எந்த ஓர் இயல் எண் N ணையும் பகா எண்களின் பெருக்குத் தொகையாக எழுத முடியும். உதாரணத்திற்கு
36 = 2X2X3X3 = 2 ^2 x3 ^3
உ.பொ.கா கண்டறிய வேண்டிய இரண்டு இயல் எண்களை x ,y எனக் கொள்வோம்.முதலில் x ,y என்ற எண்களை பகா எண்களின் பெருக்குத் தொகையாக எழுத வேண்டும். x=12மற்றும் y=45 எனக் கொண்டால்
இப்போது இரண்டு எண்களுக்கும் பொதுவாக இருக்கும் பகா எண்களின் கூடுதல் அடுக்குக் குறி உள்ள எண்ணை எழுதிக் கொள்ளவும். மேலும் இரண்டு எண்களில் பொதுவாக இல்லாத பகா எண்களில் கூடுதல் அடுக்குக் குறி இருக்கும் எண்களை எடுத்துக் கொள்ளவும்.மேலே உள்ள 12மற்றும் 45 என்ற இரண்டு எண்களின் பகா எண் காரணிகளில் 3 பொதுவாக உள்ளது. அதில் 3 ^3 அதிகபட்ச அடுக்க குறி இருக்கும் எண்.பொதுவாக இல்லாத பகா எண்களில் 2 ^2 மற்றும் 5 எடுத்துக் கொள்ள வேண்டும்.
இப்போது
எனவே 12 மற்றும் 45 இன் உ.பொ.கா. 180.இதே போன்று அ.பொ.ம. கண்டறியும் போது, முதலில் இரண்டு எண்களுக்கும் பொதுவாக இருக்கும் காரணிகளில் குறைந்த அடுக்க குறி இருக்கும் எண்களை எடுத்து அவைகளைப் பெருக்க வேண்டும்.மேலே உள்ள 12 மற்றும் 45 என்ற இரண்டு எண்களின் பகா எண் காரணிகளில் 3 பொதுவாக உள்ளது. ஆகவே 3 தான்இந்த இரண்டு எண்களின் அ.பொ.ம.
இரண்டு இயல் எண்கள் m ,n கொடுத்து அ.பொ.ம. மற்றும் உ.பொ.கா. கண்டறியச் சொன்னால், அ.பொ.ம தெரிந்த உடன்
என்ற சமன்பாடை வைத்து உ.பொ.கா. சுலபமாக அறிய முடியும்.
m,n எண்களின் அ.பொ.ம A என வைத்துக் கொள்வோம்.
எனவே
n=AXs
r,s க்கு பொதுவான காரணிகள் இருக்காது. அதாவது r மற்றும் s இன் அ.பொ.ம. =1.ஆகையால் AXrXs = உ.பொ.கா.
எனவே
உதாரணத்திற்கு
45=3X15
12X45=3X3X4X15=3(3X4X15)=3X180=(அ.பொ.ம.) X ( உ.பொ.கா.)
அ.பொ.ம = அதமப் பொது மடங்கு
உ.பொ.கா= உத்தமப் பொதுக் காரணி
கொஞ்சம் சிந்தனைக்கு:a,b,c என மூன்று இயல் எண்கள் கொடுக்கப்பட்டால், அந்த எண்களுக்கும் அவைகளின் அ.பொ.ம. மற்றும் உ.பொ.க. க்கும் இடையே உள்ள தொடர்பைக் கண்டறிய முடியுமா?
சார், நானும் என் மகனுக்கு இந்த ஆண்டு LCM, HCF பாடம் சொல்லிக் கொடுத்துக் கொண்டிருக்கிறேன், Khan Academy காணொளியெல்லாம் போட்டுக் காட்டினேன், ஆனால் எங்கும் இது போன்ற ஒரு தகவலைப் பார்க்கவேயில்லை.
பதிலளிநீக்குஉண்மையைச் சொன்னால், mXn=AXAXrXs=AX( உ.பொ.கா.) = (அ.பொ.ம.) X ( உ.பொ.கா.) என்ற இந்த எளிய சூத்திரத்தை புதுமணத் தம்பதியர் ஒவ்வொருவரும் பயில வேண்டும்.
எந்த ஒரு இரண்டு எண்களின் ஆக்கமும் (product)- அவற்றுக்குப் பொதுவாக உள்ள நிறைகளின் கீழ் எல்லை மற்றும் குறைகளின் உயர் எல்லையின் ஆக்கமே என்பது எவ்வளவு பெரிய உண்மை!
நாம் நம் நற்குணங்களில் உயர்ந்ததை நம் வாழ்க்கைத் துணையிடம் எதிர்பார்த்து ஏமாறுகிறோம், அதே போல் நம் அற்பத்தனங்களில் மிக சாமானியமானத்தை எடுத்துக் கொண்டு அடுத்தவர்களின் கீழ்மைகளோடு ஒப்பிட்டு "என்னைப் போல் உண்டா!" என்று சந்தோஷப்படுகிறோம்.
எப்படி முன் பின் தெரியாத இரு எண்கள் தம் நிறை குறைகளைத் தெரிந்து கொள்ளும்போது அவற்றுக்கிடையே நல்லுறவு ஏற்படுகிறதோ, அப்படியே தம்பதியரும் தத்தம் நிறை குறைகளைப் புரிந்து கொள்ளுவதே இல்லற வாழ்க்கையின் பண்பும் பயனும் அது! என்று தோன்றுகிறது.
இந்த சமன்பாட்டை ஒரு வாழ்த்து அட்டையில் அச்சிட்டுத் தரும் பழக்கம் பரவலாக வர வேண்டும்.
two is company, three is a crowd என்பதால், மூன்று இயல் எண்களுக்கு இடையில் இந்த மாதிரி என்ன உறவு இருக்கிறது என்று கண்டுபிடிக்க முடியாது என்று நினைக்கிறேன்.
நன்றி பாஸ்கர். மூன்று எண்களுக்கு இடையே ஓர் உறவு கண்டறிய முடியும்.
பதிலளிநீக்குaXbXC = (LCM(a,b,c)XHCF(a,b)XHCF(b,c)XHCF(c,a))/HCF(a,b,c)
a=12,b=45,c=50
LCM(12,45,50)=900
HCF(12.45)=3
HCF(45,50)=5
HCF(50,12)=2
HCF(12,45,50)=1
aXbXc=27000=900X3X5X2
இதையெல்லாம் எப்படி கண்டுபிடிக்கிறார்கள்? என்னால் இப்படிப்பட்ட உறவுமுறைகளை நினைத்தே பார்க்க முடியவில்லை. ஆச்சரியமாக இருக்கிறது. எண்கள் இப்படி இருக்கின்றன என்பது ஒருபுறம் என்றால், மனிதனால் இதையெல்லாம் தெரிந்து கொள்ள முடிவது எப்படி என்று மறு புறம்.
பதிலளிநீக்குவிளக்கத்துக்கு மிக்க நன்றி.