ஆபெல் பரிசு - கணிதத் துறைக்கான நொபேல்

இந்த இதழ் சொல்வனத்தில் வெளியான என் கட்டுரை இங்கே:

கணிதத்திற்கு நொபேல் பரிசு இல்லை. அல்ஃப்ரெட் நொபேல், நொபேல் பரிசை எந்த பிரிவுகளுக்குக் கொடுக்கலாம் என்று முடிவெடுத்தபோது கணிதத்தைச் சேர்க்காமல் இருந்ததற்கு ஒரு கதை உண்டு. நொபேலின் சமகாலத்தவரான, ஸ்வீடன் நாட்டு கணித வல்லுநர் மாங்க்னெஸ் குஸ்டாஃப் (யோஸ்டா) மிட்டாக்-லெஃப்லரோடு நொபேலின் மனைவிக்கு தொடர்பு இருந்ததாகவும், கணிதத்தை பரிசுப்பிரிவில் சேர்த்தால் அவருக்கு நொபேல் பரிசு கிடைக்கக் கூடிய வாய்ப்பு அதிகம் என்ற காரணத்தால்தான் கணிதம் நொபேல் பரிசில் சேர்க்கப்படவில்லை என்பது அந்தக்கதை. சுவையானதாகத் தோன்றலாம், ஆனால் உண்மை இல்லை. ஏனெனில் நொபேல் திருமணமே செய்து கொள்ளவில்லை. மிட்டாக்-லெஃப்லர் ஸ்வீடன் அரசரிடம் தொடர்ந்து பேசி கணிதத்துக்கு ஏற்கனவே ஒரு பரிசை நிறுவ ஏற்பாடு செய்துவிட்டதால், நொபேல் அதனுடன் போட்டி போட விரும்பவில்லை என்பது ஒரு காரணமாக இருக்கலாம் எனச் சொல்லப்படுகிறது. இதுவும் வெறும் யூகமே.

கணிதத்திற்கு  நொபேல் பரிசளிக்கும் பிரிவுகளில் கணிதம் இல்லை எனத் தெரிந்தவுடன் நார்வே நாட்டைச் சேர்ந்த கணித வல்லுநர் மாரியஸ் சொஃபஸ் லீ (Marius Sophus Lie) நார்வீஜிய கணித வல்லுநர் ஆபெல் பெயரில் ஒரு கணிதப்பரிசை நிறுவ முயற்சித்தார். ஆபெலின் நூறாவது பிறந்தநாளைக் கொண்டாடும் விதமாக அவருக்கு ஒரு நினைவு மண்டபமும், கருத்தரங்க ஏற்பாடும், அவர் பெயரில் ஒரு கணிதப்பரிசும் கொடுக்க வேண்டும் என்பது லீயின் எண்ணமாக இருந்தது. அவருடைய விருப்பத்தில் முதல் இரண்டும் நிறைவேறின. ஆனால் அவருடைய மறைவும், 1905-ஆம் ஆண்டில் நிகழ்ந்த நார்வே-ஸ்வீடன் பிரிவினையும் காரணமாக ஆபெல் கணிதப்பரிசு இருபதாம் நூற்றாண்டில் உருவாகாமலே போனது.

லீ மறைந்து நூறு ஆண்டுகள் கழித்து, 2001 ஆம் ஆண்டு ஆபெலின் 200ஆவது பிறந்தநாளை முன்னிட்டு ஆபெல் பரிசு நார்வே நாட்டு மன்னரால் நிறுவப்பட்டது.  நீல்ஸ் ஹென்ரிக் ஆபெல்(Niels Henrik Abel) 1802 ஆம் ஆண்டு நோர்வே நாட்டில் பிறந்தவர். மிகவும் வறுமையான வாழ்கை. இருந்தாலும் கணிதத்தில் அளப்பரிய ஆவல் மற்றும் திறமை. வாழ்ந்தது 26 ஆண்டுகளே. ஆனால் கணிதத்தில் பல முக்கியமான கண்டுபிடிப்புகளுக்குச் சொந்தக்காரர். கல்லூரியில் கணிதம் படித்தவர்கள் இவர் பெயரை அறியாமல் இருந்திருக்க முடியாது.

எல்லா இயல் எண்களுக்கும் ஈறுருப்புக்கோவைத் தேற்றம் (Binomial Theorem) உண்மையே என்ற நிரூபணத்தை கொடுத்தார். ஐந்துபடி சமன்பாட்டுக்கு (Quintic Equation) பொதுவான இயற்கணிதத் தீர்வு (algebraic solution) கிடையாது என்ற இவருடைய கண்டுபிடிப்பு, கணிதத்தில் மிக முக்கிய முடிவாகவும், இவருடைய கணிதக் கண்டுபிடிப்புகளில் தலையாயதாகவும் இருக்கிறது. இந்த ஐந்துபடி சமன்பாட்டுக்குப் பொதுவான இயற்கணிதத் தீர்வு உண்டா அல்லது இல்லையா என்று கண்டறிய பல நூற்றாண்டுகளாக கணித மேதைகள் முயற்சி செய்து வந்தார்கள். பொதுவாகக் கணிதத்துறையில் பல பத்தாண்டுகளாக முடிவு காணப்படாத கேள்விகளுக்கு நல்லதொரு, ஏற்கப்படக்கூடிய விடையொன்றைத் தக்க நிரூபணங்களுடன் யாரேனும் கொடுத்தால் அதை பல்வேறு நாடுகளின் கணிதவியலாளர்களும் மிக விருப்புடன் வரவேற்பார்கள். அப்படிப்பட்ட வரவேற்பு ஆபெலின் கண்டுபிடிப்புகளுக்கு இருந்தது. எனவே ஆபெலின் பெயரில் ஒரு பரிசு நிறுவப்படுவது பலராலும் வரவேற்கப்பட்டது.

ஆபெல் பரிசை இதுவரை 12 கணித மேதைகள் பெற்றிருக்கிறார்கள். இந்தப் பரிசுக்கு 1.5 மில்லியன் அமெரிக்க டாலர்கள் மதிப்புள்ள பணமுடிப்பு கொடுக்கப்படுகிறது. பரிசுத்தொகையை விட இந்தப் பரிசினால் கிடைக்கும் பெருமை அளவிட முடியாதது. முதல் ஆபெல் பரிசு ழான் பியர் ஸேர் (Jean-Pierre Serre) என்ற கணித மேதைக்கு 2003 ஆம் ஆண்டு வழங்கப்பப்ட்டது. ஏற்கனவே இவர் தன் 27 வது வயதில் ஃபீல்ட்ஸ் பதக்கம் வாங்கியவர்.

இந்த வருடத்துக்கான ஆபெல் பரிசு ஹங்கரி( ஹங்கரிய மொழியில் நாட்டுப் பெயர் ‘மஜ்யரோர்ஸாக்’ ) நாட்டைச் சேர்ந்த எண்ட்ரே ஸெமெரீடீ (Endre Szemerédi) என்ற கணித மேதைக்கு வழங்கப்பட்டுள்ளது. இவர் 1940-ஆம் ஆண்டில் பிறந்தவர். கணித மேற்படிப்பு படிக்கத் தொடங்கும் முன் ஒரு வருடம் மருத்துவக் கல்லூரியிலும், பின் ஒரு வருடம் ஒரு தொழிற்சாலையிலும் வேலை பார்த்தார். மற்றொரு ஹங்கரி கணித மேதையான போல் எர்டிஷ் (Paul Erdos) எண்ட்ரேயின் அபாரக் கணிதத்திறமையைக் கண்டறிந்து, அவரை ஊக்குவிக்கவும் செய்தார். பின்பு எண்ட்ரே ரஷ்யாவில் இஸ்ரெயில் கெல்ஃபாந்த் (Israil Moiseivich Gelfand) என்ற கணிதவியலாளரிடம் தன் முனைவர் பட்டத்தை முடித்தார்.

எண்ட்ரேக்கு அவருடைய தனிச்செயலிக்கணிதம் (Discrete Mathematics), சேர்வியல் (combinatorics) மற்றும் கோட்பாடு கணினியியல் (theoretical Computer Science) என்ற துறைகளில் மேற்கொண்ட மிக உயர்ந்த, அதிகபட்ச தாக்கம் ஏற்படுத்திய ஆராய்ச்சிக்காக இந்தப் பரிசு வழங்கப்பட்டுள்ளது. இவருடைய ஆராய்ச்சிக்கு உடனடியான நேர்முகப் பயன்பாடு இல்லை எனினும், மறைமுகப் பயன்பாடு கோட்பாடு கணினியியல் துறையில் முக்கியப் பங்காற்றியுள்ளது. இவர் கணிதத்தில் செய்த ஆராய்ச்சியில் உபயோகித்த முறைகள் இன்றும் பல வகைகளில் செயல்படுத்தி விடை அறிய முடியாமல் இருந்த திறந்த (open) கணிதக் கேள்விகளுக்கு நிரூபணம் அளிக்க ஏதுவாக இருந்திருக்கின்றன.

இவர் கணிதப் பங்களிப்பிலிருந்து ஒரு சில துளிகளைப் பார்க்கலாம். 2,4,6,8,……என்ற தொடரில் அடுத்தடுத்து உள்ள எண்களுக்கு இடையே இருக்கும் வித்தியாசம் 2 மேலும் முதல் எண் 2. அதே போல் 4, 7,10,13,16,19,……என்கிற தொடரில் அடுத்தடுத்து உள்ள எண்களுக்கு இடையே இருக்கும் வித்தியாசம் 3 மேலும் முதல் எண் 3. இதுபோன்ற தொடர்கள் கூட்டுத் தொடர்கள் (Arithmetic Progressions)என்று அழைக்கப்படுகின்றன. இந்தக் கூட்டத் தொடர்களில் எண்ணிலடங்கா எண்கள் இருக்கின்றன.

முதல் கூட்டுத் தொடரில் 2, 4, 6, 8 மட்டும் எடுத்தக் கொண்டால் அதை 4 – நீளமுள்ள கூட்டுத் தொடர் என்கிறோம். அதே போல் 4, 7, 10 எனும் எண்களை எடுத்தக் கொண்டால் அதனை 3 – நீளமுள்ள கூட்டுத் தொடர் எனலாம். சரி இதைப் போலிருக்கும் ஒரு கூட்டுத் தொடரில் இருந்து இலக்கின்றி எதேச்சையாக (random) எண்களை நீக்கினால் என்னவாகும் என நினைக்கிறீர்கள்?

அந்த தொடர் எந்த ஓர் ஒழுங்குமில்லாத தொடராக மாறும் என்பது பொதுவான எண்ணமாக இருக்கும். ஆனால் அதற்கு மாறாக மாற்றி அமைக்கப்பட்ட தொடரில் ஓர் ஒழுங்கு இருப்பதைத் தவிர்க்க முடியாது என்பது தான் எண்ட்ரேயின் மிக முக்கியப் பங்களிப்புகளில் ஒன்று. இதையே சற்று வேறு விதமாக பார்ப்போம். 1, 2, 3, 4, 5, ……….1000 வரை என்னிடம் 1000 எண்கள் இருக்கின்றன. இந்த 1000 எண்களிலிருந்து 5 – நீளம் கொண்ட கூட்டுத் தொடர் அமையாதவாறு நீங்கள் தன்னிச்சையாக எண்களை விலக்க முயன்றால் கூடிய சீக்கிரமே அதனை கைவிட வேண்டியதிருக்கும். ஏனெனில் அது முடியாது. எண்களை விலக்கிக் கொண்டே போனால் ஒரு கட்டத்தில் 1000 எண்களையும் எடுத்திருப்பீர்கள். ஆனால் 1000 எண்களையும் விலக்க வேண்டியதில்லை. வெகு சில எண்களை எடுத்த உடனே 5 – நீளம் கொண்ட கூட்டுத் தொடர் கிடைத்து விடும் என்பது தான் எண்ட்ரேயின் கண்டுபிடிப்பாகும். இதை ஓர் உதாரணத்துடன் காண்போம்.

நம்மிடம் சிகப்பு மற்றும் நீல வர்ணங்கள் என இரண்டு உள்ளன. அதை வைத்து எண்கள் 1 - 8 வரை, 1 - நீலம், 2 - சிகப்பு , 3 - சிகப்பு , 4 - நீலம், 5 - நீலம், 6- சிகப்பு, 7 - சிகப்பு , 8 - நீலம் என வர்ணம் கொடுக்கிறோம். இந்த தொடரில் எண் 9 ஐ சேர்த்து, அதற்கு நீல வர்ணம் கொடுத்தால், 1,5,9 ஒரு கூட்டுத் தொடராக அமைவதைக் காணலாம். 9 க்குச் சிகப்பு வர்ணம் கொடுத்தால், 3,6,9 ஒரு கூட்டுத் தொடராகிறது. இதிலிருந்து இரண்டு வர்ணங்களை வைத்து ஒன்பது எண்களுக்கு சாயமடிக்கும் பட்சத்தில் அதில் நிச்சயம் 3- நீளம் கொண்ட (மூன்று எண்களை மட்டும் உடைய) ஒரு கூட்டுத் தொடர் இருப்பதை தவிர்க்க முடியாது எனத் தெரிகிறது. இதே போல் 3 வர்ணங்களை வைத்து 3- நீளம் கொண்ட கூட்டுத் தொடர் கிடைக்க குறைந்த பட்சம் 27 எண்கள் கொண்ட தொடர் தேவை.

இதைப் போன்ற ஒரு தேற்றத்தை வான் டெர் வேர்டன் (Van der Waerden) என்ற கணித ஆராய்ச்சியாளர் முதலில் முன் வைத்தார். இதைப் பொதுவான கூற்றாக “எண்ணிலடங்கா இயல் எண்களை பிரித்து பல பெட்டிகளில் போட்டு வந்தால், ஏதோ ஒரு பெட்டியில் நிர்ணயிக்கப்பட்ட அளவிலான நீளமுள்ள கூட்டுத் தொடர் கண்டறிய முடியும்” எனக் கொள்ளலாம். இந்தக் கூற்றைத்தான் வான், 1927 ஆம் ஆண்டு நிரூபித்தார். இதைப் படித்த போல் எர்டிஷ் ஒரு பொதுவான அனுமானத்தை (Conjecture) முன் மொழிந்தார்.

இந்த தீர்வுக்கு என்ன காரணம் என ஆராய்ந்த எர்டிஷ்- டுரோன் ஆகியோர், “எடுத்துக் கொள்ளும் எண்கள் கொண்ட கணத்தின் (set) மேற்படி திண்மம் (upper density), முழுவதுமான இயல் எண்களுடன் ஒப்பிடும் போது நேர்மறையாக (positve) ஆகாது இருந்தால் அந்தக் கணத்தில் நிர்ணயிக்கப்பட்ட அளவிலான நீளமுள்ள கூட்டுத் தொடர் இருக்கும்,” என்ற அனுமானத்தை (Conjecture)முன் மொழிந்தார். அதாவது 2-நீளம், 3 -நீளம், …..k -நீளம் என எந்த நிர்ணயிக்கப்பட்ட நீளத்திலும் கூட்டுத் தொடர்களைக் கண்டறியலாம்.

கணத்தின் மேற்படி திண்மம் என்றல் என்ன? A ={2.4.6.8.10…….} என்ற கணத்தை N= {1,2,3,4,5,6,7…} எனும் எல்லா இயல் எண்களுடன் ஒப்பிடும் போது A யின் மேற்படி திண்மம் 1/2 என இருக்கும். அதே போல் B= {3,6,9,12,..} என்ற கணத்தை N= {1,2,3,4,5,6,7…} எனும் எல்லா இயல் எண்களுடன் ஒப்பிடும் போது B யின் மேற்படி திண்மம் 1/3 என இருக்கும்.

இப்போது C = {10,100,1000,10000,100000,1000000,….} என்ற கணத்தை இயல் எண்களுடன் ஒப்பிடும்போது C இன் திண்மம் பூஜ்யம் எனலாம். மேற்படி திண்மம் என்பது எடுத்துக் கொள்ளும் கணத்தில் இருக்கும் எண்கள் எந்த அளவிற்கு மொத்த இயல் எண்களுடன் ஒப்பிடும் போது நெருக்கமாக இருக்கிறது என்பதாகும். மற்றொரு உதாரணமாக பகா எண்களின் {2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,….}கணத்தை எடுத்துக் கொண்டால், இதிலிருக்கும் எண்கள் நெருக்கமாக இல்லாமல், விரிந்து இருப்பதால் இந்த கணத்தின் மேற்படி திண்மம் பூஜ்யமாகும். இந்த ஏர்டிஷ்-டுரோன் அனுமானத்துக்குத்தான் எண்ட்ரே ஸெமெரீடி 1975 ஆம் ஆண்டு நிரூபணம் அளித்தார். அதுதான் ’ஸெமெரீடி தேற்றம்’ என அறியப்படுகிறது.

இத்தேற்றத்தை நிரூபிக்கும்போது, எண்ட்ரே செயல்படுத்திய முறை (method) கோலக் கோட்பாட்டில் (Graph Theory) ஒரு முக்கிய உத்தியாகும். இந்த உத்தியை ஒரு கருவியாகக் கொண்டு டாவ்-க்ரீன் (Tau-Green) பகா எண்களின் தொடரிலும் நிர்ணயிக்கப்பட்ட அளவிலான நீளம் கொண்ட கூட்டுத் தொடர்கள் இருக்கும் என நிறுவினர். இதற்காக டாவ் ( Tau) 2006 ஆம் ஆண்டு ஃபீல்ட்ஸ் பதக்கம் பெற்றார்.

ஸெமெரீடி தேற்றத்தின் நிரூபணத்தைப் படித்துப் புரிந்து கொள்வது மிகவும் கடினம். அது கணிதத்தின் பல பிரிவுகளை ஒன்றிணைத்து உருவாக்கிய நிரூபணம். அதைப் பற்றி டாவ் (Tau) ” இந்த தேற்றத்தின் நிரூபணம் படிக்கும்போது, ஒரு கூத்தாடி பல பந்துகளை தூக்கிப் போட்டு கீழே விழாமல் சுழற்றி எறிந்து வித்தை செய்வதைப் போன்று இருந்தது” என்று கூறியுள்ளார்.

எண்ட்ரே கோலக் கோட்பாட்டில் மேற்கொண்ட ஆராய்ச்சியைப் பற்றி பார்க்கலாம். கோலக் கோட்பாடு என்பது உச்சிப்புள்ளிகளும் (vertices), அந்தப் புள்ளிகளை இணைக்கும் வளைகோடுகளும் (edges) சேர்ந்ததுதான். லியோன்ஹார்ட் ஆய்லர்(Leonhard Euler) தான் கூனிக்ஸ்பெர்க் (Königsberg) பாலம் புதிரின் தீர்வாக கோலக் கோட்பாட்டை கணிதத்தின் ஒரு பிரிவாக அறிமுகப்படுத்தினார். இதைப் பற்றி அருண் நரசிம்மன் தமிழில் கிளிப்பிள்ளைக்குச் சொல்வது போல் மிக அழகாக எழுதியுள்ளார். படித்துப் பார்க்கவும்.

விருந்துக்கு அழைக்கும் விருந்தாளிகளில், குறைந்தபட்சம் எத்தனை நபர்களை அழைத்தால், அதில் மூன்று நபர்கள் அவர்களுக்குள் ஒருவருக்கொருவர் தெரிந்தவர்களாக இருப்பார்கள் அல்லது மூன்று நபர்கள் அவர்களுக்குள் ஒருவருக்கொருவர் தெரியாதவர்களாக இருப்பார்கள்? இதற்கு விடை: குறைந்தபட்சம் ஆறு நபர்களை அழைக்க வேண்டும். நபர்களை உச்சிப்புள்ளிகளாக எடுத்துக் கொண்டு, இரண்டு நபர்கள் நண்பர்களானால் அல்லது தெரிந்தவர்களாக இருந்தால் அந்த இரண்டு உச்சிப்புள்ளிகளையும் வளை கோடுகளாக இணைக்கவும். இதைக் கோலக் கோட்பாட்டில் வரைகோலம் (Graph) என்று அழைக்கிறோம். இப்போது இந்தக் கோலத்தில் ஒரு முக்கோணம் இருந்தால் மூன்று நபர்கள் தெரிந்தவர்களாக இருப்பார்கள். முக்கோணம் இல்லை என்றால் மூன்று நபர்கள் ஒருவருக்கொருவர் தெரியாதவர்களாக இருப்பார்கள். இதனை R(3,3) = 6.

அதாவது R (m.n) தான் ராம்சே எண் என அழைக்கப்படுகிறது.இதில் R(3,k) for any k, என்ன மதிப்பாக இருக்கும் என்பதை எண்ட்ரே கண்டறிந்தார். அதனுடைய மதிப்பு அதிகபட்சம் k^2/log k என நிறுவினார்.

இதைத் தவிர கணினியியலில் வரிசை செய்தல் (sorting) என்பது மிகவும் முக்கியமான ஒன்று. அதாவது கொடுக்கப்பட்டுள்ள எண்களின் தொடர்களை ஏறு வரிசையில் எழுதுவது. இதற்கான ஒரு வழி முறையை எண்ட்ரே கொடுத்தார். இதில் முக்கியமானது, வழிமுறையானது மிகக் குறுகிய நேரத்தில், மிகக் குறைந்த கணினியின் நினைவாற்றலை (memory) பயன்படுத்தக் கூடியதாக இருக்க வேண்டும். அதைத் தான் எண்ட்ரே செய்தார்.எண்ட்ரே 200 க்கும் மேற்பட்ட கணித ஆராய்சிக் கட்டுரைகளை எழுதியுள்ளார். இங்கு குறிப்பிட்டுள்ளது ஒரு துளி.

இந்த பரிசுகள் கொடுக்கப்படும் நோக்கமே இளைஞர்கள் இதனால் உற்சாகம் பெற்று இந்த சமுதாயத்திற்கு நல்ல பங்களிப்பு கொடுத்து அதனை முன்னகரச் செய்ய வேண்டும் என்பதே. இயற்கையில் ஒளிந்திருக்கும் ரகசியங்களைக் கண்டுபிடிப்பதில் ஈடுபட்டு, எந்த ஒரு ஆரவாரமும் இல்லாமல் அமைதியாக உலகின் ஏதோ ஒரு மூலையில் அமர்ந்து மனித சமுதாயத்தை முன்னெடுத்துச் செல்லும் பணியில் ஈடுபட்டிருக்கும் எண்ட்ரே போன்றவர்களை நினைக்கும் தருணம் “எந்தரோ மகானுபாவலு அந்தரிக்கும் மா வந்தனமு” என்று சொல்லத் தோன்றுகிறது.