசை உலகளவில் பிரபலமாக்க பங்காற்றிய முக்கியமானவர்களில் ஒருவர் என்பது குறிப்பிடத்தக்கது.

கணித ஆராய்ச்சிக்கு ஒரு பரிசு நிறுவ வேண்டும் என்ற எண்ணம் கனடாவின் கணிதவியலாளர் ஜான் சார்ல்ஸ் ஃபீல்ட்ஸ்க்கு (Fields) உதித்தது. 1928 ஆம் ஆண்டு கணித உலகில் தன் எண்ணத்தைப்பகிர்ந்து கொண்டு ஆதரவு தேடினார். அது அத்தனை சுலபமாக அமையவில்லை. ஆனால் அவர் விடா முயற்சியுடன் செயல்பட்டார். பரிசு நிறுவப்படாத நிலையில்கூட சிற்பக் கலைஞர்களையும் சந்தித்து அந்தப் பரிசுக்கான பதக்கம் எப்படி இருக்க வேண்டும் எனும் வடிவமைப்பை பற்றிய கருத்துகளைப் பரிமாறிக் கொண்டார். பீல்ட்ஸ் பதக்கம் குறித்த முதல் தகவல் பிப்ருவரி 24, 1931 ஆம் நடைபெற்ற உலக கணிதக் கூட்டமைப்பின் குழுக் கூட்டத்தின் குறிப்பில் இடம் பெற்றுள்ளது. அப்போது $2,500/= மதிப்பில் இரண்டு பரிசுகள் கொடுப்பதாக முடிவு செய்யப்பட்டது.

1932 ஆம் ஆண்டு பீல்ட்ஸ் கணிதத்திற்கான பரிசைக் கொடுக்க பல நாடுகளின் ஆதரவு இருப்பதாகத் தெரிவித்தார். மேலும் இந்தப் பதக்கம் 40 வயதிற்கு உட்பட்டவர்களுக்கே கொடுக்கப்பட வேண்டும் என்றார். இதற்குக் காரணமாக “ஏற்கெனவே கணிதத்தில் செய்த சாதனைக்காகவும், பரிசு பெற்றவர்கள் எதிர்காலத்தில் ஊக்கத்துடன் செயல்படவும் மற்றவர்களுக்கு ஒரு தூண்டுகோலாகவும் அமைய வேண்டும்” என்பதை முன் வைத்தார்.   ஆனால் எதிர்பாராதவிதமாக ஃபீல்ட்ஸ் 1932 ஆம் ஆண்டு ஆகஸ்ட் மாதம் தீடீரென காலமானார். மரணப்படுக்கையில் இருக்கும்போது உயில் எழுதிய பீல்ட்ஸ், $47,000 டாலர்களை இந்தப் பரிசுத் தொகைக்கான நிதிக்கு அளிப்பதாக எழுதி வைத்தார்.  கணித ஆராய்ச்சிக்குக் கொடுக்கும் பதக்கம் எவர் ஒருவரின் பெயரையும் கொண்டிருக்கக் கூடாது என்று ஃபீல்ட்ஸ் கூறியிருந்தாலும், இந்தப் பதக்கம் “ஃபீல்ட்ஸ் பதக்கம்” என்றே வழங்கப்படுகிறது. இதற்கு 15,000 கனடா டாலர்கள் பண முடிப்பாகக் கொடுக்கப்படுகிறது.

நான்கு வருடத்திற்கு ஒரு முறை உலகக் கணிதவியலாளர்கள் கூடும் மாநாட்டில் இந்தப் பரிசு அதிகபட்சம் நான்கு கணித வல்லுனர்களுக்கு வழங்கப்படுகிறது. 1936 ஆம் ஆண்டு முதல் பரிசு லொர்ஷ் ஆல்போர்ஸ் (Lars Ahlfors) மற்றும் ஜெஸ்சி டக்லஸுக்கும் (Jesse Douglas) ஆஸ்லோவில் நடந்த உலகக் கணிதவியலாளர்கள் சந்திப்பில் வழங்கப்பட்டது. இரண்டாம் உலகப் போருக்குப் பிறகு 1950 ஆம் ஆண்டிலிருந்து தொடர்ந்து நான்கு ஆண்டுகளுக்கு ஒரு முறை இந்தப் பரிசு வழங்கப்பட்டு வருகிறது.

இந்தப் பதக்கத்தின் விட்டம் 7.5 செ.மீ.  இருக்க வேண்டுமென்றும், இது உலகளவில் வழங்கப்படுவதால் அதில் பொறிக்கப்படும் எழுத்துகள் லத்தீன் அல்லது கிரேக்கத்தில் அமைய வேண்டும் என்றும்  ஃபீல்ட்ஸ் முடிவு செய்திருந்தார்.  எனவே ஃபீல்ட்ஸ் பதக்கத்தின் வடிவமைப்பு ஒரு பக்கத்தில் ஆர்கமிடீஸ் உருவமும், அதனைச் சுற்றி லத்தீன் மொழியில் ரோமப் புலவன் மனிலியஸ் வார்த்தைகள் “உங்கள் புரிதலைத் தாண்டி கடந்து செல்லவும் மற்றும் பிரபஞ்சத்தை முற்றும் கற்றுணர்தராகவும்” (To pass beyond your understanding and make yourself master of the universe) என்றும் பொறிக்கப்பட்டுள்ளது. பதக்கத்தின் மற்றொரு பக்கம்

“உலகத்திலுள்ள எல்லா கணிதவியலாளர்களும்  கூடி  அளிக்கிறார்கள் (பதக்கத்தினை), தலைசிறந்த எழுத்துக்காக (Mathematicians having congregated from the whole world awarded (this medal) because of outstanding writings)

எனப் பொறிக்கப்பட்டுள்ளது.

ஃபீல்ட்ஸ் பதக்கத்தை நோபேல் பரிசுடன் ஓப்பீடு செய்வது  போதுமானதல்ல எனலாம். நோபேல் பரிசு வயது முதிர்ந்த சாதனையாளர்களுக்குக் கொடுக்கப்படுகிறது. ஃபீல்ட்ஸ் பதக்கம் 40 வயதிற்குட்பட்ட கணிதவியலாளர்களின் சாதனைகளுக்குக் கொடுக்கப்படுவதோடு, தொடர்ந்து முனைப்புடன் எதிர்காலத்தில் அவர்கள் செயல்படவும் ஊக்குவிக்கிறது. 2000 ஆம் ஆண்டு Michael Monastyrsky “ஃபீல்ட்ஸ் legacy” என்ற உரை ஆற்றியபோது

“எந்தக் கணித முடிவுகளுக்காக ஃபீல்ட்ஸ் பதக்கம் வழங்கப்பட்டதோ, அவை கணிதத்தின் வளர்ச்சியை பிரதிபலிப்பதாகவும், பதக்கம் பெற்றவர்கள் கணிதச் சமூகத்தை பிரதிபலிக்கும் தகுதியுடையவர்களாகவும் இருக்கிறார்கள்”

எனக் குறிப்பிட்டுள்ளார்.

ஆனால் நாற்றெ டர்ம் பல்கலைகழகத்தைச் சேர்ந்த கிர்க் டொரன் மற்றும் ஹார்வர்ட் பல்கலைகழகத்தைச் சேர்ந்த ஜார்ஜ் போர்ஜஸ் என்ற இரு பொருளாதார நிபுணர்கள்  ஃபீல்ட்ஸ் பதக்கம் வென்றவர்களின் பதக்கம் வாங்கிய பிறகான உற்பத்தித்திறன் குறித்த ஓர் ஆராய்ச்சியை   சமீபத்தில் மேற்கொண்டார்கள். கணிதவியலாளர்கள் வெளியிடும் கணித ஆராய்ச்சிக் கட்டுரைகள் குறித்த தரவுகள் கிடைக்கின்றன. இந்தப் பதக்கம் நான்கு ஆண்டுகளுக்கு ஒரு முறை கொடுக்கப்படுவதால், பதக்கம் கொடுக்கப்படும் ஆண்டில், 37 வயதை எட்டிய கணித ஆராய்ச்சியாளர்களுக்கு இந்த விருது கிடைக்கும் வாய்ப்பில்லாமல் போகிறது. விருது கிடைக்காத இந்தக்  கணித ஆராய்ச்சியாளர்களின் உற்பத்தித்திறனை பரிசு வென்றவர்களின் திறனோடு ஒப்பிட்டுப் பார்த்தார்கள். ஆச்சரியப்படும் வகையில் பரிசு பெற்றவர்களின் உற்பத்தித்திறன் குறைவதாக அவர்கள் ஆராய்ச்சியின் முடிவில் கண்டறிந்தார்கள்.

இப்போது இந்த ஃபீல்ட்ஸ் பதக்கம் வழங்குவதன் நோக்கம் நிறைவேறவில்லையா என்ற கேள்வி எழுகிறது. வித்தியாசம் எங்கு வருகிறதென்றால், பரிசு பெற்றவர்கள் கணிதத்தின் அவர்களுக்கு அதிக பரிச்சயமில்லாத, புதிய பிரிவுகளில் தங்கள் ஆராய்ச்சியை மேற்கொள்ள முயல்வதால் எனலாம்.  கணித ஆராய்ச்சிக்கு பெரிய அளவிலான அறிவியல் உபகரணங்களோ அல்லது பெரிய அளவில் பொருளாதார உதவியோ  தேவையில்லை. அதனால் சுலபமாக பீல்ட்ஸ் பதக்கம் வென்றவர்கள் கணிதத்தின் உட்பிரிவுகளில் புதிய ஆராய்ச்சிகளை மேற்கொள்ள முடிகிறது. புதுப்பிரிவு என்பதால் ஆராய்ச்சிக் கட்டுரைகள் வெளியிட எடுத்துக் கொள்ளும் காலமும் அதிகரிக்கிறது.அதே சமயம் பதக்கம் வெல்லத் தவறியவர்கள் தொடர்ந்து தங்களின் ஆராய்ச்சியை தங்களுக்கு உகந்த கணிதப் பிரிவில்  தொடர்வதால் அதிக அளவில், குறுகிய இடைவெளியில் தங்கள் கண்டுபிடிப்புக்களை வெளியிடமுடிகிறது.

இது தவிர, ஆபெல் பரிசு என்ற வாழ்நாள் சாதனை கணித விருது 2003 ஆம் ஆண்டிலிருந்து வழங்கப்படுகிறது. இதுவரை ஆபெல் பரிசு வென்ற 5 கணிதவியலாளர்கள், ஏற்கனவே ஃபீல்ட்ஸ் பதக்கம் வென்றவர்கள் என்பது குறிப்பிடத்தக்கது. தனது 28 ஆம் வயதில் ஆபெல் பரிசு மிகக் குறைந்த வயதில் பெற்ற ழான் பியே ஸேர் (Jean-Pierre Serre) குறித்த கட்டுரையை சொல்வனத்தில் இங்குபடிக்கலாம். மனித சமுதாயத்தின் தேவைக்கேற்ப கணிதத்தின் வளர்ச்சி இருந்து வருகிறது என்பதில் ஐயமில்லை.

மரியம் மிர்சகனி (Maryam Mirzakhani), மஞ்சுல் பார்கவ், அர்டுர் அவிலா மற்றும் மார்டின் ஹைரெர்  இந்த ஆண்டு ஃபீல்ட்ஸ் பதக்கம்  பெற்றவர்கள்., ஈரான் நாட்டைச் சேர்ந்தபெண் கணிதவியலாளர் மரியம் மிர்சகனி இந்தப் பதக்கத்தை வென்ற முதல் பெண் கணிதவியலாளர். முதல் முறையாக, இந்திய வம்சாவழியைச் சேர்ந்த மஞ்சுல் பார்கவ் மற்றும் பிரேசில் நாட்டைச் சேர்ந்த இலத்தீன் அமெரிக்கர் அர்டுர் அவிலாக்கும் (Artur Avila) ஃபீல்ட்ஸ் பதக்கம் அளிக்கப்பட்டுள்ளது என்பது குறிப்பிடத்தக்கது. மஞ்சுல் பார்கவ் இராமனுஜன் போன்றே எண்கணிதத்தில் தன் ஆராய்ச்சியை மேற்கொள்பவர். மேலும் இவர் ஒரு மிகச் சிறந்த தபேலா கலைஞரும் கூட.

சொல்வன இணைய இதழில் வெளியான கட்டுரை 

மறையீட்டியலும் கணிதமும்

கருத்துப் பரிமாற்றம் இரகசியமாகச் செய்து கொள்ள வேண்டிய அவசியம் ஆதிகாலத்திலிருந்து மனிதச் சமுதாயத்திற்குத் தேவையானதாக இருந்து வந்துள்ளது. நான் சிறுவனாக இருக்கும்போது என் உறவினர்கள் இருவர் எனக்குப் புரியக் கூடாது என்று “கககடைக க்ககுகபோகககலாகம் ” எனப் பேசிக் கொள்வார்கள். அதில் அவர்களுக்கு ஒரு மகிழ்ச்சி. சில நாட்களில் அவர்களின் இந்த மொழி எனக்குப் புரிந்து விட்டது.

ஔவை கம்பரின் ஒரு விடுகதைக்குக் கூறிய பதிலைப் பாருங்கள்.

எட்டேகால் லட்சணமே எமனே றும்பரியே
மட்டில் பெரியம்மை வாகனமே முட்டமேற்
கூரையில்லா வீடே குலராமன் தூதுவனே
ஆரையடா சொன்னா யடா?

இங்கு அவலட்சணம், எருமைமாடு, கழுதை, குட்டிச்சுவர், குரங்கு என நேரடியாகச் சொல்லாமல் மறையீட்டு மொழியில் (cryptic language) சொல்லியுள்ளார்.

ஜூலியஸ் சீசர் அந்தரங்கமான செய்திகளைப் பகிரும்போது நேரடியான மொழியில் எழுதாமல், மறையீட்டு மொழியில் வெளிப்படுத்தினார். அதாவது Aக்கு பதிலாக E. Bக்கு பதிலாக F என மாற்றி எழுதுவது. உதாரணமாக M EQ GSQMRK என்று செய்தி அனுப்பலாம். சீசர் காலத்தில் பலரும் படிப்பறிவு இல்லாதவர்களாக இருந்ததால் இதைப் போன்ற மறையீட்டு மொழி இராணுவ ரகசிய தகவல் பரிமாற்றங்களிலும் மிகவும் பாதுகாப்பான முறையில் பயன்படுத்தப்பட்டது. இதைத்தான் “சீசர் மறைகுறியீடு” என்கிறோம்.

  

20ஆம் நூற்றாண்டில் எனிக்மா என்ற இயந்திரம் முதல் உலகப்போர் முடியும் தருவாயில் 1918 ஆம் ஆண்டு ஜெர்மனியைச் சேர்ந்த Arthur Scherbius என்பவரால் கண்டுபிடிக்கப்பட்டது. முதலில் எனிக்மா, வர்த்தகத்துறையில்தான் பயன்படுத்தப்பட்டது. எனிக்மாவில் பல மாதிரிகள் இருந்தாலும், பரவலாக ஜெர்மனியின் இராணுவம் உபயோகித்த எனிக்மா இயந்திரம்தான் விவாதிக்கப்படுகிறது.

இந்த இயந்திரம் எப்படி நேர்மொழியில் எழுதப்பட்டதை மறைமொழியில் மாற்றுகிறது என இந்தத் தளத்தில் காணலாம்.

உதாரணத்திற்கு SOLVANAM INSPIRES என்பதை  XVTYIZPA PJEGTDLC  .என மறைமொழியில் மாற்றுகிறது

இரண்டாம் உலகப் போரில் ஜெர்மனி இந்த மறைகுறியீட்டு முறையை இராணுவ ரகசியப் பரிமாற்றத்திற்குப் பயன்படுத்தியது. இந்த மறைகுறியீடு முறை சிக்கலானதாக இருந்தாலும், இதன் வடிவமைப்பில் இருந்த குறைகளால் ஜெர்மனியால் மறைமொழியில் பரிமாறிக் கொள்ளப்பட்ட செய்திகளை இங்கிலாந்து மறை குறியீட்டாளர்கள் கடின முயற்சிக்குப் பின் கண்டறிந்தார்கள். அது எப்படிச் சாத்தியமானது எனப் பார்ப்போம்.

அப்போது இங்லாந்தின் பிரதமராக இருந்த வின்ஸ்டன் சர்ச்சில் ப்லேட்ச்லே பார்க்கில் (Bletchley Park) இரகசியமாக நடந்து வந்த எனிக்மா இயந்திரத்தின் மறைகுறியீட்டை முறிக்கும் ஆராய்ச்சிக்கு முழு ஆதரவு கொடுத்தார். அப்போதுதான் ஆலன் டியூரிங் தலைமையில் ப்லேட்ச்லே பார்க்கில் குடில் 8 இல் இயங்கிய குழு “பாம்ப் ” (Bombe) என்ற இயந்திரத்தை கண்டுபிடித்ததின் மூலம் எனிக்மாவின் மறைகுறியீட்டை நேர்மொழியாக மாற்ற உதவியது. இதனால் இரண்டாம் உலகப் போர் இரண்டு ஆண்டுகள் முன்னதாகவே  முடிவுக்கு வந்தது எனவும் கருதப் படுகிறது.

இரண்டாம் உலகப்போர்வரை பயன்படுத்தப்பட்ட மறைகுறியீட்டு முறைகளில் நேர்மொழியை மறைமொழியாக மாற்ற பயன்படுத்தும் இரகசிய திறவியே (Key) மறைமொழியை நேர்மொழியாக மாற்றவும் உபயோகப் படுத்தப்பட்டது. இதில் உள்ள பிரச்சனை என்னவென்றால், நேர்மொழியை மறைமொழியாக மாற்றி அனுப்புபவருக்கும், அதைப் பெற்றுக் கொள்ளுபவருக்கும் இரகசியத் திறவி தெரிந்திருக்க வேண்டும். அந்தத் திறவி இருவருக்கும் முதலிலேயே தெரிந்திருக்கவில்லையெனில்,அதனை இரகசியமாகப் பகிர்ந்து கொள்வதில் சிக்கல் உள்ளது. மேலும் மறைமொழியில் அனுப்பப்படும் செய்தியை பெறுபவரைத் தவிர வேறு மூன்றாம் நபர் இடைமறிக்கும் பட்சத்தில், மறைமொழியாக்க உபயோகப்படுத்திய திறவியைக் கண்டறிந்தால் மறைமொழியை நேர்மொழியாக மாற்றிவிட முடியும். அதனால் செய்தியின் இரகசியத் தன்மையை இழக்க நேரிடும்.

இந்தப் பிரச்சனையை எப்படி எதிர கொள்வது என்ற ஆராய்ச்சி இரண்டாம் உலகப் போருக்குப் பின் மேற்கொள்ளப் பட்டது. 1976 ஆம் ஆண்டு ஸ்டான்போர்ட் பல்கலைக்கழகத்தைச் சேர்ந்த Whitfield Diffie and Martin Hellman என்ற இரண்டு ஆராய்ச்சியாளர்கள் திருப்புமுனையாக அமைந்த “New Directions in Cryptography” என்ற ஆராய்ச்சிக் கட்டுரையில், நேர் மொழியை மறைமொழியாக மாற்ற பொதுத்திறவியும், மறைமொழியை நேர்மொழியாக்க வேறு இரகசிய திறவியும் பயன்படுத்தலாம் என்ற கோட்பாட்டை முன்வைத்தார்கள்.

பொதுத் திறவி யார் வேண்டுமானாலும் பயன்படுத்தி எந்த நேர்மொழியையும் மறைமொழியாக மாற்ற முடியும். அதே சமயம் மறைமொழியை நேர்மொழியாக மாற்ற வேறொரு திறவி பயன்படுத்தப்படும். அது இரகசியமானதாக இருக்கும். இதைத்தான் பொதுத்திறவி மறையீட்டாக்கம் (Public-key Cryptography) என்கிறோம்.

இதைச் சிறிது மேலும் புரியும்படி பார்ப்போம். ஓரிடத்திலிருந்து வேறொரு இடத்திற்குச் செல்லும் வழியையே மீண்டும் வருவதற்கும் உபயோகித்தால், புறப்பட்ட இடத்திற்கே வந்து சேர்ந்து விட முடியும். இந்த முறைதான் இரண்டாம் உலகப் போர் வரை மறையீட்டாக்கத்தில் பயன்படுத்தப்பட்டது. ஆனால் 1976 ஆம் ஆண்டிற்குப் பிறகு திட்டி வாயில் (trapdoor) மரையீட்டாக்க முறை பயன்பாட்டிற்கு வந்தது. அதாவது மகாபாரதத்தில் அபிமன்யு சக்கர வியூகத்தில் நுழைவதற்குத் தெரிந்தது. ஆனால் வெளிவரத் தெரியவில்லை. அது போல் நேர்மொழியை மறைமொழியாக மாற்ற முடியும். ஆனால் மறைமொழியை நேர்மொழியாக்கும் திறவி கண்டறிவது மிகவும் கடினம்.

1977 ஆம் ஆண்டு பாஸ்டனில் இருக்கும் MIT பல்கலைகழகத்தைச் சேர்ந்த Ron Rivest, Adi Shamir and Leonard Adleman என்ற மூவரும் பொதுத் திறவி மறையீட்டாக்கம் செயல்படுத்தும் ஒரு முறையைக் கண்டறிந்தனர்.  இதில் ரிவெஸ்ட் மற்றும் ஷமீர் இருவரும் கணனியியல் துறையில் நிபுணர்கள். அல்டெர்மென் கணித ஆய்வில் சிறந்து விளங்கினர். ரிவெஸ்ட் மற்றும் ஷமீர் புதுமையான வழிமுறைகளை முன் வைப்பார்கள். அதனை ஆராய்ந்து அதில் இருக்கும் குறையைக் கண்டறிந்து, அவர்களின் ஆய்வு வழி தவறாமல் பார்த்துக் கொண்டார் அல்டெர்மென்.. இது போல் ஒரு வருடம் தொடர்ந்தது. மூவருக்கும் ஒரு விதமான சோர்வு மனப்பான்மை ஆட்கொண்டது. அந்தச் சமயத்தில்  மூவரும்  பாஸ் ஓவர் (Passover) என்ற யூத விடுதலை நாளைக் ஒரு மாணவன் வீட்டில் Manischewitz வைன் சிறிது அதிகமாகவே குடித்து விட்டு நள்ளிரவில் அவரவர் இருப்பிடம் திரும்பினார்கள். ரிவேஸ்ட்டுக்கு தூக்கம் வரவில்லை. ஒரு கணிதப் புத்தகத்துடன் சோபாவில் அமர்ந்து கொண்டு சிந்தித்த போது, திடீரெனத் தான் தேடிக் கொண்டிருந்த கேள்விக்கான விடை உதித்தது. அன்றிரவே ஓர் அருமையான கணிதக் கட்டுரையை ரிவேஸ்ட் எழுதி முடித்தார். ஷமீர் மற்றும் அல்டெர்மென் உதவியுடன்  பொதுத் திறவி மறையீட்டாக்கம் செயல்படுத்தும் முறை முழுமை பெற்றது. அதுதான் புகழ்பெற்ற RSA மறையீடக்கமாகும். இதில்தான் மறையீட்டாக்கத்தில் கணிதத்தின் பயன்பாடு தொடங்கியது. அதுவும் கணிதத்தின் அழகியலை அனுபவிக்கும் நோக்கில் ஆராயப்பட்டு வந்த பகா எண்கள் பொதுத்திறவி மறையீட்டாக்கத்தில் பயன்பட்டது மிகவும் ஆச்சரியமான நிகழ்வு எனலாம்.

RSA மறையீட்டாக்கத்திற்கும் பகா எண்களுக்கும் என்ன உறவு எனப் பார்ப்போம். இரண்டு காரணிகள் மட்டுமே உள்ள எந்த இயல் எண்ணும் பகா எண் எனப்படுகிறது. கொடுக்கப்பட்ட இயல்  எண் பகா எண்ணா இல்லையா எனக் கண்டறிவதற்கு வழிமுறைகள் உள்ளன. இப்போது இரண்டு பகா எண்களை p , q என எடுத்துக் கொள்வோம்.இந்த இரண்டு எண்களையும் பெருக்கினால் கிடைக்கும் எண்ணை n = p  X q என்போம்.

இரண்டு பகா எண்கள் கொடுக்கப்பட்டால் அதனைப் பெருக்குவது சுலபம். ஆனால் இரண்டு பகா எண்களைப் பெருக்கி வரும் விடையைக் கொடுத்து, பெருக்கப்பட்ட இரண்டு பகா எண்களைக் கண்டறிய முயல்வது மிகக் கடினம். குறிப்பாக 155 இலக்கங்களைக் கொண்ட (512 பிட் என கணணி மொழியில் கூறுவார்கள்) இரண்டு பகா எண்களின்  பெருக்குத் தொகையிலிருந்து அந்த இரண்டு பகா எண்களைக் கண்டறிய எடுத்துக் கொள்ளும் நேரம் மிக அதிகம்.

அதே சமயம் 2048 பிட் (617 இலக்கங்கள்) இரண்டு பகா எண்களின் பெருக்குத் தொகையிலிருந்து அதன் காரணிகளைக் கண்டறிய பில்லியன் டாலர்கள் கணக்கில் செலவாகும்.

இந்த உத்தியில் பயன்படுத்தப்பட்ட கணிதம் 18 ஆம் நூற்றாண்டில் பெர்மா (Fermat) பகா எண்களைக் குறித்து  கண்டறிந்த உண்மையின் அடிப்படையில் அமைந்துள்ளது.

சரி. இந்த RSA  மறையீட்டு  முறையில் குறைகளே இல்லையா? இதைத் தவிர வேறு கணிதத்தின் அடிப்படையில் அமைந்த வேறு மறைகுறியீட்டு முறைகள் உள்ளனவா என அடுத்த் கட்டுரையில் பார்ப்போம்.

சொல்வன இணைய இதழில் வெளியான கட்டுரை.

பாலஸ்தீனிய கவிஞன் மேமூட் டார்விஷ் "I come from there" கவிதை.

கவிஞன் மேமூட்  டார்விஷ் கவிதைகள் இன்றைய பாலஸ்தீனிய பிரச்சனைக்கும் பொருந்தும். உதாரணத்திற்கு ஒரு கவிதை. இதை தமிழ் படுத்த முயன்றேன். ஆனால் மொழி பெயர்ப்பில் என் புரிதலின் உணர்வைக் கொணர முடியவில்லை. அதனால் ஆங்கிலத்தில் இங்கே:

I come from there and I have memories
Born as mortals are, I have a mother
And a house with many windows,
I have brothers, friends,
And a prison cell with a cold window.
Mine is the wave, snatched by sea-gulls,
I have my own view,
And an extra blade of grass.
Mine is the moon at the far edge of the words,
And the bounty of birds,
And the immortal olive tree.
I walked this land before the swords
Turned its living body into a laden table.
I come from there. I render the sky unto her mother
When the sky weeps for her mother.
And I weep to make myself known
To a returning cloud.
I learnt all the words worthy of the court of blood 
So that I could break the rule. 
I learnt all the words and broke them up 
To make a single word: Homeland.....

புரியாத உறவுகள்

வாழ்க்கையில் எத்தனையோ சந்திப்புகள், உரையாடல்கள். அதுவும் இன்று சமூக ஊடகங்கள் மூலம் அறிமுகமாகும் முகமறியாத நண்பர்கள் வேறு.  ஆனால் இவற்றில் ஒரு சில மட்டுமே அந்தரங்க மகிழ்ச்சி அளிக்கும் உறவாக பரிமளிக்கிறது. அப்படியான என் முன்னால் மேலாளருடனான ஓர் உறவு குறித்த நினைவுகளின் பதிவு தான் இது.

2007 ஆம் ஆண்டு முதல் 2009 முடிய அமெரிக்காவின் பொருளாதார நிலைமை மிக மிக மோசமாக இருந்தது என்பது எல்லோரும் அறிந்ததே. அப்போது எந்நேரம் வேலை போகுமோ என்ற மன அழுத்தத்துடனே கடந்த நாட்கள். நித்திய கண்டம் பூர்ண ஆயுசு என்பதின் முழு அர்த்தமும் தெளிவான காலம்.இந்த நிலையில் நான் வேலை பார்த்து வந்த அந்த கார்பரேட் கம்பெனியில் என் பழைய மேலாளர் விருப்ப ஓய்வு வாங்கிச் செல்ல, புது மேலாளருடன் வேலை செய்ய வேண்டிய நிலைமை. 

 நான் ஒப்பந்த முறையிலும், மேலாளர் நிரந்தர(?) ஊழியராகவும்  வேலை பார்த்து வந்தோம். நிரந்தர ஊழியர் என்றாலும், மேலாளரின் நாற்காலி சிறிது ஆட்டத்துடன் தான் இருந்தது. கார்பரேட் நிறுவனங்கள் ஒருவர் சாதித்ததையோ, சாதிக்க முடியக் கூடியதையோ பற்றி கவலைப்படாது.அதுவும் பொருளாதாரம் தள்ளாடும் போது அதற்கு தினமும் தங்க முட்டையிடும் வாத்து தான் தேவை. செலவைக் குறைக்கும் முகமாக கணணி தொடர்பான வேலைகளின் பெரும் பகுதியை இந்தியாவிற்கு அனுப்பும் வேலை மிகவும் வேகமாக நடந்து வந்தது. போறாதா காலம் என் மேலாளரிடம் இருந்த சில கணணி சார்ந்த அப்ளிகேஷன்களை இந்தியாவிற்கு அனுப்புவதில் பெரிய சிக்கல்கள் இருந்தது. 

ஒரு நாள் மதியம்பேச்சுவாக்கில்,ஒருகுழப்பத்திலிருந்த அப்ளிகேஷன் குறித்த பேச்சு வந்தது. அந்த அப்ளிகேஷன் பயன்படுத்தும் தொழில்நுட்பம் உனக்குத் தெரியாதெனெனினும், உன்னால் அதை இந்த வருட இறுதிக்குள் இந்தியா அனுப்ப உதவ முடியுமா? எனக் கேட்டார். அந்த சமயத்தில் நான் ஏற்கனவே வேலை பார்த்து வந்த அப்ளிகேஷன் இந்தியா அனுப்பும் இறுதிக் கட்டத்தை அடைந்திருந்தது. இதை ஒரு நல்ல சந்தர்பமாக நினைத்தேன். வேலை உறுதி மற்றும் புதிய தொழில் நுட்பம் கற்க ஒரு வாய்ப்பு. சரி என ஒப்புக் கொண்டு விட்டேன்.  கடுமையான வேலை. இந்தியாவில் ஆட்கள் கிடைப்பது சுலபமாக இல்லை.அப்படியே கிடைத்தாலும் நிரந்தரமாக இருப்பதில்லை.

தங்கப்பதக்கம் சிவாஜி போல் சோதனை மேல் சோதனை. ஆனால் என் மேலாளர் மிகவும் நல்ல மனமுடையவர். ஒரு நாள் கூட அழுத்தம் கொடுத்ததில்லை. நீண்ட நாட்கள் பழகிய நண்பரைப் போல் பேசிக் கொண்டிருப்பார். “என்ன அதிகபட்சம் என் வேலை போகலாம். கவலைப்படாதே. பார்த்துக் கொள்ளலாம்” எனக் கூறுவார். இத்தனை புரிதலுடனும், சகஜமாகவும் அவர் இருந்ததால்,வேலை பளுவெல்லாம் ஒரு பொருட்டாகவே இருக்கவில்லை. எங்கள் சொந்த விஷயங்களைக் கூட பகிர்ந்து கொள்வோம். 

சில மாதங்களுக்குப் பிறகு அவருக்கு வேறு பிரிவில் வேலை மாற்றலானது. இருந்தாலும் ஒரே கட்டிடத்தில் தான் வேலை பார்த்து வந்தோம். வாரத்திற்கு ஒரு முறையாவது என் இருப்பிடம் வந்து சிறிது நேரம் பேசிக் கொண்டிருந்து விட்டுப் போவார். மற்றபடி எங்களுக்குள் தொலைபேசி எண்கள் கூட பரிமாற்றம் இல்லை. 

இரண்டரை ஆண்டுகளுக்கு முன் நான் அந்த அலுவலகத்தை விட்டு வந்து வேறிடம் சேரும் போது அவரிடம் விடை பெற்று வந்தேன். அதற்குப் பிறகு ஒரு முறை எங்கோ சந்தித்தோம். தீடிரென சென்ற திங்கள்(ஏப்ரல் 21 ) காலை பொது நண்பரிடம் இருந்து குறுச்செய்தி. உன் முன்னால் மேலாளர் இரண்டு ஆண்டுகளாக கான்சருடன் போராடி நேற்றிரவு உயிரழந்தார் என்று. அதிர்ச்சி,வருத்தம் கூடவே அவருடன் கழித்த அந்த நாட்கள் குறித்த நினைவுகள்.

சென்ற சனி காலை அவருக்கு இறுதி மரியாதை செலுத்தச் சென்றிருந்தேன். அங்கு யாரையும் எனக்குத் தெரியாது. மெலிந்த உடம்புடன் அமைதியாக உறங்குவது போல் பூக்களுக்கு நடுவே படுத்திருந்தார். அப்போது மனதில் தோன்றியது"இவரை தெரியாமலே இருந்திருக்கலாமே?  இப்படி ஒரு நல்ல மனிதர் தொடர்பு, அதிர்ஷ்டமா அல்லது சாபமா?  எனக்கும் அவருக்குமான இந்த உறவு வேறு யாருக்கும் தெரியாதது.புரியவும் புரியாதது. இந்த உறவை என்னவென்று அழைப்பது."

இப்போது ஒரு வாரம் மேலாகியும், கண்ணில் விழுந்த மணல் போல் மனதில் நெருடல். தேங்கிப் போன நினைவுகளுடன் தொடரும் வாழ்க்கை .

கரும்புனல் குறித்த சிறிய குறிப்பு

இந்தப் புனைவைப் படிக்கத் தொடங்கியவுடன் 1980 களில் மேற்கொண்ட பீகார் மற்றும் உத்திரப்பிரதேச பயணம் தான் நினைவில் வந்தது. துப்பாக்கியை தோளில் மாட்டிக் கொண்டு சாதாரணமாக திரிந்து கொண்டிருந்த குண்டர்களை பாட்னா இரயில் நிலையத்தில் காண நேர்ந்ததை இன்று நினைத்தாலும் மனம் பதறுகிறது. ஆனால் அதெல்லாம் சகஜம் போல அங்கிருந்தவர்களின் நடவடிக்கைகள் இருந்தன. வாரணாசி கடைத்தெருவில் ஒரு குண்டா ஐந்தாறு பேர்களுடன் வருவதைப் பார்த்து எல்லாக் கடைகளும் மூடப்பட்டன, அவர்கள் கடந்து சென்றவுடன் மீண்டும் திறந்தார்கள். அப்போது தான் தமிழ்நாட்டில் எவ்வளவு பாதுகாப்பாக வாழ்கிறோம் என உணர முடிந்தது.

தன் பீகார் அனுபவத்தை மையமாகக் கொண்டு நாவலாசிரியர் ராம்சுரேஷ் தன் புனைவை கனகச்சிதமாக எழுதியுள்ளார். மிக எளிமையான, சரளமான நடை. சிக்கலில்லாத, திட்டமிட்டு அமைக்கப்பட்ட கதைக்களம். இந்தியாவில் ஊழல், அதிகார துஷ்பிரயோகம் மற்றும் ஜாதியம் மூன்றும் தான் அரசாங்கம், அதிகாரவர்க்கம் மற்றும் மக்கள் எனும் முக்கோணப் புள்ளிகளை இணைக்கும் கண்ணிகளாக இருக்கின்றன. அதிலும் பீகாரில் கேட்கவே வேண்டாம். இதனுடைய ஓர் அனுபவப் புனைவு தான் கரும்புனல் எனலாம்.

வக்கீலான சந்துரு பீகாரில் நிலக்கரி சுரங்கத்திற்காக 20 வீடுகள் கொண்ட கிராமத்தை கையகப்படுத்தும் பணியில் அனுப்படுகிறான். முதல் இரயில் மற்றும் பஸ் பயண அனுபவத்திலேயே பீகாரில் நிலவும் அடிப்படை வசதிக் குறைவுகள், மக்களின் ஏழ்மை முதலியவற்றை உணர்ந்து வருந்துகிறான்.

பீகாரின் ஜாதிய அடுக்குகளில் இருக்கும் சிக்கல்களை அறியாத ஒரு நபர் கீழ்த்தட்டு கிராம மக்களுடன் தீர்வு பேசி அவர்களை வேறு இடத்திற்கு இடம்பெயரச் செய்ய வேண்டும் என்பதற்காகவே தமிழ்நாட்டைச் சேர்ந்த சந்துரு தேவைப்படுகிறான். சந்துருவுக்கு ஊழலைவிட ஜாதிய வெறி எந்தளவு வர்மாக்களிடமும் பானர்ஜிகளிடமும் இருக்கிறது என புரிவதற்கே சில காலம் பிடிக்கிறது. சந்துரு முன்வைக்கும் இறுதித் தீர்வு அதிகாரவர்க்க ஊழலுக்கும், கிராம மக்களுக்கு நல்ல விவசாய மாற்று நிலம் கிடைக்குமாறும் இருந்தாலும், ஜாதியின் உச்சபட்ச பழிவாங்கல் தவிர்க்க முடியாதாகிறது.

இந்த வறண்ட, கருமை சூழ்ந்த கதைக்களனுக்கு சிறிது பசுமை சேர்க்கும் விதமாக ராம்சுரேஷ் இழையோட விட்டிருக்கும் சந்துரு- தீபா காதல், கதையோடு ஒட்டாமல் தேவையற்றதாகவே தோன்றுகிறது. அதை நிச்சயம் தவிர்த்திருக்கலாம்.

ஊழல் மற்றும் சாதியச் சுரண்டல்களினால் சில பாத்திரங்கள் சந்திக்கும் துன்பங்களை ஆசிரியர் மேலோட்டமாகவே சொல்லி இருந்தாலும், அவற்றின் தாக்கம் புரியுமளவு இருக்கின்றது. சாதியக் கொடுமைகளால் மக்கள் எதிர்கொள்ளும் பிரச்சனைகளை மிக ஆழமாகவும், நுண்மையாகவும் எழுதி இருந்தால் ஒரு நல்ல இலக்கிய வாசிப்பு அனுபவமாகவும் இருந்திருக்கும். நூல் முன்னுரையில் வெங்கடேஷ், "இந்நாவல், பல விஷயங்களை விவாதிப்பதற்கான களத்தை அமைத்துத் தந்திருக்கிறது. இதில் எழுதப்பட்டதை விட, வெளியே இருக்கும் செய்திகளும் வலிகளும் அதிகம்" எனக் கூறியுள்ளது முற்றிலும் ஏற்றுக் கொள்ளப்பட வேண்டியது என்பதில் சந்தேகமில்லை.

இந்த வாரப் "பதாகை"யில் வெளியானது.

சார்புகள் – நுண்கணிதத்தின் நுழைவாயில்

சொல்வனம் 101 வது இதழில் வெளியான கட்டுரை 

பல நூற்றாண்டுகளாக பூமியை மையமாக வைத்துத் தான் வட்டப் பாதையில் மற்ற கிரகங்கள் சுற்றி வருகிறது என்று கணித மாதிரிகளை Eudoxus முதல் Ptolemy வரை உருவாக்கினார்கள். அதன் பிறகு 16 ஆம் நூற்றாண்டில் காபர்னிகஸ் சூரியனைத் தான் மற்ற கிரகங்கள் சுற்றி வருகிறது என்றாலும், அவரும் வட்டச் சுற்றுப் பாதையையே கொண்ட மாதிரிகளைத் தான் முயன்றார். இது எதுவும் கிரகங்களின் சுற்றுப் பாதையின் தரவுகளுடன் ஒத்துப் போகவில்லை. இதன் பிறகு அந்த காலத்தில் இருந்த வானியல் தொடர்பான தரவுகளை கெப்லர் ஒழுங்கு படுத்தி கிரகங்கள் சூரியனைச் சுற்றி நீள்வட்டப் பாதையில் செல்கிறது என்றார். மேலும் கிரகங்களின் சுற்றுப் பாதையைக் குறித்து மூன்று விதிகளை முன் மொழிந்தார்.கெப்லரின் தரவுகளை மெய்ப்பிக்கும் வகையிலான ஒரு மாதிரியை உருவாக்க நியூட்டன் முயன்றார்.அதில் வெற்றியும் அடைந்தார். நியூட்டன் கிரகங்களின் நகரும் பாதையையும் மற்றும் அவைகள் சூரியனைச் சுற்றி வருவதைக் குறித்து அறிய முயன்ற போது தான் நுண்கணிதத்தை கண்டு பிடித்தார். ஆனால் இந்த நுண்கணிதத்தை பள்ளியில் கற்பிக்கும்போது எந்தளவு முக்கியத்துவம் கொடுக்கப்படுகிறது? நுண்கணிதம் கற்க சார்புகள், எல்லை போன்ற அடிப்படை கருத்தாக்கங்களின் புரிதல் மிகவும் இன்றியமையாதது. இந்தக் கருத்தாக்கங்கள் எந்த அளவிற்கு ஆழமாக கற்பிக்கப்படுகின்றன என்ற கேள்வி தவிர்க்க முடியாதது.

பாடத்திட்டம், கால அவகாசம், மாணவர்களைத் தேர்வுகளுக்கு தயார் செய்வது, கணிதத்தில் குறையாமல் 100% சதவிகித மதிப்பெண் என்ற பெற்றோர்களின் எதிர்பார்ப்பு, இவைகளின் நடுவில் சிக்கித் தவிக்கும் ஆசிரியர்கள். இன்று நிலைமை எப்படியோ, நான் புகுமுக வகுப்பு படிக்கும்போது (+2 கல்வி முறை வருவதற்கு இரண்டு ஆண்டுகள் முன்) சார்புகள் குறித்து தெளிவாகச் சொல்லிக் கொடுத்த நினைவில்லை. அதுவும் தமிழ் வழிக் கல்வியில் படித்துவிட்டு, ஆங்கிலத்திலேயே பேசி உயிரெடுத்த பாதிரியார் வேறு, போதாதா குறைக்கு!

இப்போது பார்க்கப்போகும் விஷயங்கள் எல்லோருக்கும் தெரிந்ததே. இதனை ஒரு நினைவுபடுத்தலாகக் கொள்ளலாம்

சார்பு என்றால் என்ன? எடை பார்க்கும் இயந்திரத்தில் நிற்கிறீர்கள்.. அதில் ஒரு ரூபாய் நாணயத்தைப் போடுகிறீர்கள். அது உடனே உங்கள் எடையைக் கணக்கிட்டு சிறிய அட்டையை திருப்பிக் கொடுக்கிறது. இதில் ஒர் உள்ளீடு- இயந்திரத்தில் நீங்கள் நிற்பது; ஒரு தொடர்பு – நாணயத்தைப் போடுவது – ஒரு வெளியீடு -உங்கள் எடையை எந்திரம் கொடுக்கிறது. இங்கு (நீங்கள், உங்கள் எடை) என்பதை ஒரு வரிசைப்படுத்தப்பட்ட சோடி (ordered pair) எனலாம். இது போல் பத்து பேர் எடை பார்க்கப்படுகிறது. அதனை (முதல் நபர், 150), (இரண்டாவது நபர், 135), (மூன்றாவது நபர், 165)……(பத்தாவது நபர், 175) என்று குறித்து வைத்துக் கொள்ள முடியும்.. அதாவது ஒரு பக்கம் 10 நபர்கள் மறு பக்கம் அவர்களின் எடைகள். ஒவ்வொருவரையும் அவர்களின் எடையுடன் இங்கு அடையாளப்படுத்துகிறோம். இதுதான் சார்பு என்பதாகும்.

இங்கு 1,2,3,4,…10 என்பதை சார்பகம் (domain) என்றும், அடையாளப்படுத்தப்படும் எடைகளை 150,135,165,….175 துணை சார்பகம் (co domain) எனவும் அழைக்கிறோம்.

சார்பின் வரையறை

A என்ற ஒரு சார்பகத்தில் உள்ள எல்லா பொருட்களையும் B எனும் இணைச் சார்பகத்திலிருக்கும் பொருட்களுடன், வரையறுக்கப்பட்ட முறையில் கீழ்கண்ட இரண்டு நிபந்தனைகளின் அடிப்படையில். தொடர்புபடுத்தப்படுவதற்குப் பெயர்தான் சார்பு ஆகும்.

1. சார்பகத்தில் உள்ள ஒருபொருள்கூட விடுபடாமல் துணைச் சார்பிலிருக்கும் ஒரு பொருளுடன் தொடர்புபடுத்தப்பட வேண்டும்.
2. சார்பகத்தில் உள்ள ஒவ்வொரு பொருளும் துணைச் சார்பகத்தின் ஒரே ஒரு பொருளுடன்தான் தொடர்புபடுத்தப்பட வேண்டும்.

இப்போது A=(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10) மற்றும் B=(2,4,6,8,10,12,14,16,18,20) எனவும் எடுத்துக் கொண்டால்,

f: A —-> B என்பதை f(x) = 2x எனும் தொடர்பின் மூலம் ஒரு சார்பாக வரையறுக்கலாம்.

சார்புக்கு f(x) என்ற குறியீட்டு முறையை முதலில் பயன்பாட்டிற்கு கொண்டு வந்தவர் ஆய்லர்.

சார்பு – மேலும் சில உதாரணங்கள்

N – எல்லா இயல் எண்களைக் குறிக்கும்.
Z – எல்லா முழு எண்களைக் குறிக்கும்.
R – எல்லா மெய் எண்களையும் குறிக்கும்.

N = {1,2,3,4………….}

Z = {………..-3,-2,-1,0,1,2,3……….}

இப்போது N-ல் உள்ள ஒவ்வொரு எண்ணையும் -2 ஆல் பெருக்கி Z -க்கு கொண்டு செல்வோம்.அதாவது
1 —> -2
2 —> -4
3 —> -6

கீழே காண்பது போல் சார்புகளை கிராப் மூலமும் வெளிப்படுத்த முடியும்.

சார்புகளில் மிக அடிப்படையான ஒன்று ஒருபடிச் சார்புகள் (Linear functions). கிராப் (graph) ஆக வரையும்போது ஒருபடிச் சார்புகள் ஒரு நேர்கோட்டைக் குறிக்கும்.

உதாரணமாக

R – எல்லா மெய் எண்களைக் குறிக்கிறது எனக் கொள்வோம்

f: R–>R என்பதை f(x) = x+2, எனும் தொடர்பின் மூலம் ஒருபடிச் சார்பாக வரையறுக்கலாம்.

நுண்கணிதத்தில் சார்புகளின் இடம்

நுண்கணிதம் என்றால் என்ன என்ற கேள்விக்கு மிக எளிமையான விடை சொல்ல வேண்டுமெனில் கடினமான சார்புகளை ஒருபடிச் சார்புகளைக் கொண்டு தோராயமாக்குவது எனலாம்.

இது எப்படி என இப்போது பார்க்கலாம்.

மெய் எண்களைச் சார்பாகவும் இணைச் சார்பாகவும் கொண்ட f(x)=x^2 எனும் இருபடிச் சார்பை (quadratic function) எடுத்துக் கொள்வோம். f(x)=x^2 எனும் சார்பானது கொடுக்கும் கிராப் அல்லது வரைபடம் ஒரு நேர்கோடாக இருக்காது. ஆனால் மிகச் சிறிய இடைவெளியில் உற்று நோக்கினால் அது ஒரு நேர்கோடு போலத் தோன்றும். இதை இப்படி சிந்தித்துப் பார்ப்போம். பூமி உருண்டை தான். ஆனால் நாம் நடந்து செல்லும் போது அது ஒரு தட்டை வடிவம் போலத் தான் தோன்றுகிறது இல்லையா? அது போல் தான் இதுவும். f(x)=x^2 யில் A என்று ஒரு புள்ளியை எடுத்துக் கொள்வோம்.இந்தப் புள்ளிக்கருகில் சார்பின் வரைபடம் ஒரு நேர்கோடாகத் தெரியும் .இந்த நேர்கோடை ஒத்த A என்ற புள்ளியில் இந்தச் சார்பிற்கு வரையப்படும் நேர்கோடு தான் தொடுகோடு எனப்படுகிறது. அந்த தொடுகொட்டின் சரிவு தான் (tangent) இந்த சார்பிற்கு A என்ற புள்ளியில் வகைகெழு எனப்படுகிறது. இங்கு கவனிக்க வேண்டியது தொடுகோட்டின் சரிவு வரம்புக்குட்பட்டதாக(finite) இருக்க வேண்டும். அப்போது தான் சார்பிற்கு அந்த புள்ளியில் வகைகெழு இருக்கும். தொடுகோட்டின் சரிவு வரம்புக்குட்பட்டதாக இல்லையெனில், அந்தப் புள்ளிக்கருகில் சார்பின் வரைபடம் நேர்கோடாகத் தெரியாது மேலும் வகைகெழுவும் அந்தப் புள்ளியில் இருக்காது.

மேலும் சிறிது விரிவாகப் பார்ப்போம். f(x)=x^2 எனும் சார்பானது கீழே உள்ளது போன்ற ஒரு பரவளையத்தைக் குறிக்கும்.

இதில் P மற்றும் Q எனும் இரண்டு புள்ளிகளை எடுத்துக் கொள்வோம். இந்த இரண்டு புள்ளிகளையும் இணைக்கும் ஒரு நேர்கோடு வரைவோம். பிறகு அந்த புள்ளி Q வை சிறுது சிறிதாக P யை நோக்கி பரவளையத்தில் நகர்த்தவும். புள்ளி Q –>P யை நோக்கி வர, வர அந்த இரண்டு புள்ளிகளை இணைக்கும் நேர்கோடுகளை வரைந்து கொண்டே வரவும். அந்த நேர்கோடுகள் P யை நோக்கி வந்து, ஒரு கட்டத்தில் P யில் பரவளையத்திற்கு இணைகோடாக (tangent line) மாறுவதைக் காணலாம்.

இங்கே Q –> P யை நோக்கி வரும்போது என்ன நடக்கிறது என்பதைச் சற்று கவனமாகப் பார்ப்போம். புள்ளி Q –>P யை நோக்கி வர, வர அந்த இரண்டு புள்ளிகளை இணைக்கும் நேர்கோடுகளின் சரிவு குறைந்து கொண்டே வந்து P யில் சூனியத்தை அடைவதைக் காணலாம்.. இங்கு முக்கியமாக கவனிக்க வேண்டியது Q மற்றும் Pஒரே புள்ளியாக மாறுவதில்லை. (மேலும்: http://math.bu.edu/people/tkohl/teaching/spring2013/secant.html)

ஆனாலும் Q எனும் புள்ளி ப் யுடன் ஒன்றாகாமல் எப்படி இந்த இணைகோடு கிடைக்கிறது என குழப்பம் வரலாம். அதற்கு இந்த உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்.

நீங்கள் பைக் அல்லது காரில் பயணிக்கிறீர்கள். உங்களுடைய வேகம் எப்படி கணிக்கப்படுகிறது? நீங்கள் பயணித்த தூரத்தை, பயணம் செய்த நேரத்தால் வகுத்தால் கிடைப்பது வேகமாகும். நீங்கள் ஸ்பீடாமீட்டரைப் பார்க்கும்போது அது 40 கி.மீ. வேகத்தில் செல்வதாக காண்பிக்கிறது. இங்கு நீங்கள் ஸ்பீடாமீட்டரை பார்க்கும் கணத்தில் வண்டி செல்லும் தூரம் சூன்யம்தான். அதாவது பயணித்த தூரம் மற்றும் நேரம் இரண்டுமே சூனியம்தான். இங்கும் 0/0 தான் கிடைக்கிறது. ஆனாலும் எப்படி ஸ்பீடா மீட்டர் 40 கி. மீ. எனக் காண்பிக்கிறது?

இங்கு உங்கள் வேகத்தை அந்த கணத்தில் கணிப்பதற்கு பதில், ஓர் சிறிய இடைவெளியில் நீங்கள் பயணித்த சராசரி வேகத்தைக் கணக்கிடுகிறோம். அதாவது,நீங்கள் t மணித்துளிகளும், d(t) தூரமும் பயணித்துள்ளீர்கள் எனக் கொள்வோம். h >0 ஆக இருக்கும் பட்சத்தில், t+h எனும் மணித்துளியில் d(t+h ) தூரம் பயணித்திருப்பீர்கள்.

சராசரி வேகம் = (d(t +h ) – d(t))/h ஆகும். இந்த h ஆனது சூனியத்தை நோக்கிச் செல்லச் செல்ல இந்த விகிதம் வேகத்தைக் கொடுக்கிறது. இதுதான் நுண்கணிதத்தின் நுழைவாயில்.

அடிப்படையில், நுண்கணிதத்தைக் கொண்டு x இன் மதிப்பு மாற மாற f(x) என்ற சார்பின் மதிப்பு எப்படி மாறுகிறது என கண்டறிய முயல்கிறோம். x என்பது x+h ஆக மாறும்போது, f(x) இன் மாற்றம் f(x +h ) ஆகும். அதனால் f(x) இன் சராசரி மாறுதல்

( f(x +h) – f(x) )  / h

என்றாகும். இதில் h ஐ சூனியத்தை நோக்கி போக வைத்தால் கிடைப்பது தான் f(x) இன் விகித மாற்றமாகும். இதைத்தான் f(x) இன் வகைக் கெழு f’(x) என்கிறோம்.
நியூட்டன் கிரகங்களின் பாதையைக் குறித்த கெப்லரின் விதியை நிறுவ கணித மாதிரி செய்ய முயன்ற போது ஏன் நுண்கணிதம் தேவையாகியது? ஒரு வேளை சூரியனின் பாதிப்பே கிரகங்களின் மேல் இல்லையெனில், கிரகங்கள் நேராக ஒரு மாறாத வேகத்துடன் (velocity) நகரும். அதாவது நேரம் மாறமாற கிரகங்களின் வேகம் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும்.அதனால் கிரகங்களின் முடுக்கம்(acceleration), சூனியமாக இருக்கும்.முடுக்கமெ இல்லையெனில் கிரகங்கள் எப்படி நகரும்?

எனவே கிரகங்கள் சூரியனைச் சுற்றி வருவதற்கு காரணம் சூரியன் கிரகங்களின் மேல் செலுத்தும் விசையே(force) காரணம் எனும் முடிவுக்கு நியூட்டன் வந்தார். சரி இப்போது நேரம் மாறமாற கிரகங்களின் மாறும் இடத்தைக் கணிக்க வேண்டும். நேரத்திற்கு ஏற்றார் போல் கிரகங்களின் நகரும் இடத்தில் ஏற்படும் விகித மாற்றம் தான் வேகமாகும்.நேரத்திற்கு ஏற்றார் போல் வேகத்தில் ஏற்படும் விகித மற்றம் தான் முடுக்கமாகும்.நேரத்திற்கு ஏற்றார் போல் கிரகங்களின் நகரும் இடத்தில் ஏற்படும் விகித மாற்றத்தை கணிக்கும் வகைக்கெழு தான் வேகமாகும்.நேரத்திற்கு ஏற்றார் போல் வேகத்தில் ஏற்படும் விகித மாற்றத்தை கணிக்கும் வகைக்கெழு தான் முடுக்கமாகும். இதை கண்டறியத் தேவை நுண்கணிதம். இயற்பியலில் பயன்பட கண்டறியப்பட்ட நுண்கணிதம் இன்று பொருளாதாரம், வானவியல், உயிரியல் என பல பிரிவுகளில் உண்டாக்கப்படும் மாதிரிகளில் பயன்பாடு தவிர்க்க முடியாததாக இருக்கிறது.

ஒரு முறையின் நடத்தையை அல்லது அதன் இயங்கும் தன்மையை அறிய நேரடியான மாதிரிகளை விட ஒருபடிச் சார்பைக் கொண்டு தோராயமாக்கும் மாதிரிகள், அதாவது நுண்கணிதத்தை பயன்படுத்தி உருவாக்கப்படும் மாதிரிகள்,சுலபமானது. ஒரு சிறு உதாரணம் பார்ப்போம்.

எதிர்ப்பு விசையை (Resistance) கணக்கில் கொள்ளாமல் பார்த்தால், வெவ்வேறு எடை கொண்ட இரண்டு பொருட்கள் மேலேயிருந்து கீழே விழுவதன் வேகம் ஒரே மாதிரி இருக்கும் என கலிலியோ கூறியது நியூட்டனின் புவியீர்ப்பு சக்திக்கான விதியின்படி இயங்குகிறது என அறிவோம்.

h என்ற உயரத்தில் t எனும் மணித்துளியில் பூவியீர்ப்பு சக்தியின் தாக்கமானது

விசை (F) = நிறை (m ) X பூவியீர்ப்பு சக்தி (g)
=நிறை (m ) X முடுக்கம் (a )

என்ற சமன்பாட்டை பூர்த்தி செய்யும் என அறிவோம். இதனையே F = m X d^2h /d^2t என எழுதலாம். இங்கு d^ 2h /d ^ 2t என்பது இரண்டாவது வகைகெழுவாகும். இங்கு g என்பது பூவியீர்ப்பு விசை மற்றும் m என்பது பொருளின் நிறை ஆகும். இந்த சமன்பாடு பொருளின் வேகத்தின் வகைகெழுவான முடுக்கம் ஒரு மாறிலி என்கிறது. இந்த மாதிரிக்கு தேவையானது ஒரே ஒரு பூவியீர்ப்பு விசையின் மாறிலிதான். அதே சமயம் உயரத்தையும், நேரத்தையும் கொண்ட மாதிரியில் இரண்டு parameter களும் மற்றும் ஓர் இருபடிச் சமன்பாடும் வருவதைக் காணலாம்.

நுண்கணிதத்தின் கண்டுபிடிப்பானது மனித சமுதாயத்தின் முன்னேற்றத்திற்கு உதவிய முக்கிய மைல்கல் என்றால் மிகையாகாது. எனவே தான் இன்றுள்ள மிகச் சிறந்த தேற்ற இயற்பியலாளர்களில் ஒருவரான (Theoreticcal Physicist) எட்வர்ட் விட்டென் ஒரு பேட்டியில் “கணிதத்தில் இதுவரை கண்டுபிடிக்கப்பட்டதிலேயே ஆகச் சிறந்தது நுண்கணிதம்” எனக் கூறியுள்ளார்.