எண் 2017 - புத்தாண்டு வாழ்த்துகள்

மார்கழி மாதத்தில் விடுமுறை நாட்களில் கோவிலுக்குச் சென்று திருப்பாவை படிப்பது வழக்கம். எங்க ஊரில் 9 மணிக்குத் தான் கோவில் திறக்கும். 10 மணி வாக்கில் திருப்பாவை வாசிப்பு தொடங்கும். மொத்தமே பத்து நபர்கள் இருந்தால் அதுவே அதிகம். அதில் ஐந்து பேராவது தமிழ் படிக்கத் தெரிந்தவர்களாக இருப்பார்கள். அவர்களுடன் படிப்பது நல்ல அனுபவம். ஒரு தெலுங்கு நண்பரும் வருவார்.அவர் தமிழ் படிப்பதைக் கேட்பதும் ஓர் அனுபவம் தான். அவர் இன்று கோவிலை விட்டு கிளம்பும் போது "2017"  எப்படி எனக் கேட்டார்.அவர் கெட்ட  நேரம்.

நான் 2017 ஒரு பகா எண் (Prime Number). அடுத்த பகா எண் வருடம் 2027 என்றேன். அவர் நல்ல நேரம். தொலைபேசி சிணுங்கியது. மனைவி அழைக்கிறார் என்று பவ்யமாக பேசிக் கொண்டே சென்று விட்டார். சரி அவரிடம் சொல்ல விட்டதை இங்கு எழுதி விடலாம் என்று முடிவு செய்தேன். இதற்கு மேலும் தொடர்ந்து படிப்பது உங்கள் தைரியத்தைப் பொருத்தது.

பகா எண் என்றால் என்ன? p > 1 என்ற எந்தவொரு இயல் எண்ணுக்கும் இரணடு காரணிகள் மட்டுமே இருந்தால் அதை பகா எண் என்கிறோம். 2017 க்கு 1 மற்றும் 2017 என்ற இரண்டு காரணிகள் தான் உள்ளன. 2017 ன் மற்ற இயல்புகளைப் பார்ப்போம். 2017 ஐ இரண்டு எண்களின் வர்கத்தின் கூட்டுத் தொகையாக எழுதலாம். அதாவது

                   2017 = 1936 + 81 = 44X44 + 9X9

மேலும் பைத்தாகரஸ் தேற்றம் படித்தது நினைவிருக்கலாம். ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் ஒரு பக்கத்தின் அளவு 792 மற்றும் அடுத்த பக்கத்தின் அளவு 1885 எனக் கொண்டால், கர்ணத்தின் அளவு 2017 ஆக இருக்கும். அதாவது

              2017X2017= 792X792 + 1855X1855

2017, 792 மற்றும் 1885 என்ற மூன்று எண்களுக்கும் பொதுவான காரணி 1 தான். அதனால் (792,1885,2017) ஐ பைத்தாகோரஸின் தொடக்கநிலை மூவர்கள் (triplets) எனலாம். இதை மேலும் புரிந்து கொள்ள (6,8,10) என்ற பைத்தாகோரஸின் மூவர்களுக்கு (3,4,5) பைத்தாகோரஸின் தொடக்கநிலை மூவர்கள் ஆகும்.

இப்போது கலப்பு எண்கள் உலகத்தில் 2017 ஒரு பகா எண்ணாக இருக்குமா? இரண்டாவது பரிமாணத்தில் ஒரு புள்ளியைக் குறிக்க வேண்டுமானால் அதற்கு இரண்டு எண்கள் தேவைப்படுகிறது.(1,1) என்ற புள்ளியை எடுத்துக் கொள்வோம். இதில் ஓர் அலகு x-அச்சில் நகர்ந்து, பிறகு அதற்கு செங்குத்தாக ஓர் அலகு நேரே மேலாக சென்றால் (1,1) என்ற புள்ளியை அடைந்து விடலாம். இதையே

Z = 1+1i  என எழுதுவோம். இதில் i என்பது -1 ன் வர்கமூலமாகும்.

I = sqt(-1) . இப்போதைக்கு i என்றால் செங்குத்தாக பயணிப்பது எனக் கொள்வோம். கலப்பு எண்கள் குறித்த விரிவான பதிவு பிறகு எழுதப் பார்க்கிறேன். இப்போது

2017 = (44+9i)(44-9i)

என எழுதலாம். எனவே கலப்பு எண்களைக் கணக்கில் கொண்டால் 2017 ஒரு பகா எண்ணாக இருக்காது.

எல்லா நண்பர்களுக்கும் என் புத்தாண்டு வாழ்த்துகள்.

இராமானுஜனின் இயல் எண்களின் பிரிவினைகள்

இராமானுஜனின் இயல் எண்களின் பிரிவினைகள் குறித்த பங்களிப்பு மிகவும் முக்கியமானது.  இயல் எண்களின் பிரிவினைகள் என்றால் என்ன?

1,2,3,4,5,6,7,.... ..  ...இயல் எண்களாகும். எத்தனை விதமாக இயல் எண்களின் கூட்டுத் தொகையாக ஓர் இயல் எண் எழுதப்பட முடியும் என்பதே இயல் எண்களின் பிரிவினைகள் ஆகும். இயல் எண் 2 க்கு 2 மற்றும் 1 + 1 என்ற இரண்டு பிரிவினைகள் உள்ளன.
2 = 2,
2=1+1
என்று இரண்டு விதமாக பிரித்து எழுதலாம்,
3=3,
3=2+1,
3=1+1+1
என்று மூன்றை மூன்று விதமாக பிரித்து எழுத முடிகிறது.
5=5,
5=4+1,
5=3+2,
5=3+1+1,
5=2+2+1,
5=2+1+1+1
5=1+1+1+1+1,
மற்றும்
6=6,
6=5+1,
6=4+2,
6=4+1+1,
6=3+3,
6=3+2+1,
6=3+1+1+1,
6=2+2+2,
6=2+2+1+1,
6=2+1+1+1+1,
6=1+1+1+1+1+1
என ஐந்து மற்றும் ஆறை முறையே 7 மற்றும் 11 விதமாக பிரித்து எழுதலாம். ஒவ்வொரு இயல் எண்ணுக்கும் எத்தனை பிரிவினைகள் இருக்கிறது என்பதை

p(1) = 1;p(2) = 2; p(3) = 3; p(4)=5;p(5)=7;p(6)=11 …………..

எனக் குறிக்கலாம். இதில் இராமானுஜனின் பங்கு என்ன? இந்த பிரிவினைகளில் இராமானுஜன் சில ஒழுங்குகளைக் கவனித்தார்.

அதாவது

P(4)=5

P(9)=30

P(14)=135

P(19)=490

P(24)=1575 ……………….

4  மற்றும் 9 இல் முடியும் இயல் எண்களின் பிரிவினைகளின் எண்ணிக்கை 5 ஆல் வகுபடும் எனக் கண்டறிந்தார்.

பொதுவாக  k=0,1,2,3,4,5… என்ற மதிப்புகளுக்கு

p(5k+4) இன் மதிப்பு 5 ஆல் வகுபடும் 

இதே போல் k=0,1,2,3,4,5… என்ற மதிப்புகளுக்கு

p(7k+5) இன் மதிப்பு 7 ஆல் வகுபடும் 

இதே போல் k=0,1,2,3,4,5… என்ற மதிப்புகளுக்கு

p(11k+6) இன் மதிப்பு 11 ஆல் வகுபடும் 

இங்கு 5,7,11 பகா எண்கள் என்பதைக் கவனிக்கவும். இதே போன்று மற்ற பகா எண்களுக்கும் இதே போன்று முடிவுகள் இருக்கும் என்றும், ஆனால் அவைகள் 5,7,11 போன்று எளிமையானதாக இருக்காது என்றும் இராமானுஜன் எழுதி வைத்தார்.