மனித இனம் சிந்திக்கத் தொடங்கிய காலம்தொட்டு இயற்கையில் புதைந்துள்ள பல கேள்விகளுக்கு கணிதமும், அறிவியலும் தொடர்ந்து பதில் அளித்துக் கொண்டிருக்கின்றன. ஒவ்வொரு கேள்வியும் மேலும் பலபு துக்கேள்விகளாகக் கிளைத்துச் செல்லும் இந்தத் தொடர் விசாரணை, தன் அறிவுத்தேடலின் ஊடாக மனித சமுதாயத்தை முன்னெடுத்துச் செல்வதைக் கண்கூடாகக் காண்கிறோம்.
19 – 20 ஆம் நூற்றாண்டுகள், கணிதத்திற்கும அறிவியல் முன்னேற்றத்திற்கும் மிகப் பெரிய பங்களித்துள்ளன. எந்திரமயமாக்கம், தொழில்நுட்ப வளர்ச்சி என்று தொடரும் தொழில்புரட்சிக்கும் கணிதத்துறையில் மேற்கொள்ளப்பட்ட புதிய புரிதல்களுக்கும் நேரடித் தொடர்பு இருப்பது தெரியாவிட்டாலும், கணிதமேதைகளின் பங்களிப்பு இல்லாமல் இத்தகைய வளர்ச்சி சாத்தியப்பட்டிருக்காது.
இந்த இரு நூற்றாண்டுகளில் வாழ்ந்திருந்த கௌஸ் (Gauss), ரீமான் (Riemaan), ராமானுஜன், பொய்ன்காரீ (Poincare), ஹில்பெர்ட் (Hilbert) ஆகிய கணிதமேதைகள் கணிதத்தை முன்னெடுத்துச் சென்றார்கள். இவர்களில் ஹில்பர்ட் 1900ஆம் ஆண்டு இரண்டாவது முறை கூடிய உலகக் கணிதவியலாளர்கள் பேரவையில் (International Congress of Mathematicians) ஆற்றிய ஒரு உரை மிக முக்கியமானது. அதில் ஹில்பர்ட் இருபதாம் நூற்றாண்டில் கணித வல்லுனர்கள் தீர்வு காண வேண்டிய பத்து முக்கியமான கணக்குகளைப் பட்டியலிட்டார். அதன்பிறகுஅ தைத் திருத்தி மொத்தம் 23 கணக்குகளாக்கினார். அதில் பத்தாவது கணக்கைப் பற்றி இந்தக் கட்டுரையில் பார்ப்போம்.
டயஃபாண்டஸ் என்ற கணிதமேதை மூன்றாம் நூற்றாண்டில் வாழ்ந்தவர். அவர் எத்தனை வருடங்கள் வாழ்ந்தார் என்பதே ஒரு கணித சமன்பாடாக இவரது கல்லறையில் பொறிக்கப்பட்டுள்ளது.: “1/6 பகுதி இளமையில் கழிந்தது. அடுத்த 1/12 பகுதி முதல் தாடி வைத்துக் கொண்டதில் போனது. அடுத்த 1/7 பகுதிக்குப்பிறகு இவர் திருமணம் செய்து கொண்டார். 5 வருடங்களுக்குப் பிறகு ஒரு மகன் பிறந்தான். மகன் இவருடைய வயதில் பாதி வயது வாழ்ந்தான். இவரது மகன் இறந்து நான்கு ஆண்டுகளில் இவர் காலமானார். இவர் எத்தனை வயது வரை வாழ்ந்தார்?”
விடை 84 வயது. (1/6x + 1/12x + 1/7x + 5 + 1/2x + 4 = x ).
அரித்மெடிகா (Arithmetica) என்ற 13 பகுதிகளைக் கொண்ட புத்தகத்தை எழுதியவர் இவர். அதில் ஆறு பகுதிகள்தான் பிற்காலத்தில் கிடைத்தன. இவர்தான் முதல்முதலாக இயற்கணிதத்தில் (Algebra) குறியீடுகளை (symbols) அறிமுகப்படுத்தியவர். இயற்கணிதச் சமன்பாடுகளுக்கு இவர் தீர்வு காண முயன்றுள்ளார் என இவரது எழுத்து வழியாக நாம் அறிகிறோம். டயஃபாண்டஸ் எழுதிச் சென்ற Arithmeticaவில் இருக்கும் கணக்குகளுக்கு 17ஆம் நூற்றாண்டில் வாழ்ந்த கணிதமேதை ஃபெர்மா (Pierre de Fermat)தீர்வு காண முயன்றார். புகழ்பெற்ற “பெர்மாவின் கடைசித் தேற்றம்” அப்போதுதான் உதயமானது. டயஃபாண்டஸ் கையாண்ட கணிதத்தைத் தொடர்ந்து குறிப்பிட்ட இயற்கணித சமன்பாடுகள் டயஃபாண்டீன் சமன்பாடுகள் (Diophantine equations)என்றழைக்கப்படுகின்றன.
2x +4y = 5 என்ற சமன்பாட்டை எடுத்துக்கொள்வோம். இந்த சமன்பாட்டிற்கு முழு எண் தீர்வு என்பதே இல்லை. ஆனால் 2x + y =1 என்ற சமன்பாட்டிற்கு x=0,y=1 என ஒரு முழு எண் தீர்வு இருப்பதைக் காண முடிகிறது. சற்று சிந்தித்தால் x என்பதை ஒரு முழு எண்ணாக எடுத்துக் கொண்டால் (x, 1-2x) என்பவைகள் எல்லாமே இந்த சமன்பாட்டிற்கு தீர்வாக இருக்கும் என்பதைக் காணலாம்.
முழு எண்களை குணகங்களாக அல்லது வகைக்கெழுக்களாகக் (coefficients) கொண்டு, இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட மாறிகள் (variables) கொண்ட இயற்கணித சமன்பாடுகளின் (algebraic equations)தீர்வுகள் முழு எண்களாக (integers) இருந்தால் அத்தகைய சமன்பாடுகள் டயஃபாண்டீன் சமன்பாடுகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. 2x + y =1 என்ற சமன்பாட்டை எடுத்துக் கொள்வோம். இதில், 2 மற்றும் 1 ஆகிய எண்கள் வகைக்கெழுக்கள், x y ஆகிய இரண்டும் மாறிகள், 1 என்ற விடை ஒரு முழு எண். இந்த இயற்கணித சமன்பாடு முழு எண் ஒன்றை விடையாகத் தருவதால் இது ஒரு டயஃபாண்டீன் சமன்பாடு.
ஆக, சமன்பாடுகளின் தன்மையைவிட டயஃபாண்டீன் சமன்பாடுகளில் கிடைக்கும் தீர்வுகளைப் பொருத்து அந்த சமன்பாடுகளுக்கு இந்தப் பெயர் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது என்பதை முதலில் புரிந்து கொள்வோம்
டயஃபாண்டீன் சமன்பாடுகளில் இரண்டு விஷயங்களைக் கணக்கில் எடுத்துக் கொள்ள வேண்டும் என அறியலாம்.
1. சமன்பாட்டின் வகைக்கெழுக்கள் முழு எண்களாக இருக்க வேண்டும்.
2. சமன்பாட்டின் தீர்வும் (மாறிகளின் மதிப்பு) முழு எண்ணாக இருக்க வேண்டும்.
2x+3y=11 டயஃபாண்டீன் சமன்பாடாகும். இதில் ஒரு சமன்பாட்டில் இரண்டு மாறிகள் இருப்பதைக் கவனிக்க வேண்டும். மேலும் ஒர் உதாரணமாக x,y என்ற இரண்டு மாறிகள் கொண்ட x2 + y2 = 25 என்ற சமன்பாட்டை எடுத்துக் கொள்வோம். x=3, y=4 (மேல்நிலைப்பள்ளியில் படித்த பித்தகோராஸ் தேற்றம் நினைவிற்கு வருகிறதா?) என்பது ஒரு முழு எண் தீர்வாகும். ஆனால் x^2 + y^2 = 3 என்ற சமன்பாட்டிற்கு எண்ணிலடங்காத் தீர்வுகள் இருந்தாலும், முழு எண் தீர்வே கிடையாது. அதனால் இந்த சமன்பாடு ஒரு டயஃபாண்டீன் சமன்பாடாகாது.
சரி. டயஃபாண்டீன் சமன்பாட்டிற்கும் ஹில்பர்டின் பத்தாம் கணக்கிற்கும் என்ன தொடர்பு? “டையபண்டின் சமன்பாடுகளுக்கு வரம்பிற்குட்பட்டதான படிகளில் (finite number of steps) தீர்வு காண முடியுமாறு ஒரு பொதுவான செய்முறை (algorithm) கண்டறிய முடியுமா” என்பதுதான் ஹில்பர்டின் பத்தாம் கணக்காகும்.
அதாவது, எத்தனை மாறிகள் கொண்ட இயற்கணித டயஃபாண்டீன் சமன்பட்டிற்கும் தீர்வு காண ஒரு பொதுவான செய்முறை (algorithm) கண்டறிய வேண்டும்.
முதலில் a, b மற்றும் c முழு எண்களாகவும், x மற்றும் y மாறிகளாகவும் இருக்கும் ax + by = c என்ற சமன்பாடு எப்போது டையஃபாண்டீன் சமன்பாடாக இருக்கும் என்பதை கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ள வழிமுறையை உபயோகித்து கண்டறிவோம்.
1. முதலில் a மற்றும் b யின்அதமப் பொதுமடங்கைக் கண்டறிந்து, அதனை d என வைத்துக் கொள்வோம்.
2.d என்பது c யை சரியாக, மீதியில்லாமல் வகுத்தால் (அதாவது c/d என்பதற்கு முழுஎண் விடை கிட்டினால்), இந்த சமன்பாடு ஒரு டயஃபாண்டீன் சமன்பாடாக இருக்கும்.
கொஞ்சம் நிதானமாக சிந்தித்தால், இந்த வழிமுறை, ஒரு சமன்பாடு டயஃபாண்டீன் சமன்பாடுதானா இல்லையா என முதலில் கண்டறிய வழி வகுக்கிறது. ஆனால் தீர்வுகள் கொடுப்பதில்லை. அதற்கு என்னசெய்வது? இங்குதான் கணிதத்தின் முதன்மையான மூதாதையர்களில் ஒருவரான யூக்ளிட் கை கொடுக்கிறார். 2000 ஆண்டுகளுக்கு முன் யூக்ளிட் எழுதிய தி எலமெண்ட்ஸ் (The Elements) என்ற 13 பகுதிகள் கொண்ட தொகுப்பில் இரண்டு இயல் எண்களுக்கு இடையே அதமப் பொதுமடங்கைக் கணிக்க யூக்ளிடியன் அல்கொரிதம் (Euclidean Algorithm)என்ற ஒரு செய்முறையைக் கொடுத்திருக்கிறார்.
அதாவது இரண்டு மாறிகள் கொண்ட ஒரு படி டயஃபாண்டீன் சமன்பாட்டிற்கு (Linear Diophintine Equation) தீர்வுகாணும் செயல்முறையைக் கண்டோம். இதே போல் டயஃபாண்டீன் சமன்பாட்டிற்கு எத்தனை மாறிகள் இருந்தாலும் தீர்வு காண பொதுவான செயல்முறை கண்டறிய வேண்டும் என்பதுதான் ஹில்பர்டின் கோரிக்கை. இந்த ஹில்பர்டின் கேள்விக்கு விடை காண பல கணிதவியலளார்கள் முயன்றாலும், ஹிலரி பட்னம்(Hilary Putnam), மார்டின் டேவிஸ்(Martin Davis) மற்றும் ஜூலியா ராபின்சன்(Julia Robinson) முக்கியமானவர்கள். ஜுலியாவின் ஹில்பர்டின் பத்தாவது கணக்கைப் பற்றிய ஒர் உத்தேசத்தை நிரூபித்தால் இறுதி முடிவு கிடைக்கும் நிலையில் இருந்தது.அதைப் பற்றி மார்டின் ஒரு உரையை நிகழ்த்தும் சமயம் இதற்கு இறுதித் தீர்வு ஒரு ரஷ்ய இளைஞனால்தான் கிடைக்கப் போகிறது என்றார். அதே போல் ஹில்பர்டின் 10-வது கணக்கிற்கான இறுதித் தீர்வு ரஷ்யாவைச் சேர்ந்த மட்டியாஸெவிச் (Matiyasevich) 1970ஆம் ஆண்டு நிறுவினார். டயஃபாண்டீன் சமன்பாட்டிற்கு எத்தனை மாறிகள் இருந்தாலும் தீர்வு காண ஒரு பொதுவான செய்முறை இருக்காது என்பதுதான் இறுதி முடிவு. முழுவதும் எண் கணிதம் சார்ந்த இந்த ஹில்பர்டின் கணக்கிற்குத் தீர்வு முற்றிலும் வேறு ஒரு பிரிவிலிருந்து வந்தது.
[டேவிட் ஹில்பர்ட்]
ஹில்பர்டின் இந்தக் கணக்கின் தீர்வுக்கும் ஆலன் ட்யூரிங் இயந்திரம் எண்களைக் கணிப்பதற்கும் தொடர்புள்ளது. கணிப்பது என்றால் என்ன என்ற கேள்வி இங்கேஎழுகிறது, பல நூறு ஆண்டுகளாக “கணிப்பது” பற்றி மனித சமுதாயத்திற்குத் தெரிந்திருந்தாலும், அதை அறிவியல்பூர்வமாக1935ஆம் ஆண்டில் நிறுவிய பெருமை இங்கிலாந்தைச் சேர்ந்த கணணியியலின் தந்தை என அழைக்கப்படும் ஆலன் ட்யூரிங்கைச் சாரும். கணிப்பின் இயல்பை “ட்யூரிங் இயந்திரம்” என்பதைக் கண்டறிந்ததின் மூலம் ட்யூரிங் விளக்கினார். ட்யூரிங் இயந்திரம் பற்றிய கட்டுரையை சொல்வனத்தில் இங்கு படிக்கலாம்.
ட்யூரிங் இயந்திரம் செயல்படும் முறை மிகவும் எளிது. ட்யூரிங் இயந்திரத்தின் செயல்பாடு “உள்ளீடு (input) செய்யப்படும் மதிப்புக்களுக்கு கொடுக்கப்பட்ட செய்முறை மூலம் கிடைக்கப்பெறும் வெளியீட்டு(output) மதிப்புகள்” ஆகும். முன்கூட்டியே எழுதப்பட்ட ஒரு நெறிமுறையை பயன்படுத்தி ஒரு ட்யூரிங் இயந்திரம் ஓர் எண்ணைக் கணிக்கும்போது வரம்பிற்குட்பட்டதான படிகளில் தன் கணிப்பை நிறுத்துமா என்பது ஒரு முக்கியமான கேள்வி. இதற்கு நிறுத்தச் சிக்கல் (Halting Problem) என்றுபெயர்.
கணிக்க முடியக்கூடிய எண்ணை முன்கூட்டியே எழுதிய ஒரு நெறிமுறையின் மூலம் ட்யூரிங் இயந்திரத்தை உபயோகித்து வரம்பிற்குட்பட்டதான படிகளில் கணிக்க முடியும். அதாவது வரம்பிற்குட்பட்டதான படிகளில் ட்யூரிங் இயந்திரம் தன் கணிக்கும் பணியை நிறுத்திக் கொள்ளும். அதே நேரத்தில் எல்லா எண்களுக்கும் இது நடவாது என்பதைத்தான் ட்யூரிங் நிரூபித்தார். இதை வேறு மாதிரி கூறினால் “எந்த ஒரு ட்யூரிங் இயந்திரத்தாலும் வரம்பிற்குட்பட்டதான படிகளில் கணிக்க முடியாத எண்கள் இருக்கிறது என்பதை நிறுவினார்.
இறுதியாக, டயஃபாண்டீன் கணம் என்றால் என்னவென்று பார்ப்போம்.
(x-2y)(x-3y) =௦ என்பதை எடுத்துக் கொள்வோம். இந்த பல்லுறுப்புக் கோவைக்கு (polynomial) அல்லது டயஃபாண்டீன் சமன்பாட்டிற்கு இரண்டு மற்றும் மூன்றின் மடங்காக இருக்கும் எல்லா இயல் எண்களும் இதன் தீர்வாக இருக்கும். அதாவது {2,3,4,6,…..} என்ற கணத்தில் இருக்கும் இயல் எண்கள் தீர்வாகும். இதை ஒரு டயஃபாண்டீன் கணம் எனலாம்.
டயஃபாண்டீன் கணத்தில் இருக்கும் இயல் எண்கள் ட்யூரிங் இயந்திர ஒரு செய்முறையில் உள்ளீடாகக் கொடுக்கப்பட்டால் வரம்பிற்குட்பட்டதான படிகளில் கணிக்க முடிந்தால் ஒரு முழு எண்ணை வெளியீடாகக் கொடுக்குமா?.
இது நிறுத்தச் சிக்கலுக்கு சமமான கேள்வி. ஆனால் அது முடியாது என்பதைத்தான் மட்டியாஸெவிச் நிறுவினார். எனவே டயஃபாண்டீன் சமன்பாடுகளுக்கு வரம்பிற்குட்பட்டதான படிகளில் (finite number of steps) தீர்வு காண முடியுமாறு ஒரு பொதுவான செய்முறை(algorithm) இருக்காது என்பது நிரூபிக்கப்பட்டது. இதை நிறுவ மட்டியாஸெவிச் புகழ் பெற்றஃபிபொனாச்சி தொடரை (1,1,2,3,5,8,13,……) உபயோகப்படுத்தினார். ஹில்பர்ட் நிச்சயம் இப்படிப்பட்ட ஒரு முடிவை தன் பத்தாம் கணக்கிற்கு எதிர்பார்த்திருக்க மாட்டார்.
ஒரு வேளை இந்த ஹில்பர்டின் பத்தாம் கணக்கிற்கு ஒரு பொதுவான செய்முறை இருந்திருந்தால் புகழ் பெற்ற பெர்மாவின் இறுதித் தேற்றம் (Fermat’s Last Theorem),ரீமானின் உத்தேசம் (Riemann’s Hypothesis), கோல்ட்பாஹின் அனுமானம் (Goldbach’s Conjecture) மற்றும் நான்கு வர்ண கணக்கு (Four Color Porblem) என்ற எல்லா கணக்குகளுக்கும் தீர்வு கிடைத்திருக்கும். இதில் ரீமானின் உத்தேசம்(Riemann’s Hypothesis), கோல்ட்பாஹின் அனுமானம் ஆகியஇரண்டு திறந்த கணக்குகளுக்கும் இன்னும் தீர்வு காணப்படவில்லை என்பது குறிப்பிடத்தக்கது..
இந்தக் கட்டுரை
சொல்வனம் இணைய இதழில் வெளியானது.
