அ.பொ.ம (HCF). மற்றும் உ.பொ.கா(LCM).

இணைய நண்பர் ஒருவருடன் கூகுளில் உரையாடிய போது, அவர் மகனுக்கு உ.பொ.கா. சொல்லிக் கொடுத்துக் கொண்டிருபதகாகக் கூறினார். அதன் விளைவு இந்தப் பதிவு. அ.பொ.ம. மற்றும் உ.பொ.கா தெரியாதவர்கள் யாரும் இருக்க முடியாது. படித்ததை நினைவு கொள்ள ஒரு முயற்சி.

எந்த ஓர் இயல் எண் N ணையும் பகா எண்களின் பெருக்குத் தொகையாக எழுத முடியும். உதாரணத்திற்கு

60 = 2x2X3X5=2^2X3X5 .
36 = 2X2X3X3 = 2 ^2 x3 ^3

உ.பொ.கா கண்டறிய வேண்டிய இரண்டு இயல் எண்களை x ,y எனக் கொள்வோம்.முதலில் x ,y என்ற எண்களை பகா எண்களின் பெருக்குத் தொகையாக எழுத வேண்டும். x=12மற்றும் y=45 எனக் கொண்டால்

x=2X2X3=2^2X3, y=45=3^3X5.

இப்போது இரண்டு எண்களுக்கும் பொதுவாக இருக்கும் பகா எண்களின் கூடுதல் அடுக்குக் குறி உள்ள எண்ணை எழுதிக் கொள்ளவும். மேலும் இரண்டு எண்களில் பொதுவாக இல்லாத பகா எண்களில் கூடுதல் அடுக்குக் குறி இருக்கும் எண்களை எடுத்துக் கொள்ளவும்.மேலே உள்ள 12மற்றும் 45 என்ற இரண்டு எண்களின் பகா எண் காரணிகளில் 3 பொதுவாக உள்ளது. அதில் 3 ^3 அதிகபட்ச அடுக்க குறி இருக்கும் எண்.பொதுவாக இல்லாத பகா எண்களில் 2 ^2 மற்றும் 5 எடுத்துக் கொள்ள வேண்டும்.
இப்போது
3 ^3 X2 ^2 x5=180.

எனவே 12 மற்றும் 45 இன் உ.பொ.கா. 180.இதே போன்று அ.பொ.ம. கண்டறியும் போது, முதலில் இரண்டு எண்களுக்கும் பொதுவாக இருக்கும் காரணிகளில் குறைந்த அடுக்க குறி இருக்கும் எண்களை எடுத்து அவைகளைப் பெருக்க வேண்டும்.மேலே உள்ள 12 மற்றும் 45 என்ற இரண்டு எண்களின் பகா எண் காரணிகளில் 3 பொதுவாக உள்ளது. ஆகவே 3 தான்இந்த இரண்டு எண்களின் அ.பொ.ம.

இரண்டு இயல் எண்கள் m ,n கொடுத்து அ.பொ.ம. மற்றும் உ.பொ.கா. கண்டறியச் சொன்னால், அ.பொ.ம தெரிந்த உடன்

(அ.பொ.ம.) X ( உ.பொ.கா.) = m X n

என்ற சமன்பாடை வைத்து உ.பொ.கா. சுலபமாக அறிய முடியும்.

m,n எண்களின் அ.பொ.ம A என வைத்துக் கொள்வோம்.
எனவே
m=AXr
n=AXs

r,s க்கு பொதுவான காரணிகள் இருக்காது. அதாவது r மற்றும் s இன் அ.பொ.ம. =1.ஆகையால் AXrXs = உ.பொ.கா.
எனவே

mXn=AXAXrXs=AX( உ.பொ.கா.) = (அ.பொ.ம.) X ( உ.பொ.கா.)

உதாரணத்திற்கு

12=3X4
45=3X15
12X45=3X3X4X15=3(3X4X15)=3X180=(அ.பொ.ம.) X ( உ.பொ.கா.)

அ.பொ.ம = அதமப் பொது மடங்கு
உ.பொ.கா= உத்தமப் பொதுக் காரணி

கொஞ்சம் சிந்தனைக்கு:a,b,c என மூன்று இயல் எண்கள் கொடுக்கப்பட்டால், அந்த எண்களுக்கும் அவைகளின் அ.பொ.ம. மற்றும் உ.பொ.க. க்கும் இடையே உள்ள தொடர்பைக் கண்டறிய முடியுமா?

இயல் எண்களின் பிரிவினைகள், இராமானுஜன் மற்றும் கென் ஓனோ

சமீபத்தில் வெளியான சொல்வனம் இதழில் இடம்பெற்ற என் கட்டுரை. இதை வெளியிட்ட சொல்வனம் ஆசிரியருக்கு மிக்க நன்றிகள். கொஞ்சம் பொறுமையாக படிக்கச் வேண்டிய கட்டுரை. கணிதத்தில் ஆர்வம் இருந்தால் கட்டாயம் அனுபவிக்க முடியும்.

“எல்லா அறிவியல் பிரிவுகளுக்கும் கணிதமே மகாராணி. ஆனால் எண்கணிதமே கணிதத்தின் மகாராணி” என்று புகழ் பெற்ற கணித மேதை கௌஸ் (Gauss) கூறியுள்ளார். அப்படிப்பட்ட எண் கணிதத்தில் இன்றைய ஆராய்ச்சியாளர்களுக்கு முன்னோடியாகத் திகழ்ந்தவர் இந்திய கணித மேதை இராமானுஜன் என்றால் மிகையாகாது. “ஒவ்வொரு நேர்மறையான முழு எண்ணும் (positive integer) இராமானுஜனின் தனிப்பட்ட நண்பர்கள்” என்ற டி.ஜெ. லிட்டில்வூட் (Littlewood) என்ற கணிதவியலாளரின் கூற்றுக்கிணங்க 1919 ஆம் ஆண்டு இராமானுஜன் இயல் எண்களைப் பற்றி எழுதி வைத்துச் சென்ற குறிப்பின் வீச்சும், பொருளும் அறிய ஏறக்குறைய 90 ஆண்டுகள் காத்திருக்க வேண்டியதாக இருந்தது.

அதனைக் கண்டறிந்தவர் அமெரிக்காவிலுள்ள எமோரி பல்கழகத்தைச் சேர்ந்த எண்கணித வித்தகர் கென் ஓனோ (Ken Ono). கென் ஓனோவின் தந்தை தகிஷோ ஒனோவும் ஓர் எண் கணித ஆராய்ச்சியாளர். இராமானுஜன் நினைவாக அவருக்கு நெஞ்சளவு உள்ள சிலை செய்வதற்கு டாலர் 25 நன்கொடையாகக் கொடுத்தார். அதற்கு நன்றி தெரிவித்து இராமானுஜனின் மனைவி ஜானகி அம்மாள் எழுதிய கடிதத்தில் இருந்த இராமானுஜனின் படத்தைப் பார்த்து இராமனுஜனைப் பற்றி அறிய ஆவல் கொண்டார் கென் ஓனோ. இராமனுஜனைப் பற்றி கிடைக்கப் பெற்ற தகவல்கள் முழுதும் படித்து அதனால் ஈர்க்கப்பட்டு, தன் தொழிலாக எண்கணித ஆராய்ச்சியைத் தேர்ந்தெடுத்தார். இன்று கணித வரலாற்றில் நீங்காத இடமும், என்றும் மறையாத புகழும் பெற்று ஜொலிக்கிறார்.

ஒரு நாள் கிரிக்கெட் போட்டியில் 4 ஓட்டங்கள் எடுத்தால் வெற்றி என்ற நிலையிலுள்ள அணி சரியாக 4 ஓட்டங்களை எடுத்து வெற்றி பெற்றால் அந்த ஓட்டங்களை எப்படியெல்லாம் பெற முடியும் என்று பார்ப்போம். ஒரே பந்தில் 4 ஓட்டங்கள் அல்லது மூன்று ஓட்டங்கள் மற்றும் ஒரு ஓட்டம் (3+1), அல்லது இரண்டு, இரண்டு ஓட்டங்கள் (2+2) அல்லது இரண்டு ஓட்டங்கள் மற்றும் இரண்டு ஒரு ஓட்டங்கள் (2+1+1) இல்லையெனில் நான்கும் ஒரு ஓட்டங்கள் (1+1+1+1) என ஐந்து விதமாக இந்த ஓட்டங்களை எடுத்து வெற்றி பெறமுடியும். அதாவது 4 என்ற இயல் எண்ணை மற்ற இயல் எண்களின் கூட்டுத் தொகையாக 5 வெவ்வேறு விதமாக எழுத முடிகிறது(எந்த வரிசையில் கூட்டுத் தொகையை எழுதுகிறோம் என்பதைக் கணக்கில் கொள்ள வேண்டியதில்லை). இதைத்தான் கணிதத்தில் பிரிவினைகள்(partitions) என்று கூறுகிறார்கள்.

கட்டுரையை தொடர்ந்து சொல்வனத்தில் படிக்கவும்.

பார்த்தது ...கேட்டது...ரசித்தது - 2

சென்ற வார இறுதியில் நடை பெற்ற விம்பிள்டன் போட்டியில் ஜோகோவிச் வெற்றி பெற்றது மகிழ்ச்சியான சம்பவம். அரை இறுதியில் சாங்காவை வென்ற பொழுதே
நடாலுக்கு இறுதி ஆட்டத்தில் வலுவான எதிர்ப்பு இருக்கும் என்று எதிர் பார்க்கப்பட்டது. அந்த எண்ணம் வீணாகவில்லை.ஒருவரே அந்தப் பட்டத்தை பல முறை வெல்வது சிறிது அலுப்பைத் தான் தருகிறது. செர்பியா நாட்டு மக்களுக்கு இது ஒரு பெரிய மகிழ்ச்சியை கொடுக்கும் என்பதில் சந்தேகமில்லை.இந்த நேரத்தில் பெடரரைத் தோற்கடித்த சாங்காவைப் பாராட்டாமல் இருக்க முடியாது. இம்முறை விம்பிள்டனின் மிகச் சிறந்த ஆட்டம் பெடரர்-சாங்கா இடையே நடந்த அரைஇறுதி போட்டி என்று உறுதியாகக் கூற முடியும்.
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
மீண்டும் தமிழகத்தில் இரண்டு மாதத்திற்குமுன்பு "அம்மா" ஆட்சி மலர்ந்ததிலிருந்து சமச்சீர் கல்வி பிரச்சனையைத் தவிர ஆட்சி நன்றாகப் போகிறது என்று தகவல்கள் கூறுகின்றன. சிறிது காலம் செல்லட்டும் பார்க்கலாம்.


கருணாநிதி தயாநிதி மாறன் திகாருக்குச் சென்றால் வருந்துவரா இல்லை மகிழ்ச்சி அடைவரா?பாராட்டும், சினிமாக் கொண்டாட்டமும் இல்லாமல் கருணாநிதிக்கு எப்படித் தான் பொழுது போகிறதோ?கருணாநிதி தன் மகளை நினைத்து உருகும் போது, அவர் அண்ணாமலைப் பல்கலைக் கழகத்தில் டாக்டர் பட்டம் வாங்கிய சமயம் உதய குமார் என்ற மாணவனின் மரணம் மற்றும் உதயகுமாரின் பெற்றோர்கள் பட்ட கஷ்டம் நினைவிற்கு வந்துத் தொலைகிறது.
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx



சில சமயங்களில் இளம் கர்நாடக இசைக் கலைஞர்கள் கச்சேரி செய்யும் போது எடுத்துக் கொள்ளும் சிரத்தையும், பாடும் தரமும் அதிசியக்க வைக்கிறது. பிரபல இரட்டை கர்நாடக இசைக் கலைஞர்கள் ரஞ்ஜனி,காயத்திரி அவர்களின் மாணவி வாணி ராமமூர்த்தி அவர்களின் அப்படிப்பட்ட ஓர் இசை நிகழ்ச்சியை சென்ற வாரம் கேட்க முடிந்தது. அ(ஹ)ம்சமான நாதமாக "பண்டு ரீதி கொலுவு" என்ற தியாகராஜ கீர்த்தனையில் விறுவிறுப்பாக கச்சேரி தொடங்கியது. அடுத்ததாக தீட்சிதரின் "சேதச்ஸ்ரீ பாலக்ரிஷ்ணம்" என்ற த்வஜாவந்தி ராகத்தில் அமைந்த பாட்டை சௌக காலத்தில் மிக அற்புதமாக பாடினார். குளத்து நீரை வருடிச் சென்ற தென்றல் போன்ற சுகமான அனுபவம்.முக்கியமான கீர்த்தனையாக சாவேரியில் அமைந்த ஷ்யாமா சாஸ்திரிகளின் "துருசுகா" விரிவாகப் பாடி ரசிகர்களின் உள்ளத்தை கொள்ளை கொண்டார்.

வாணியின் சகோதரர் அருண் ராமமூர்த்தி வயலின் மற்றும் கிரண் மிருதங்கம். அருண் வாணிக்கு ஈடு கொடுத்து மிக நன்றாக வசித்தார். சாவேரி ஆலாபனை இவரின் உச்சம் என்று கூறலாம்.கிரணின் வாசிப்பு கச்சேரிக்கு நல்ல வலு சேர்த்தது. குறிப்பாக த்வஜாவந்தி கீர்த்தனைக்கு அவர் வாசித்தது எனக்கு மிகவும் பிடித்திருந்தது.இது வீட்டில்(House concert) நடை பெற்ற நிகழ்ச்சி. இதற்கு அழைப்பு விடுத்த டாக்டர்கள் ராஜாராமன் மற்றும் கல்யாண் தம்பதியர்களுக்கு கட்டாயம் நன்றி சொல்ல வேண்டும். வாணி மற்றும் அருணின் சகோதரர் சிவாவும் ஒரு சிறந்த வயலின் இசைக் கலைஞர் என்று கேள்வியுற்றேன். இவர்களும் கிரணும் மேலும் வளர்ந்து பெரிய, புகழ்பெற்ற கர்நாடக இசைக் கலைஞர்களாக வர வாழ்த்துக்கள்.
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
நகுலன் கவிதைகள் எத்தனை முறை படித்தாலும் சலிக்காத ஒன்று. சில பிடித்த கவிதைகள்.



மிகவும் நாணயமான மனிதர்
நாணயம் என்றால் அவருக்கு உயிர்!

என்னைப் பார்க்க வந்தவர்
தன்னைப் பார்
எனச் சொல்லிச் சென்றார்!

வேளைக்குத் தகுந்த
வேஷம்
ஆளுக்கேற்ற
அபிநயம்
இதுதான்
வாழ்வென்றால்
சாவதே சாலச் சிறப்பு!

எனக்கு
யாருமில்லை
நான்
கூட!

இருப்பதற்கென்றுதான்
வருகிறோம்.
இல்லாமல்
போகிறோம்!

ஆர்ப்பரிக்கும் கடல்
அதன் அடித்தளம்
மெளனம்; மகா மெளனம்!

அம்மாவிற்கு
எண்பது வயதாகிவிட்டது
கண் சரியாகத்தெரியவில்லை
ஆனால் அவன் சென்றால்
இன்னும் அருகில் வந்து
உட்காரக் கூப்பிடுகிறாள்
அருகில் சென்று உட்காருகிறான்
அவன் முகத்தைக் கையை
கழுத்தைத் தடவித்
தடவி அவன் உருக்கண்டு
உவகையுறுகிறாள்
மறுபடியும் அந்தக்குரல்
ஒலிக்கிறது
நண்பா அவள்
`
எந்த சுவரில்
எந்தச் சித்திரத்தைத்
தேடுகிறாள் ?`