ஜன்னல் வழியே: செப்டம்பர் 2011

திங்கள், 12 செப்டம்பர், 2011

ஆய்லரின் ஆக்கமும், எண்ணிலடங்கா பகா எண்களும்

ஐம்பது கிலோ அழகு உலக அதிசியமோ இல்லையோ தெரியாது, ஆனால் ஆய்லரின் ஆக்கம் நிச்சியம் ஓர் அதிசியம் தான். சரி இதை புரிந்து கொள்ள என்னவெல்லாம் தேவை என்று முதலில் இங்கே பார்ப்போம். பிறகு ஆய்லரின் ஆக்கத்தைக் கொடுக்கிறேன்.

முதலில் பகா எண்கள் என்றால் என்ன என்று பார்ப்போம். எந்த ஓர் இயல் எண் N>1 ணுக்கு ஒன்று மற்றும் அந்த இயல் எண்ணே காரணிகளாக இருந்தால் அந்த எண்ணை ஒரு பகா எண் என அழைக்கிறோம்.

குறிப்பாக,

2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,....

முதலியவைகள் 100 க்கு கீழே உள்ள பகா எண்களாகும். இந்தப் பகா எண்கள் இயல் எண்களின் கட்டுமான அடுக்குகளாக (building blocks) செயல்படுவதே இதன் சிறப்பாகும். உதாரணமாக 12 என்ற எண்ணை எடுத்துக் கொள்வோம்.

$12 = 2 \times 2 \times 3 = 2^{2} \times 3$
குறிப்பாக எந்த இயல் எண் N > 1 க்கும்,

$N = p_{1}^{\alpha_{1} } \times p_{2}^{\alpha_{2}} \times p_{3}^{\alpha_{3}} \times p_{4}^{\alpha_{4}} .........\times p_{n}^{\alpha_{n}}$
எனலாம்.

எனவே எந்த இயல் எண்ணும் பகா எண்கள் அல்லது பகா எண்களின் அடுக்குக்குறிகளின் (exponents) ஆக்கமாக இருக்கும்.இந்த ஆக்கமும் ஒரு தனித்தன்மை (uniqueness) கொண்டது.

அடுத்தது

$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+.........+\frac{1}{n}+.......$

என்ற தொடரின் ஒருங்கல் (convergence) மற்றும் விலகிப் போகும் (divergence) தன்மையைப் பற்றிப் பார்ப்போம்..

இதனை சுருக்கமாக
$\sum_{1}^{\infty }\frac{1}{n}$

என எழுதலாம்.

1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + ...

= ( 1/1 ) + ( 1/2 ) + ( 1/3 + 1/4 ) + ( 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 ) + .......

என எழுதலாம்.

மேலும்

( 1/3 + 1/4 ) > (1/4 +1/4)

( 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 ) > (1/8+1/8+1/8+1/8)

ஆகும்.

எனவே

1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + ... ....

> ( 1/1 ) + ( 1/2 ) + ( 1/4 + 1/4 ) + ( 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 ) + ... ...

= 1/1 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + ... .....

எனவே இந்தத் தொடரில் மேலும் மேலும் எண்களைக் கூட்டும் போது இந்தத் தொடரின் கூட்டுத் தொகை மிகப் பெரிதாகி முடிவிலியை (infinity) நோக்கிச் செல்கிறது. எனவே இந்தத் தொடர் முடிவிலியை நோக்கி விலகிச் செல்லும் (diverging to infinity) ஒரு தொடராகும்.

அடுத்ததாக பெருக்குத் தொடர் (Geometric series) என்றால் என்ன மற்றும் அதன் கூட்டுத் தொகை என்ன என்றும் பார்க்கலாம்.

$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{3}}+\frac{1}{2^{4}}+........\frac{1}{2^{N}}$

என்ற இந்த தொடர் ஒரு பெருக்குத்தொடராகும்.ஒவ்வொரு அடுத்த எண்ணும் 1/2 ஆல் அதன் முந்தைய எண்ணைப் பெருக்குவதால் கிடைக்கிறது. இப்போது இதன் கூட்டுத் தொகையைப் பார்ப்போம்.

$S=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{3}}+\frac{1}{2^{4}}+....\frac{1}{2^{N}}$

$\frac{1}{2}S=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{3}}+\frac{1}{2^{4}}+....\frac{1}{2^{N}}+ \frac{1}{2^{N+1}}$

$S - \frac{1}{2}S=1 - \frac{1}{2^{N+1}}$

$S = 2 (1- \frac{1}{2^{N+1}})$
இப்போது இந்தத் தொடரை முடிவிலி (infinity)வரை செல்ல விட்டால்,

                        $\frac{1}{2^{N+1}}$

பூஜ்யத்தை நோக்கிச் செல்லும்.

எனவே, S = 2 எனவாகும்.
அதாவது,
$S=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{3}}+\frac{1}{2^{4}}+.........= 1-\frac{1}{2}$
இதே போல்
$S=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{3^{3}}+\frac{1}{4^{4}}+.........= 1-\frac{1}{3}$

பொதுவாக, எந்த பகா எண் p க்கும்,

                                                     $1+\frac{1}{p}+\frac{1}{p^{2}}+\frac{1}{p^{3}}+\frac{1}{p^{4}}+.........= 1-\frac{1}{p}$

என்பது கூட்டுத் தொகையாக இருக்கும்.

இளம் வயதில் படித்த இந்த

(a+b)(c+d) = a(c+d) + b(c+d)
= ac+ad+bc+bd

என்ற இயற்கணிதத்தைப் பயன்படுத்தி
$(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{3}}+...)(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2{}}+\frac{1}{3^{3}}+.....) = 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{18}+.....$

எனக் கண்டறியலாம்.
$\frac{1}{2^{a}}\times \frac{1}{3^{b}}$

என இருக்கும் எல்லா பின்னங்களின் கூட்டுத் தொகையும், இந்தப்

                                        $(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{3}}+.....)(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{3^{3}}+.....)$
பெருக்குத் தொகையின் மூலம்  கிடைப்பதைப் பார்க்கலாம்.

உதாரணமாக

                      $\frac{1}{36}= \frac{1}{2^{2}}\times \frac{1}{3^{2}}$

என வருவதைக் காணலாம்.

இறுதியாக,

$(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{3}}+\frac{1}{2^{4}}+.........)(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{3^{3}}+\frac{1}{3^{4}}+.........)(1+\frac{1}{5}+\frac{1}{5^{2}}+\frac{1}{5^{3}}+\frac{1}{5^{4}}+.........)(1+\frac{1}{7}+\frac{1}{7^{2}}+\frac{1}{7^{3}}+\frac{1}{7^{4}}+.........)........ = 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+..........$

எனலாம்.

அதாவது,
$(1-\frac{1}{2})(1-\frac{1}{3})(1-\frac{1}{5})(1-\frac{1}{7})......(1-\frac{1}{p})........= \sum_{1}^{\infty }\frac{1}{n}$

$\sum_{1}^{\infty }\frac{1}{n} = \prod_{p} (1-\frac{1}{p})$ ..........(1)

$\sum$

என்பது கூட்டுவதைக் குறித்தால்

$\prod$

பெருக்குவதைக் குறிக்கிறது.

ஒருவேளை குறிப்பிடும் அளவிலான பகா எண்கள் தான்(finite number of prime numbers) இருக்கிறது எனில், சமன்பாடு (1) இன் வலது பக்கம் கிடைக்கும் எண் அளவிட்டுக் குறிப்பிடும் (finite) எண் N என இருக்கும். ஆனால் சமன்பாடு (1) இன் இடது பக்கத்தில் இருக்கும் தொடரானது முடிவிலியை நோக்கிச் செல்கிறது. அதனால் நிச்சியம் எண்ணிலடங்கா (infinite) பகா எண்கள் இருந்தாக வேண்டும். ஈக்ளுட் (Euclid) கொடுத்த எண்ணிலடங்கா பகா எண்கள் இருக்கும் என்ற நிரூபணம் இங்கே படிக்கலாம்.

இப்போது

$s \geqslant 1$

ஒரு முழு எண் மற்றும் p ஒரு பகா எண் எனில,்

ஆய்லரின் ஆக்கம்

$\sum_{1}^{\infty }\frac{1}{n^{s}} = \prod_{p}\left (1- \frac{1}{p^{s}} \right )$

என்பதாகும். s = 1 , என இருக்கும் போது கிடைப்பது தான் சமன்பாடு (1 ) . சமன்பாடு (1 ) லிருந்து ஆய்லரின் ஆக்கம் கண்டடைவது மிகச் சுலபம்.

ஆனால் இந்த ஆய்லரின் ஆக்கத்தை விரிவு படுத்தி ரீமான் s ஒரு கலவை எண்ணாக (complex number) இருந்தால் என்ன விளைவு என்ற ஆராய்ந்ததில் பிறந்தது தான் புகழ்பெற்ற இன்றும் தீர்வு கிடைக்காத "Riemann Hypothesis".

$\zeta \left ( s \right ) = \sum_{1}^{\infty }\frac{1}{n^{s}}$

என்பதைத் தான் "Riemann-Zeta function" என்றழைக்கிறோம்.

திங்கள், 5 செப்டம்பர், 2011

ஓர் ஆசிரியரின் நினைவாக ....3

ஆசிரியர் தினத்தில் தான் நமக்குக் கற்பித்த ஆசிரியர்களைப் பற்றி நினைக்கிறோமோ? இல்லை அது ஒரு வாய்ப்பு. எத்தனையோ மனிதர்களை வாழ்நாளில் சந்திக்கிறோம். பல நல்ல விஷயங்கள் கற்றுக் கொள்கிறோம். அதே நேரத்தில் சிலரிடமிருந்து எதை செய்யக் கூடாது என்பதையும் அறிந்து கொள்கிறோம். அப்படிப் பட்டவர்கள் நினைவில் இருந்தாலும், அவர்களிடமிருந்து விலகியே இருக்க முயல்கிறோம். ஆனால் சில ஆசிரியர்கள் நம் வாழ்க்கையில் என்றுமே நம் உணர்வில்லாமலே மூச்சு விட்டுக் கொண்டிருப்பது போல் நம் நினைவுகளில் ஒன்றி விடுகிறார்கள்.

நான் பாளையங்கோட்டையில் உள்ள தூய சவேரியர் கல்லூரியில் படிக்கும் போது, இளநிலை மற்றும் முது நிலை பட்டப் படிப்புகளில் கணிதம் கற்பித்த ஆசிரியர் திரு.ஜோதிமணி அவர்கள்.

அவர் கணிதம் படித்த காலம் 1950 களில் இருக்கும். மதுரை பல்கலைக் கழகத்தில் 1975 ஆம் ஆண்டு வரை கணங்கள் (set theory) முது நிலை வகுப்புக்களில் தான் கற்பித்துக் கொண்டிருந்தார்கள். அப்படியெனில், ஐம்பதுகளில் திரு. ஜோதிமணி அவர்கள் என்ன விதமான சமீபத்திய கணிதம் கற்றிருக்க முடியும். ஆனால் எங்கள் வகுப்பில் நவீன இயற்கணிதம் (Modern Algebra) பயிற்றுவித்தார். அதுவும் முழுதும் தானே படித்து, வகுப்பில் புத்தகமோ, குறிப்புக்களோ பார்க்காமல் மிகவும் சரளமாக நடத்துவார். வரையறை (definition), தேற்றங்கள் (theorem) சிறிதும் தயங்காமல் அதிலுள்ள நுணுக்கமான விஷயங்களுடன் பகிந்து கொள்வார். பகுவியல் (analysis) நடத்தும் போதும் அதே முறை தான். கணக்குகளை செய்து அதை எழுதி வைத்து அடுத்த ஆண்டு அதையே பயன்படுத்தும் முறை அவரிடமில்லை. ஒவ்வொரு வருடமும் அந்தக் கணக்கை புதிதாக சிந்தித்து அதன் அடிப்படையில் தீர்வு காணுவார். அவரிடம் கணிதம் கற்றது ஏதோ புண்ணியம் தான்.

ஆசிரியர்களுக்கு மிகவும் தேவையானது தன்னைப் புதுப்பித்துக் கொள்ளுதல். அதற்கு ஒரு முன் உதாரணம் திரு. ஜோதிமணி அவர்கள். இம்மாதிரி ஆசிரியர்களுக்கு எந்த நல் ஆசிரியர் விருதும் தேவையில்லை. ஒரு மாணவன் அவரைப் பற்றி உயர்வாக நினைத்தாலே அது கோடி விருதுகளுக்குச் சமம்

வெள்ளி, 2 செப்டம்பர், 2011

மேரி எவரெஸ்ட் பூல்

சொல்வனத்தில் வெளியான என் கட்டுரையை இங்கு மறு பதிப்பு செய்கிறேன்.

கணிதம் கற்பது சுலபமா இல்லை கற்பிப்பது சுலபமா? கற்பிப்பது கலையாகும் போது கற்பது எளிதாகிறது.தொடக்கப் பள்ளியில் பயிற்றுவிக்கும் கணிதம் முதல் விதையாகிறது. ஆனால் தொடக்கப்பள்ளி கல்வி தொடங்கும் முன்னே குழந்தைப் பருவத்திலேயே உளவியல் மற்றும் நடை முறை சாத்தியமாக கணிதம் மற்றும் அறிவியல் கற்கத் தேவையான பயிற்சியைக் கொடுத்து, பிற்காலப் படிப்பிற்கு குழந்தைகளை ஆயத்தம் செய்ய முடியுமா என்ற சிந்தனைக்கு முன்னோடி கணிதக் கல்வியாளர் மேரி எவரெஸ்ட் பூல்.

எவரெஸ்ட் என்றவுடன் சிகரம் நினைவில் வரும். எவரெஸ்ட் சிகரத்துக்கும் மேரிக்கும் என்ன தொடர்பு? ஜார்ஜ் எவரெஸ்ட் என்பவர் இந்தியாவில் ஆங்கிலேய ஆட்சி காலத்தில் இந்தியாவின் அளவையாளர் ஜெனெரலாக (Surveyor General of India) இருந்தார். இவர் தான் முதல் முதலில் இந்தியாவின் நிலப்பரப்பை தெற்கிலிருந்து வடக்காக வடிவவியல் (Geometry) மற்றும் திரிகோண கணிதம் (Trigonometry) மூலம் மதிப்பீடு செய்தவர்.இவரை கௌரவிக்கும் முகமாகத் தான் இமய மலையிலுள்ள உலகத்தின் அதி உயரமான மலைச் சிகரத்திற்கு “எவரெஸ்ட் சிகரம்” என்று பெயர் சூட்டப்பட்டது.இவரின் உறவினர் தான் மேரி. ஜார்ஜ் மேரியை தத்து எடுத்துக் கொள்ள வேண்டும் என முனைந்தார். தன் பெற்றோர்கள் மீதிருந்த அன்பினால் மேரி அதை மறுத்து விட்டார்.

கணினியியல் படித்தவர்களுக்கு பூலியன் தர்க்கம்(boolean logic), பூலியன் மாறி (boolean variable) மிகவும் பரிச்சயமானதாக இருக்கும். பூலியன் தர்க்கம் தான் இன்று கணினிகள் , தேடு பொறிகள் இயங்குவதற்கு முக்கியக் காரணியாக இருக்கிறது. இந்த சிந்தனையின் சொந்தக்காரர் ஜார்ஜ் பூல். இவர் 19 ஆம் நூற்றாண்டில் வாழ்ந்த மிக முக்கியமான கணித மேதை. இந்த பூல் தான் மேரியின் கணவர்.

மேரியின் இளமைக் காலம்

மேரியின் தந்தை இங்கிலாந்தில் ஒரு மந்திரியாக இருந்தார். அவருக்கு ஹோமியோபதி மருத்துவத்தில் மிகுந்த நம்பிக்கை. அவருக்கு ஏற்பட்ட உடல் நலக் கோளாறை ஹோமியோபதி முறையில் சரி செய்யும் பொருட்டு, மேரிக்கு ஐந்து வயதிருக்கும் போது, குடும்பத்துடன் பிரான்ஸ் நாட்டுக்குக் குடி பெயர்ந்தார். அங்கு வாழ்க்கை கடினமாக இருந்தாலும், மேரியின் இளைமைக் காலக் கல்வி கற்றலுக்கு மிகவும் பயனுள்ளதாக இருந்தது. டீப்லாஸ் என்ற ஆசிரியரிடம் தினமும் இரண்டு மணி நேரம் கல்வி கற்றார். அவருடைய பயிற்று முறை, கேள்விகள் கேட்டு மேரி அதற்கான பதில்களை எழுதிய பின், அந்த பதில்களை சிந்தனைக்கு இடையூறில்லாமல் தீர அலசி ஆராய்ந்து முடிவுகளை கண்டறிவதாக இருந்தது. இவ்விதமாகக் கல்வி கற்பது மேரிக்கு சிறந்த அனுபவமாகவும், படிப்பில் சிறந்து விளங்க உறுதுணையாகவும் இருந்தது. இந்த ஆசிரியரின் கற்பிக்கும் முறை தான் பிற்காலத்தில் அவருடைய பல சிந்தனைகளுக்கு வித்தாக அமைந்தது எனக் கூறலாம்..

மேரியின் திருமண வாழ்க்கை

இங்கிலாந்திலுள்ள கேம்பிரிட்ஜ் நகர் குழந்தைகள் படிப்பதற்கு நல்ல இடமென்று மேரியின் தந்தை வேறொருவருடன் உரையாடுவதை மேரி கேட்டிருந்தார். ஆனால் அவர்கள் குடும்பம் மீண்டும் இங்கிலாந்து திரும்பியவுடன், கேம்பிரிட்ஜில் பெண்களுக்குப் படிக்க அனுமதி இல்லை என்றறிந்து மேரி அதிர்ச்சிக்குள்ளனார். இருந்தாலும் வீட்டிலிருந்த நுண் கணிதப் (calculus) புத்தகத்தைப் படிக்கலானார். ஆனால் விடை அறிய முடியாத கேள்விகளும், சந்தேகங்களும் மேரியை ஆட்கொண்டன. அந்த சமயத்தில் தான் மேரிக்கு ஜார்ஜ் பூலின் அறிமுகம் கிடைத்தது. ஜார்ஜ் பூல மேரியின் சந்தேகங்களைத் தீர்த்து வைத்தார். ஜார்ஜ் கொடுத்து வந்த கணித விரிவுரைகளிலும் மேரிக்குக் கலந்து கொள்ளும் வாய்ப்பு கிடைத்தது. மேலும் அவர்களுக்கு இடையே இருந்த நட்பு புரிதலாக மாறியது. மேரியின் தந்தை இறந்த பிறகு ஜார்ஜ், மேரியிடம் அவரைத் திருமணம் செய்து கொள்ள விருப்பம் தெரிவித்தார். மேரிக்கு அப்போது வயது 23, ஜார்ஜுக்கு 40. 17 வருட வித்தியாசம் இருந்தாலும் மேரி ஜார்ஜை மணக்கச் சம்மதித்தார். ஒன்பது வருடத்தில் 5 குழந்தைகளுடன் அவர்கள் திருமண வாழ்வு மிகவும் மகிழ்ச்சிகரமாகச் சென்றது. திடீரென மழையில் நினைந்ததில், ஜார்ஜ காய்ச்சல் வந்து மரணமடைந்தார்.

மேரியின் பங்களிப்புகள்

ஜார்ஜ் பூலின் மிக முக்கியப் படைப்பான “Laws of Thought” என்ற புத்தகம் எழுதுவதற்கு மேரி ஒரு பதிப்பாசிரியராக இருந்து பெரும் பங்காற்றினர். மேலும் ஜார்ஜ் இறந்த பிறகும் தன வாழ்நாள் முழுவதும் அவரின் தர்க்கவியல் சிந்தனைகளின் முக்கியத்துவத்தை எடுத்துரைப்பதில் தன்னை ஈடுபடுத்திக் கொண்டார். மேரிக்குக் கணிதம் கற்பிப்பதில் சொல்லொணா ஆர்வம் இருந்தது. அந்தக் காலத்தில் பெண்கள் ஆசிரியர்கள் ஆக முடியாததால், ஜார்ஜ் இறந்தவுடன் ஐந்து குழந்தைகளுடன் வறுமையிலிருந்த மேரி, கார்க் கல்லூரியில் “நூலகர்” என்ற பெயருடன் கணிதம் கற்பித்து வந்தார்.தனது இளமைப் பருவத்து ஆசிரியர் டீப்லாஸ் கற்பித்த முறையுடன், தன் சொந்தக் கற்பனையையும் இணைத்துக் கணிதம் கற்பித்தார். ஆனால் “The Message of Psychic Science for nurses and mothers” என்ற அவர் எழுதிய புத்தகத்தில் இருந்த சில சர்ச்சைக்குரிய கருத்துக்களால் அந்த வேலையை இழந்தார்.இதனால் கல்வியின் மீது அவருக்கிருந்த ஆர்வமோ, துடிப்போ சிறிதும் குறையவில்லை. “Sunday Night Conversations” என்ற பெயரில் ஞாயிற்றுக் கிழமைகளில் மாணவர்களுடன் மேரி கிழக்கத்திய-மேற்கத்திய தத்துவம், ஹீப்ரு மொழி, பிராணிகளின் உரிமைகள், உளவியல், தர்க்கவியல் மற்றும் பரிணாமம் (Evolution) பற்றிய உரையாடல்களைத் தொடர்ந்து நடத்தி வந்தார்.

மேலும் தன்னுடைய எண்ணங்களை எழுத்து வடிவில் கொணர்ந்தார். அவர் எழுதிய பல புத்தகங்கள் அவருடைய இறப்பிற்குப் பிறகே அச்சேறின. “The preparation of the child for science” மற்றும் “Philosophy and Fun of Algebra” மேரியின் புத்தகங்களில் முக்கியமானவைகள். அறிவியல், அட்சர கணிதம், அங்க கணிதம் மற்றும் வடிவவியல் போன்ற துறைகளில் அவர் கருத்துகளையும், குழந்தைப் பருவத்திலும், தொடக்கக் கல்வி நிலையில் இவைகளைக் கையாள்வது குறித்தும் விரிவாக எழுதியுள்ளார். அவற்றில் சிலவற்றை இங்கே பார்ப்போம்.

புது உண்மைகளை எதிர்கொள்ளும் போது மனித மனமானது போற்றும் மனப்பான்மை, கவனிப்பு, அவதானிப்பு, பகுத்தறிதல், எதிரிடை, ஒன்றுபடுத்துதல், சிந்திப்பது, விலகுதல், இளைப்பாறுதல் மற்றும் முடிவுக்கு வருதல் எனப் பல அறிவியல் நிலைகளைக் கடக்கிறது. ஒவ்வொரு நிலையையும் கடக்க சில வினாடிகளோ, சில நாட்களோ, மாதங்களோ கூட ஆகலாம். இந்த நிலைகள் குழந்தைகளின் மன நிலைக்குப் பொருந்தாது என்றும், அறியப்படாத ஒன்றின் மீது ஏற்படும் மதிப்பே அவர்களை அறிவியலுக்குத் தயார் படுத்துகிறது. என்றும் கூறுகிறார்.

அறிவியல் கலாச்சாரம் என்பது சீராக வாழ்நாள் முழுதும் நட்புணர்வுடன், அந்தரங்கமாக, அதே சமயம் போற்றத்தக்க மனதுடன், சாஸ்வதமான எல்லையற்ற அறியப்படாத ஒன்றுடனான உணர்வுகளின் பரிமாற்றத்தின் முடிவு ஆகும்.
குழந்தைகளுக்கு முன்னதாகவே கொடுக்கப்படும் அறிவியல் கல்வியை விட, தொடக்கத்திலேயே ஏற்படுத்தப்படும் அறிவியல் மனப்பான்மை மிகவும் முக்கியமானது. குழந்தைப் பருவத்திலிருந்தே அறிவியல் கல்விக்குத் தேவையான பயிற்சியை ஆழ்மனத்தளவில் பெற்றோர்கள் முயற்சியில் ஏற்படுத்த முடியும் என்கிறார்.

ஒரு குழந்தை அறிவியல் உலகத்திற்கு வருவது, உண்மைகளை அறிந்து கொள்ள மட்டுமோ, புலன்களை வளர்த்து மற்ற விஷயங்களை செய்யவோ இல்லாமல், முதன்மையாக இயற்கையின் விதிகளுடன் ஒரு தொடர்பை ஏற்படுத்திக் கொள்ளவேயாகும். இங்கு இயற்கையின் விதி என்பது எந்த விதிகளால் இந்த உலகம் இயங்குகிறதோ அதைக் குறிக்கிறது.
அங்கு கணிதம் (arithmetic) என்பது எண்களைப் பற்றி நமக்குத் தெரிந்த சில உண்மைகளைக் கொண்டு தர்க்க ரீதியாக இது வரை தெரியாத ஒன்றை கண்டறியும் நோக்கத்துடன் அணுகுவதாகும். அதே சமயம் அட்சர கணிதத்தில் (algebra) நம் அறியாமையும் (ignorance) சேர்ந்து கொள்கிறது. அந்த அறியாமையைத்தான் x எனக் கொள்கிறோம். மற்ற எண்களுடன் இந்த x ஐயும் இணைத்து, எப்படி தர்க்க ரீதியாக மற்ற எண்களை அணுகுகிறோமோ, அதே போல் இதை அணுக வேண்டும். இந்த முறையில் நேர்மையாக நம் அறியாமையை ஒத்துக் கொண்டு கணக்குக்குத் தீர்வு காண்பது தான் அட்சர கணிதமாகும்.
குளிர்ந்த நீருள்ள ஒரு டீக் குவளையுடன் விளையாடும் குழந்தை, அடுத்த முறை அதே டீக் குவளையில் சுடு தண்ணீர் இருக்கும் போது தொட்டு விட்டால் அந்தக் குழந்தைக்கு உடனடியாக வித்தியாசம் தெரிந்து விடும். அடுத்த முறை டீக் குவளையைப் பார்த்தால் மிகவும் கவனமாக அணுகும். இதிலிருந்து ஒரே தோற்றம் கொண்ட இரண்டு பொருட்களின் குணாதிசயங்கள் ஒன்றே போல் இருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை என்பதை அறிந்து கொள்கிறது. இந்த நேரத்தில் குழந்தை தனக்கான ஓர் அட்சர கணிதத்தை உருவாக்கிக் கொள்கிறது.

தையல் அட்டைகள் (stitching cards) மூலம் வடிவவியல் கற்கும் முறையை முதலாவதாக அறிமுகப் படுத்தியது மேரி பூல் தான். கோணங்கள் மற்றும் பரிமாணங்கள் அறிந்து கொள்ள மிகவும் உதவும் சாதனம் இது.மேலும் குழந்தைகளுக்கு பல விதமான வடிவவியல் வடிவங்கள் கொண்ட பொம்மைகள் விளையாட்டுச் சாதனமாகக் கொடுக்க வேண்டும் என்கிறார். குறிப்பாக பிளாடோனிக் தின்மங்கள் மற்றும் ஒரு வெட்டப்பட்ட கூம்பு கொடுப்பது சிறந்தது. இதனால் குழந்தைகளுக்கு இயற்கை,செயற்கை, அழகியல் மற்றும் கணித நோக்கில் உருவாக்கப்படும் உருவங்களுக்கிடையே இருக்கும் வித்தியாசங்களை கையும்,கண்களும் பழகிக் கொள்வதற்கு ஏதுவாக இருக்கும். இதெல்லாம் குழந்தைகளின் ஆழ் மனதில் ஒரு விதமான வடிவவியல் தோற்றத்தை ஏற்படுத்திக் கொடுக்கும். அது பிற்காலத்தில் அவர்களின் மேற்கல்வியில் ஈடுபாடுடன் படிக்க உதவும்.

இப்படி முதன் முதலில் குழந்தைகளின் சிந்தனைப் போக்கையும், அதற்கேற்றாற்போல் பல விதமான உத்திகளை சிபாரிசு செய்தும், அதை நடை முறைப் படுத்தவும் தன் வாழ்நாளை அர்ப்பணித்த மேரிக்கு வாழும் காலத்தில் சரியான அங்கீகாரம் கிடைக்க வில்லை என்பது மிகவும் வருந்தத் தக்க விஷயம். அக்கால அறிஞர்கள் அவரை ஓர் உளவியலாளராகப் பார்த்தார்களே தவிர கணிதக் கல்வியாளராகப் பார்க்கவில்லை. ஒருவேளை அவர் ஆணாக இருந்திருந்தாலோ, ஆணின் பெயரில் புத்தகங்கள் எழுதி இருந்தாலோ அவருக்கு கிடைக்க வேண்டிய அங்கீகாரம் கிடைத்திருக்கலாம். ஆனால் இருபதாம் நூற்றாண்டில் அவர் முன் வைத்த பல யோசனைகள் அமெரிக்காவிலும், இங்கிலாந்திலும் செயல் படுத்தப் பட்டன. அவர் தனது 84 ஆம் வயதில் 1916 ஆம் காலமானார்.

என் சிந்தனையில், “Mathematical imagination” என்ற பகுதியில் இவர் எழுதியுள்ளவைகள் நூறு வருடங்கள் ஆனாலும் இன்றும் பயனுள்ளவை என்பதில் சந்தேகமில்லை. இதை ஒவ்வொரு பெற்றோரும் கட்டாயம் படிக்க வேண்டும். நல்ல புத்தகங்களும், தனிப்பட்ட பயிற்சியும் (tuition) தன் குழந்தைக்குக் கொடுத்தல் போதுமானது என்று சில பெற்றோர்கள் நினைப்பது மிகவும் தவறு. அவர்கள் சிந்தனை ஓட்டம் தடைப் படாமல் அவர்கள் இயற்கையின் நியதிகளை அறிய தங்களால் ஆன முயற்சியைப் பெற்றோர்கள் தவறாமல் எடுக்க வேண்டும். சில ஆண்டுகளாக இடைநிலைப் பள்ளி (ஆறு முதல் எட்டாம் வகுப்பு ) மாணவர்களுக்கு கணக்கு மூலம் சிந்தனையை தூண்டும் விதத்தில் கணிதம் கற்பிக்கும் வாய்ப்பு பெற்றுள்ளேன். ஒரே கணக்கிற்கு வித விதமான வழிகளில் அணுகும் முறையை மாணவர்கள் கூறும் போது மகிழ்ச்சியாக இருக்கும். அவர்கள் சிந்தனைப் பாதையிலே சென்று தவறைச் சுட்டிக்காட்டுவதும், சரியாக இருந்தால் வெளிப்படுத்துவதும் ஒரு தனி அனுபவம். இதை முறையான கல்வி முறையில் பள்ளிகளில் செய்வது மிகவும் கடினம். இந்த முறையில் மாணவர்களுக்கு எந்த நஷ்டமும் இல்லை. இதைப் போன்ற வகுப்புக்கள் பள்ளிகளில் வாரத்திற்கு ஒரு நாள் விருப்பமுள்ள மாணவர்களுக்கு நடத்தலாம். இதை ஆசிரியர்கள் தான் செய்ய வேண்டுமென்றில்லை. கணிதம் கற்ற மற்றும் நடத்த விருப்பமுள்ள பெற்றோர்கள் முன்வந்து நடத்தலாம்.

மேரியின் வாழ்க்கையைப் படித்து அதனால் கவரப்பட்டு கணிதத்தையும், அறிவியலையும் இளம் தலைமுறையினருடன் பகிர்ந்து கொள்ள சில பெற்றோர்கள் முன் வந்தால் அது மேரிக்கும் இநதக் கட்டுரைக்கும் கிடைத்த மிகப் பெரிய வெற்றி ஆகும்.

மேற்கோள்கள்
1. The preparation of the child for science, Mary Everest Boole

2. Philosophy and Fun of Algebra, Mary Everest Boole

3. Letures on the logic of Arithmetic by Mary Everest Boole