2011 ஒரு பார்வை

மேலும் ஓராண்டு முடிகிறது. உலகத்தில் பல மாறுதல்கள். பின்லேடன், கடாபி  மற்றும் கிம் ஜான் II கதைகள் இந்த ஆண்டில்  முடிவுக்கு வந்தது ஒரு தற்செயலான நிகழ்வு?

ஒபாமா மீண்டும் வெற்றி பெற வாய்ப்பிருப்பதாக பட்சி சொல்கிறது. எதிர்கட்சி வேட்பாளர்களின் வலுவின்மை முக்கிய காரணியாகத் தெரிகிறது.

இந்தியாவைப் பொறுத்தவரை மன்மோகன் சிங்கைப் பற்றி "நாயும் பிழைக்கும் இந்தப் பிழைப்பு" என முடித்துக் கொள்ளலாம்.

அன்னா ஹசாரே நடவடிக்கைகள் பற்றி எனக்கு பெரிய நம்பிக்கை இருக்கவில்லை. அதை நோக்கித் தான் அவர் செயல்பாடுகள் சென்று கொண்டிருக்கின்றன.

சுப்பிரமணிய சுவாமி தான் ஒரு விதத்தில் ஸ்பெக்ட்ரம் ஊழல் அம்பலத்தில்  இந்த ஆண்டின் ஹீரோ என்றால் மிகையாகாது. தப்பித்துக் கொண்டே வந்த கருணாநிதி குடும்பத்தின் ஒரு நபரை சிறையில் அடைக்க முடிந்தது எதிர்பாராதது. சிதம்பரம் கதி அடுத்த ஆண்டு தெரியும்.

தமிழ் நாட்டில் கருணாநிதி தோல்வி நல்ல விஷயம் தான். ஆனால் அதன் பலன் மற்றும் ஜெயாவின் நடவடிக்கைகள்  பொறுத்திருந்து பார்க்க வேண்டியது.

கணிதத்தில் கென் ஓனோ  கண்டறிந்த பிரிவினைகள் (Partitions) குறித்த உண்மைகள் இந்த ஆண்டின் ஒரு பெரிய மைல் கல்லாகும். இதைப் பற்றிய என் கட்டுரையை இங்கே படிக்கலாம்.

இந்த ஆண்டிற்கான இயற்பியல் நோபெல் பரிசு எனக்கு மிகவும் உவப்பான விஷயத்திற்கு கொடுக்கப் பட்டுள்ளது. அதை தமிழில் மிக அழகான கட்டுரையாக அருண் நரசிம்மன் அவர்கள் எழுதியுள்ளதை இங்கு படிக்கலாம்.

எகிப்து, துனிசியா மற்றும் சிரியாவில் நடந்த புரட்சியில் இன்றுள்ள தொழில் நுட்பமான டிவிட்டர், முகப் புத்தகம் (Face book) மற்றும்  இணையம்   ஆற்றிய பங்கு மிக முக்கியமானது. மகிழ்ச்சியளிக்கக் கூடியது.

உலகக் கோப்பை இந்திய வெற்றி சந்தோஷமான நிகழ்ச்சி. அதை விட ராகுல் டிராவிட் இந்த ஆண்டு முழுவதும் டெஸ்ட் தொடர்களில் விளையாடியது தான் எனக்கு மிகவும் பிடித்த நிகழ்வு.

சங்கீதத்தைப் பொறுத்த வரை அபிஷேக் ரகுராம் என்ற இளைஞரின் பாடும் விதம் மிகவும் பிடித்திருக்கிறது. எதிர் காலத்தில் கர்நாடக சங்கீத உலகில் இவர் ஒரு தவிர்க்க முடியாத சக்தியாக விளங்குவார் என்பதில் சந்தேகமில்லை. அவருக்கு மனமார வாழ்த்துக்கள்.

இந்த வருட தமிழ்  சினிமா  இசையோ, படங்களோ நான் பார்த்த, கேட்ட வரையில் பெரிய அளவு பாதிப்பு ஏற்படுத்தவில்லை.

என் சொந்த அனுபவத்தைப் பொறுத்த வரையில் பெரிய சாதனைகள் எதுவும் இல்லை. பெரிய அளவில் இணையத்தில் எழுதவும் முடியவில்லை. சரக்கு இல்லை என்றும் கூறலாம். படித்த சில புத்தகங்களைப் பற்றி எழுதலாம் என்றால் அதுவும் முடியவில்லை. சொல்வனம் ந. பாஸ்கர் அவர்களின் உதவியாலும், உற்சாகத்தாலும் சொல்வனம் இணைய இதழில் நான்கு கட்டுரைகள் எழுத வாய்ப்புக் கிடைத்தது. பாஸ்கருக்கு என் நன்றிகள் பல.

பனிரெண்டு வருடம் போர்ட் (Ford) நிறுவனத்தில் வேலை பார்த்து விட்டு வெளியேறும் நேரம் வந்த போது மிகவும் வலித்தது. எத்தனை நண்பர்கள். விதவிதமான அனுபவங்கள். அந்த நிறுவனத்திற்கும், அங்கு என்னுடன் பணியாற்றியவர்களுக்கும்  என்றும் கடமைப் பட்டுள்ளேன்.

இந்த சமயத்தில் என் பதிவுகளை தொடர்ந்து படித்து ஆதரவு தந்து வரும் முகம் தெரியாத என் நண்பர்கள் அனைவருக்கும் மிக்க நன்றி.

எல்லோருக்கும் 2012 ஆம் ஆண்டு சிறப்பாக அமைய என் புத்தாண்டு வாழ்த்துக்கள்.

சஞ்சய் சுப்ரமணியனின் சுகமான சங்கீதம்

 ஜெயா தொலைக் காட்சியில் மார்கழி மகோத்சவம் என்ற கர்நாடக சங்கீத நிகழ்ச்சி ஒளிபரப்பாகிறது. அதை குடும்பத்துடன் வீட்டிலிருந்து கேட்டு மகிழ்வது ஒரு சுகம் தான். நேற்று சஞ்சயின் கச்சேரி. ஹரிகேசவநல்லூர் முத்தையா பாகவதர் பாடல்களைப் பாடினார். அனைத்தும் தமிழ் பாடல்கள். முக்கியமாக ஒரு சிறிய தாள் கூட பார்க்காமல் பாடியது மிகவும் பிடித்திருந்தது. சிலர் ஜெயமோகனின் விஷ்ணுபுரம் நாவல் அளவில் பெரிய புத்தகத்தை வைத்துக்  கொண்டு பாடியது பற்றி என்ன கூறுவது. யாரோ ஒரு புண்ணியவான் இதனை யு டூபில் தரமேற்றி இருக்கிறார். "உன்னை நினைந்து" என்ற ராகமாலிகை பாடல் பாடிய விதம் குறித்து எழுதுவதை விட நீங்களே  கேட்டு ரசியுங்கள்.

இராமானுஜன் பிறந்த நாள் மேஜிக் சதுரம்

கணித மேதை இராமானுஜனின் பிறந்த நாள் டிசம்பர் 22 . அவர் பிறந்த வருடம் 1887
அவரின் கணித சாதனைகள் குறித்து பல கட்டுரைகள் எழுதப்பட்டன. ஆனால் அவர் கணிதம் பற்றி சாதாரண வாசகனுக்கு எடுத்துச் சொல்வது போல் எழுதுவது கடினமாக உள்ளது. முடிந்த வரை எழுதி என் தளத்தில் பதிவு செய்ய முயல்கிறேன்.இராமானுஜனின் இளம் வயதில் "மேஜிக் சதுரம்" பற்றி அவருக்கு ஈடுபாடு இருந்தது என்பது தெரிந்ததே.


இந்த பதிவில் P . K . ஸ்ரீநிவாஸ் அவர்களின் முறையை உபயோகித்து இந்த வருட இராமானுஜனின் பிறந்த நாளை ஒரு மேஜிக்  சதுரமாக இங்கு பார்ப்போம். இந்த சதுரத்தில் எந்த ரோ மற்றும் காலத்தை கூட்டினால் 65  வரும். மேலும் மூலை விட்டத்தில் உள்ள எண்களைக் கூட்டினாலும் 65 வரும். 22-12-2011 இராமானுஜனின் இந்த வருட பிறந்த நாள். இதைப் போன்று உங்கள் பிறந்த நாளையும் மேஜிக் சதுரமாக எழுத முடியும். முயன்று பாருங்கள். இதற்கு தேவை கணிதத்திற்கு சேவை செய்த ஆசிரியர் P . K . ஸ்ரீனிவாசனின் மேஜிக் சதுரம் உருவாக்கும்  முறை. அதை இங்கு கண்டறியலாம்.

ஒரே எண்ணை பல முறை பயன்படுத்தினால்  இதைப் போன்ற மேஜிக் சதுரங்கள் உருவாக்குவது சுலபம். வேறு வேறு எண்களை வைத்து இதை உருவாக்குவது கடினம்.

22	12	20	11
0	18	23	24
28	16	8	13
15	19	14	17

அலீசியா பூல் ஸ்டாட் மற்றும் நான்காம் பரிமாணம்

சமீபத்திய சொல்வன இணைய இதழில் வெளிவந்த என் கட்டுரை...

மனித சமுதாய முன்னேற்றத்திற்கு இன்றியமையாத தேவை மாறுபட்ட சிந்தனை. இன்று மனித சமுதாயம் பயன்படுத்தும் அனைத்து தொழில்நுட்ப முன்னேற்றத்திற்கும் அடிப்படையாக உள்ளது கணிதம் என்றால் மிகையாகாது. வெறெந்தத் துறையையும் போலவே கணிதத்திலும் மாறுபட்ட சிந்தனையாளர்கள் அரிதானவர்கள், ஆனால் கணித வரலாற்றில் எண்ணிக்கையில் இவர்கள் நிறையவே உள்ளனர். முறைப்படியான கல்வி வழிதான் சிந்தனையாளர்கள் எழுவர் என்று நாம் இயல்பாக இன்று கருதுகிறோம், ஆனால் கணிதத்தில் மாறுபட்ட சிந்தனையாளர்களில் முறையான கல்விப் பாதைக்குப் புறத்தே இருந்து வந்தவர்கள் பலர் உண்டு. அவர்களில் ஒருவர் பற்றி இங்கு பார்ப்போம்.




கணிதத்தில் வடிவியல் முக்கியப் பங்களிக்கிறது. இரண்டாயிரம் ஆண்டுகளுக்கு முன் யூக்ளிட் எழுதிய “Elements” என்ற புத்தகம் தான் வடிவியல் சிந்தனையின் முன்னோடியாக 19 ஆம் நூற்றாண்டு வரை இருந்து வந்தது. அதனால் முப்பரிமாணம் வரையிலான தள வடிவியல்தான் (plane geometry) 19 ஆம் நூற்றாண்டு வரை அதிக பட்சமாக மனித சமுதாயம் அறிந்ததாக இருந்தது. ஆனால் மனித சிந்தனையை அடுத்த கட்டத்தை நோக்கி நகர்த்தியவர், 19 ஆம் நூற்றாண்டின் மிகப் புகழ் பெற்ற சிந்தனையாளரும், கணித மேதையுமான ரீமான் (Reimann). 1854 ஆம் ஆண்டு ஜூன் 10 ஆம் நாள், இரண்டாம் பரிமாணம், மூன்றாம் பரிமாணம் போல் n - வது பரிமாணம் (nth dimension ) என்ற கருத்தாக்கத்தை ஓர் முக்கியமான உரையில் முன் வைத்தார். இதில் முக்கியமாக நான்காம் பரிமாணம் பற்றிய புரிதல்தான் ஐன்ஷ்டைனின் (Einstein) ஆராய்ச்சியில் பெரிதும் உதவியது.



முறையான கல்வியின் மூலம் நாம் பெறுவது அறிவு. ஆனால் முறையான கல்வி கற்கும் வாய்ப்பில்லாமல் சுய சிந்தனையின் மூலம் கண்டறியும் உண்மைகள் மனித சமுதாயத்தை முன்னகர்த்துகின்றன. அந்த வகையில் நான்காம் பரிமாணத்தைப் பற்றி இயற்கையிலேயே “பார்க்கும்” திறமையுடன் ஜனித்தவர் தான் அலீசியா பூல் ஸ்டாட்(Alicia Boole Stott) . இவரது இந்தத் திறமைக்கு இவரின் தாய் மேரி பூல் (சென்ற கட்டுரையில் இவரைப் பற்றிப் பார்த்தோம்) கற்பிக்கும் முறை ஒரு காரணமாக இருக்கலாம். இந்தக் கட்டுரையில் அலீசியாவின் சுருக்கமான வாழ்க்கை வரலாற்றையும், அவரின் கணிதப் பங்களிப்பையும் பார்ப்போம். இதற்கு தேவையாக நான்காம் பரிமாணம் பற்றிய சிறிய அறிமுகமும், யுக்ளிடின் மூன்றாம் பரிமாண திண்மங்கள் குறித்த குறிப்பும் இங்கு இடம் பெறும்.



மேரி பூல் மற்றும் ஜார்ஜ் பூலின் நான்காவது குழந்தைதான் அலீசியா. இவருக்கு நான்கு வயதிருக்கும் போதே இவர் தந்தை இறந்து போனார். அதனால் இவருக்கு ஜார்ஜ் பூல் என்ற கணித மேதையிடம் இருந்து கற்கும் வாய்ப்பு கிடைக்கவில்லை. ஆனால் இவரின் தாய் மேரியிடம் இருந்து அடிப்படைக் கணிதம் கற்றார். அந்த கால கட்டத்தில் இங்கிலாந்தில் பெண்களுக்கு கணிதம் மற்றும் அறிவியல் படிக்கும் வாய்ப்பு இல்லாததால் இவருக்கு கணிதத்தில் பெரிய அளவு படிக்க முடியாமல் போனது. அலீசியா படித்த அதிகபட்ச கணிதமென்றால் யூக்ளிடின் “Elements” முதல் இரண்டு பாகம் தான். சிறு வயது முதலே அலீசியா நான்காவது பரிமாணத்தைக் கற்பனையில் காணும் திறமை பெற்றிருந்தார். சிறு வயதில் அலீசியாவுக்கு ஹோவர்ட் ஹிண்டன் (Howard Hinton) என்ற பள்ளி ஆசிரியரின் அறிமுகம் கிடைத்தது. ஹிண்டனுக்கு நான்காவது பரிமாணத்தின் மீது ஆர்வமிருந்தது. ஹிண்டனின் கற்பனையால் கவரப்பட்ட அலீசியா நான்காவது பரிமாணத்தைப் பற்றிய தன் ஆர்வத்தை வளர்த்துக் கொண்டார்..

தொடர்ந்து கட்டுரையை சொல்வனத்தில் இங்கு படிக்கலாம்.

கந்த ஷஷ்டி அனுபவங்கள்

நெல்லையில் வாழ்ந்தால் திருச்செந்தூர் முருகன் கந்த ஷஷ்டி விழா ஒரு சமுதாய நிகழ்வாக நம்முடன் உறவாட முடியாமல் இருக்க முடியாது. தீபாவளி முடிந்த கையுடன் ஷஷ்டித் திருவிழா தொடங்கி விடும். முருகன் மீது தீராத அன்பும், நம்பிக்கையும் கொண்ட பெரும் திரளான மக்கள் தீபாவளி முடிந்த வளர் பிறையில் முதல் ஆறு நாட்கள் விரதமிருந்து அந்த செந்திலாண்டவனை மனதார ஆராதிக்கத் தொடங்கி விடுவார்கள்.


நானும் என் பங்குக்கு கல்லூரி நாட்களில் ஷஷ்டி விரதமிருந்த நாட்கள் நினைவிற்கு வருகிறது. ஷஷ்டி அன்று திருச்செந்தூர் சென்று சூர சம்ஹாரம் பார்த்து வந்தது ஒரு நீங்காத நினைவு. பாளையங்கோட்டையில் பஸ் பிடித்து திருச்செந்தூர் செல்ல முடியாது. ஏனெனில் வரும் பேருந்துகள் அனைத்தும் நிரம்பி வழியும். ஓட்டுனர் அங்கு ஒரு மனித ஜென்மம் இருப்பதாகக் கூட நினைக்க மாட்டார். அதனால் ஜங்ஷன் (பழைய பேருந்து நிலையம்) சென்று, அடித்துப் பிடித்து கிடைக்கும் பேருந்தில் ஏறி, திருச்செந்தூரில் இறங்கினால் சாரை, சாரையாக மக்கள் கூட்டம் கடற்கரையை நோக்கிச் செல்வதைக் காணலாம். கடற்கரையில் மணலைப் பார்க்க முடியாது. மக்கள் தலைகளைத் தான் பார்க்க முடியும்.

முதலில் யானை முகம் மற்றும் சிங்க முகம் சம்ஹாரம் முடிந்த பிறகு, சூரனின் முக சம்ஹாரம் நடக்கும். பிறகு மரமாக சேவல்கள் அமர்ந்திருக்க வலம் வர, அந்த மரத்தைச் சாயத்த பிறகு சேவல்கள் பறப்பதுடன் சூர சம்ஹார நிகழ்ச்சி முடியும் என நினைவு. உடனே வேகமாக ஓடி, நெல்லை செல்லும் பேருந்தைப் பிடித்து வீடு வந்தால், அங்கு அம்மா வாசலில் காத்திருக்கும் தருணம் இன்றும் கண் முன் நிற்கிறது. குளித்து விட்டு வந்தால், அம்மா சுடச், சுட கொடுக்கும் தோசையின் சுவைக்கு ஈடு ஏதேனும் உண்டா அதுவும் நாள் முழுக்க எதுவும் உண்ணாத பட்சத்தில்?

எல்லோரும் கைவிடும் போதும், மானசீகமாக கூடவே இருக்கும் அந்தக் கந்தனை மறக்க முடியுமா? தமிழ் நாட்டில் இருக்கும் முருகத் தலங்களை பார்த்தாகி விட்டது. ஒரு முறை கதிர்காமம் செல்ல விருப்பம். நிறைவேறுமா?

பார்த்தது, கேட்டது, ரசித்தது -3

முன்பெல்லாம் தொலைக்காட்சியில் சில மாதங்கள் ஆன சினிமா தான் காட்டிக் கொண்டிருந்தார்கள். இப்போது சில நாட்களே ஆன படங்கள் காட்டத் தொடங்கியுள்ளார்கள். அதிலிருந்தே அந்தப் படங்களின்  வெற்றியைத் தெரிந்து கொள்ளலாம். பயணம் என்ற சினிமாவை டிவியாரில் பதிவு செய்து பார்த்தேன். எப்போதும் போல் பிரகாஷ் ராஜ படத்தில் இடம் பெறும் அதே நடிகர்கள்.நாகார்ஜுன் மட்டும் புதிது. படம் பாட்டு  கீட்டு என்றெல்லாம் இல்லை. விறுவிறுவென்று இரண்டு மணி நேரம் ஆங்கிலப் படம் போல ஓடியது. சினமாவில் மாஸ் ஹீரோவாக இருக்கும் பிருதிவிராஜ்  கடத்தப் பட்ட விமானத்தில் மாட்டிக் கொள்ள, அவர் சினிமாவில் பேசிய பன்ச் வசனங்களை வைத்து அவரைக் கலாய்ப்பது மிக அருமை. ஒரு முறை பார்க்கலாம். மசாலா படங்களுக்கு இது எவ்வளவோ தேவலாம். இது போன்று ஒரு படம் எடுக்க நிச்சியம் தைரியம் வேண்டும். அதற்காக பிரகாஷ் ராஜை பாராட்டலாம்.

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

கே.பாலச்சந்தருக்கு தாதா சாஹேப் பால்கே விருது கிடைத்தது ஒரு நல்ல நிகழ்வு. அவருடைய பல படங்கள் பார்த்திருக்கிறேன். ஒவ்வொரு படத்திலும் படம் முழுவதும் நன்றாக இல்லை என்றாலும் சில காட்சிகள் அற்புதமாக இருக்கும். குறிப்பாக "அவர்கள்" படத்தில் கமலும், சுஜாதாவும் நெருங்கி வரும் போது, ரஜினி தன் முன்னால் மனைவியான சுஜாதாவிடம் அன்பு காட்டுவது போல் நடித்து ஏமாற்றுவது, தப்பு தாளங்கள் படத்தில், விலை மாதுவான  சரிதாவை ரஜினி காதலிக்க தொடங்கியவுடன், ரஜினி சரிதவை சந்தேகப்படுவது என்று எழுதிக் கொண்டே போகலாம். பாலச்சந்தரின் பல பேட்டிகள் வந்திருந்தாலும், தமிழ் மகன் அவர்களின் இந்த பேட்டி நன்றாக இருந்தது. படித்துப் பாருங்கள்.

http://www.tamilmagan.in/2011/10/blog-post.html

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

கடந்த இருபது வருடத்தில் பொறியியல் அல்லது கணணியியல் படித்தவர்கள் கட்டாயம் "C" Language படிக்காமல் இருந்திருக்க முடியாது. ஓர் அருமையான கணணி மொழி. அதை படித்தது ஒரு சுவையான அனுபவம். அதனை கற்பிப்பது மேலும் சுவை சேர்க்கும் அனுபவம்.அதை உருவாக்கிய டென்னிஸ் ரிட்சி (Dennis Ritchie)சமீபத்தில் காலமானார். இவர் Bill Gates அல்லது Steve Jobs போன்று பெரிய அளவில் பெயரும். புகழும், பணமும்  பெறவில்லை. பலருக்கு இவரை  தெரிந்திருக்கக் கூட  வாய்ப்பில்லை. ஆனால் இவர் செய்தது கணணி உலகில் ஒரு பெரிய புரட்சி என்பது மறுக்க முடியாத உண்மை. இவர் நினைவாக அவருடைய புத்தகத்தில் இரண்டு பக்கங்கள் படித்து அவருக்கு மானசீக அஞ்சலி செலுத்தினேன்.அவர் மரணத்தைப்  பற்றி படிக்க சுட்டிகள்.

http://www.theregister.co.uk/2011/10/13/dennis_ritchie/

http://news.yahoo.com/dennis-ritchie-computer-programming-pioneer-dies-185648035.ஹ்த்ம்ல்

http://www.computerworld.com/s/article/9220823/Dennis_Ritchie_father_of_Unix_and_C_programming_language_dead_at_௭௦

http://siliconangle.com/blog/2011/10/13/dennis-ritchie-rip-computer-science-pioneer-and-father-of-the-c-programming-language/

ஆய்லரின் ஆக்கமும், எண்ணிலடங்கா பகா எண்களும்

ஐம்பது கிலோ அழகு உலக அதிசியமோ இல்லையோ தெரியாது, ஆனால் ஆய்லரின் ஆக்கம் நிச்சியம் ஓர் அதிசியம் தான். சரி இதை புரிந்து கொள்ள என்னவெல்லாம் தேவை என்று முதலில் இங்கே பார்ப்போம். பிறகு ஆய்லரின் ஆக்கத்தைக் கொடுக்கிறேன்.

முதலில் பகா எண்கள் என்றால் என்ன என்று பார்ப்போம். எந்த ஓர் இயல் எண் N>1 ணுக்கு ஒன்று மற்றும் அந்த இயல் எண்ணே காரணிகளாக இருந்தால் அந்த எண்ணை ஒரு பகா எண் என அழைக்கிறோம்.

குறிப்பாக,

2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,....  

முதலியவைகள் 100 க்கு கீழே உள்ள பகா எண்களாகும். இந்தப் பகா எண்கள் இயல் எண்களின் கட்டுமான அடுக்குகளாக (building blocks) செயல்படுவதே இதன் சிறப்பாகும். உதாரணமாக 12 என்ற எண்ணை எடுத்துக் கொள்வோம்.

    
குறிப்பாக எந்த இயல் எண் N > 1 க்கும்,

                                                         
எனலாம்.

எனவே எந்த இயல் எண்ணும் பகா எண்கள் அல்லது பகா எண்களின் அடுக்குக்குறிகளின் (exponents) ஆக்கமாக இருக்கும்.இந்த ஆக்கமும் ஒரு தனித்தன்மை (uniqueness) கொண்டது.

அடுத்தது



என்ற தொடரின் ஒருங்கல் (convergence) மற்றும் விலகிப் போகும் (divergence) தன்மையைப் பற்றிப் பார்ப்போம்..

இதனை சுருக்கமாக


என எழுதலாம்.


1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + ...

= ( 1/1 ) + ( 1/2 ) + ( 1/3 + 1/4 ) + ( 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 ) + .......

என எழுதலாம்.

மேலும்

( 1/3 + 1/4 ) > (1/4 +1/4)

( 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 ) > (1/8+1/8+1/8+1/8)

ஆகும்.

எனவே

1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + ... ....

> ( 1/1 ) + ( 1/2 ) + ( 1/4 + 1/4 ) + ( 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 ) + ... ...


= 1/1 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + ... .....

எனவே இந்தத் தொடரில் மேலும் மேலும் எண்களைக் கூட்டும் போது இந்தத் தொடரின் கூட்டுத் தொகை மிகப் பெரிதாகி முடிவிலியை (infinity) நோக்கிச் செல்கிறது. எனவே இந்தத் தொடர் முடிவிலியை நோக்கி விலகிச் செல்லும் (diverging to infinity) ஒரு தொடராகும்.

அடுத்ததாக பெருக்குத் தொடர் (Geometric series) என்றால் என்ன மற்றும் அதன் கூட்டுத் தொகை என்ன என்றும் பார்க்கலாம்.





என்ற இந்த தொடர் ஒரு பெருக்குத்தொடராகும்.ஒவ்வொரு அடுத்த எண்ணும் 1/2 ஆல் அதன் முந்தைய எண்ணைப் பெருக்குவதால் கிடைக்கிறது. இப்போது இதன் கூட்டுத் தொகையைப் பார்ப்போம்.












இப்போது இந்தத் தொடரை முடிவிலி (infinity)வரை செல்ல விட்டால்,

                       

பூஜ்யத்தை நோக்கிச் செல்லும்.

எனவே, S = 2 எனவாகும்.
அதாவது,

இதே போல்


பொதுவாக, எந்த பகா எண் p க்கும்,

                                                    

என்பது கூட்டுத் தொகையாக இருக்கும்.

இளம் வயதில் படித்த இந்த

(a+b)(c+d) = a(c+d) + b(c+d)
= ac+ad+bc+bd

என்ற இயற்கணிதத்தைப் பயன்படுத்தி


எனக் கண்டறியலாம்.


என இருக்கும் எல்லா பின்னங்களின் கூட்டுத் தொகையும், இந்தப்

                                       
பெருக்குத் தொகையின் மூலம்  கிடைப்பதைப் பார்க்கலாம்.

உதாரணமாக

                     

என வருவதைக் காணலாம்.

இறுதியாக,




எனலாம்.

அதாவது,



..........(1)




என்பது கூட்டுவதைக் குறித்தால்



பெருக்குவதைக் குறிக்கிறது.

ஒருவேளை குறிப்பிடும் அளவிலான பகா  எண்கள் தான்(finite number of prime numbers) இருக்கிறது எனில், சமன்பாடு (1) இன் வலது பக்கம் கிடைக்கும் எண் அளவிட்டுக் குறிப்பிடும் (finite) எண் N என இருக்கும். ஆனால் சமன்பாடு (1) இன் இடது பக்கத்தில் இருக்கும் தொடரானது முடிவிலியை நோக்கிச் செல்கிறது. அதனால் நிச்சியம் எண்ணிலடங்கா (infinite) பகா எண்கள் இருந்தாக வேண்டும். ஈக்ளுட் (Euclid) கொடுத்த எண்ணிலடங்கா பகா எண்கள் இருக்கும் என்ற நிரூபணம் இங்கே படிக்கலாம்.

இப்போது

ஒரு முழு எண் மற்றும் p ஒரு பகா  எண்  எனில,்

ஆய்லரின் ஆக்கம்

என்பதாகும். s = 1 , என இருக்கும்  போது கிடைப்பது தான் சமன்பாடு (1 ) . சமன்பாடு (1 ) லிருந்து ஆய்லரின் ஆக்கம் கண்டடைவது மிகச்  சுலபம்.

ஆனால் இந்த ஆய்லரின் ஆக்கத்தை விரிவு படுத்தி ரீமான் s ஒரு கலவை எண்ணாக (complex number) இருந்தால் என்ன விளைவு என்ற ஆராய்ந்ததில் பிறந்தது தான் புகழ்பெற்ற இன்றும் தீர்வு கிடைக்காத "Riemann Hypothesis".

என்பதைத் தான் "Riemann-Zeta function"  என்றழைக்கிறோம்.

ஓர் ஆசிரியரின் நினைவாக ....3

ஆசிரியர் தினத்தில் தான் நமக்குக் கற்பித்த ஆசிரியர்களைப் பற்றி நினைக்கிறோமோ? இல்லை அது ஒரு வாய்ப்பு. எத்தனையோ மனிதர்களை வாழ்நாளில் சந்திக்கிறோம். பல நல்ல விஷயங்கள் கற்றுக் கொள்கிறோம். அதே நேரத்தில் சிலரிடமிருந்து எதை செய்யக் கூடாது என்பதையும் அறிந்து கொள்கிறோம். அப்படிப் பட்டவர்கள் நினைவில் இருந்தாலும், அவர்களிடமிருந்து விலகியே இருக்க முயல்கிறோம். ஆனால் சில ஆசிரியர்கள் நம் வாழ்க்கையில் என்றுமே நம் உணர்வில்லாமலே மூச்சு விட்டுக் கொண்டிருப்பது போல் நம் நினைவுகளில் ஒன்றி விடுகிறார்கள்.

நான் பாளையங்கோட்டையில் உள்ள தூய சவேரியர் கல்லூரியில் படிக்கும் போது, இளநிலை மற்றும் முது நிலை பட்டப் படிப்புகளில் கணிதம் கற்பித்த ஆசிரியர் திரு.ஜோதிமணி அவர்கள்.

அவர் கணிதம் படித்த காலம் 1950 களில் இருக்கும். மதுரை பல்கலைக் கழகத்தில் 1975 ஆம் ஆண்டு வரை கணங்கள் (set theory) முது நிலை வகுப்புக்களில் தான் கற்பித்துக் கொண்டிருந்தார்கள். அப்படியெனில், ஐம்பதுகளில் திரு. ஜோதிமணி அவர்கள் என்ன விதமான சமீபத்திய கணிதம் கற்றிருக்க முடியும். ஆனால் எங்கள் வகுப்பில் நவீன இயற்கணிதம் (Modern Algebra) பயிற்றுவித்தார். அதுவும் முழுதும் தானே படித்து, வகுப்பில் புத்தகமோ, குறிப்புக்களோ பார்க்காமல் மிகவும் சரளமாக நடத்துவார். வரையறை (definition), தேற்றங்கள் (theorem) சிறிதும் தயங்காமல் அதிலுள்ள நுணுக்கமான விஷயங்களுடன் பகிந்து கொள்வார். பகுவியல் (analysis) நடத்தும் போதும் அதே முறை தான். கணக்குகளை செய்து அதை எழுதி வைத்து அடுத்த ஆண்டு அதையே பயன்படுத்தும் முறை அவரிடமில்லை. ஒவ்வொரு வருடமும் அந்தக் கணக்கை புதிதாக சிந்தித்து அதன் அடிப்படையில் தீர்வு காணுவார். அவரிடம் கணிதம் கற்றது ஏதோ புண்ணியம் தான்.

ஆசிரியர்களுக்கு மிகவும் தேவையானது தன்னைப் புதுப்பித்துக் கொள்ளுதல். அதற்கு ஒரு முன் உதாரணம் திரு. ஜோதிமணி அவர்கள். இம்மாதிரி ஆசிரியர்களுக்கு எந்த நல் ஆசிரியர் விருதும் தேவையில்லை. ஒரு மாணவன் அவரைப் பற்றி உயர்வாக நினைத்தாலே அது கோடி விருதுகளுக்குச் சமம்

மேரி எவரெஸ்ட் பூல்

சொல்வனத்தில் வெளியான என் கட்டுரையை இங்கு மறு பதிப்பு செய்கிறேன்.

கணிதம் கற்பது சுலபமா இல்லை கற்பிப்பது சுலபமா? கற்பிப்பது கலையாகும் போது கற்பது எளிதாகிறது.தொடக்கப் பள்ளியில் பயிற்றுவிக்கும் கணிதம் முதல் விதையாகிறது. ஆனால் தொடக்கப்பள்ளி கல்வி தொடங்கும் முன்னே குழந்தைப் பருவத்திலேயே உளவியல் மற்றும் நடை முறை சாத்தியமாக கணிதம் மற்றும் அறிவியல் கற்கத் தேவையான பயிற்சியைக் கொடுத்து, பிற்காலப் படிப்பிற்கு குழந்தைகளை ஆயத்தம் செய்ய முடியுமா என்ற சிந்தனைக்கு முன்னோடி கணிதக் கல்வியாளர் மேரி எவரெஸ்ட் பூல்.

எவரெஸ்ட் என்றவுடன் சிகரம் நினைவில் வரும். எவரெஸ்ட் சிகரத்துக்கும் மேரிக்கும் என்ன தொடர்பு? ஜார்ஜ் எவரெஸ்ட் என்பவர் இந்தியாவில் ஆங்கிலேய ஆட்சி காலத்தில் இந்தியாவின் அளவையாளர் ஜெனெரலாக (Surveyor General of India) இருந்தார். இவர் தான் முதல் முதலில் இந்தியாவின் நிலப்பரப்பை தெற்கிலிருந்து வடக்காக வடிவவியல் (Geometry) மற்றும் திரிகோண கணிதம் (Trigonometry) மூலம் மதிப்பீடு செய்தவர்.இவரை கௌரவிக்கும் முகமாகத் தான் இமய மலையிலுள்ள உலகத்தின் அதி உயரமான மலைச் சிகரத்திற்கு “எவரெஸ்ட் சிகரம்” என்று பெயர் சூட்டப்பட்டது.இவரின் உறவினர் தான் மேரி. ஜார்ஜ் மேரியை தத்து எடுத்துக் கொள்ள வேண்டும் என முனைந்தார். தன் பெற்றோர்கள் மீதிருந்த அன்பினால் மேரி அதை மறுத்து விட்டார்.

கணினியியல் படித்தவர்களுக்கு பூலியன் தர்க்கம்(boolean logic), பூலியன் மாறி (boolean variable) மிகவும் பரிச்சயமானதாக இருக்கும். பூலியன் தர்க்கம் தான் இன்று கணினிகள் , தேடு பொறிகள் இயங்குவதற்கு முக்கியக் காரணியாக இருக்கிறது. இந்த சிந்தனையின் சொந்தக்காரர் ஜார்ஜ் பூல். இவர் 19 ஆம் நூற்றாண்டில் வாழ்ந்த மிக முக்கியமான கணித மேதை. இந்த பூல் தான் மேரியின் கணவர்.

மேரியின் இளமைக் காலம்

மேரியின் தந்தை இங்கிலாந்தில் ஒரு மந்திரியாக இருந்தார். அவருக்கு ஹோமியோபதி மருத்துவத்தில் மிகுந்த நம்பிக்கை. அவருக்கு ஏற்பட்ட உடல் நலக் கோளாறை ஹோமியோபதி முறையில் சரி செய்யும் பொருட்டு, மேரிக்கு ஐந்து வயதிருக்கும் போது, குடும்பத்துடன் பிரான்ஸ் நாட்டுக்குக் குடி பெயர்ந்தார். அங்கு வாழ்க்கை கடினமாக இருந்தாலும், மேரியின் இளைமைக் காலக் கல்வி கற்றலுக்கு மிகவும் பயனுள்ளதாக இருந்தது. டீப்லாஸ் என்ற ஆசிரியரிடம் தினமும் இரண்டு மணி நேரம் கல்வி கற்றார். அவருடைய பயிற்று முறை, கேள்விகள் கேட்டு மேரி அதற்கான பதில்களை எழுதிய பின், அந்த பதில்களை சிந்தனைக்கு இடையூறில்லாமல் தீர அலசி ஆராய்ந்து முடிவுகளை கண்டறிவதாக இருந்தது. இவ்விதமாகக் கல்வி கற்பது மேரிக்கு சிறந்த அனுபவமாகவும், படிப்பில் சிறந்து விளங்க உறுதுணையாகவும் இருந்தது. இந்த ஆசிரியரின் கற்பிக்கும் முறை தான் பிற்காலத்தில் அவருடைய பல சிந்தனைகளுக்கு வித்தாக அமைந்தது எனக் கூறலாம்..

மேரியின் திருமண வாழ்க்கை

இங்கிலாந்திலுள்ள கேம்பிரிட்ஜ் நகர் குழந்தைகள் படிப்பதற்கு நல்ல இடமென்று மேரியின் தந்தை வேறொருவருடன் உரையாடுவதை மேரி கேட்டிருந்தார். ஆனால் அவர்கள் குடும்பம் மீண்டும் இங்கிலாந்து திரும்பியவுடன், கேம்பிரிட்ஜில் பெண்களுக்குப் படிக்க அனுமதி இல்லை என்றறிந்து மேரி அதிர்ச்சிக்குள்ளனார். இருந்தாலும் வீட்டிலிருந்த நுண் கணிதப் (calculus) புத்தகத்தைப் படிக்கலானார். ஆனால் விடை அறிய முடியாத கேள்விகளும், சந்தேகங்களும் மேரியை ஆட்கொண்டன. அந்த சமயத்தில் தான் மேரிக்கு ஜார்ஜ் பூலின் அறிமுகம் கிடைத்தது. ஜார்ஜ் பூல மேரியின் சந்தேகங்களைத் தீர்த்து வைத்தார். ஜார்ஜ் கொடுத்து வந்த கணித விரிவுரைகளிலும் மேரிக்குக் கலந்து கொள்ளும் வாய்ப்பு கிடைத்தது. மேலும் அவர்களுக்கு இடையே இருந்த நட்பு புரிதலாக மாறியது. மேரியின் தந்தை இறந்த பிறகு ஜார்ஜ், மேரியிடம் அவரைத் திருமணம் செய்து கொள்ள விருப்பம் தெரிவித்தார். மேரிக்கு அப்போது வயது 23, ஜார்ஜுக்கு 40. 17 வருட வித்தியாசம் இருந்தாலும் மேரி ஜார்ஜை மணக்கச் சம்மதித்தார். ஒன்பது வருடத்தில் 5 குழந்தைகளுடன் அவர்கள் திருமண வாழ்வு மிகவும் மகிழ்ச்சிகரமாகச் சென்றது. திடீரென மழையில் நினைந்ததில், ஜார்ஜ காய்ச்சல் வந்து மரணமடைந்தார்.

மேரியின் பங்களிப்புகள்



ஜார்ஜ் பூலின் மிக முக்கியப் படைப்பான “Laws of Thought” என்ற புத்தகம் எழுதுவதற்கு மேரி ஒரு பதிப்பாசிரியராக இருந்து பெரும் பங்காற்றினர். மேலும் ஜார்ஜ் இறந்த பிறகும் தன வாழ்நாள் முழுவதும் அவரின் தர்க்கவியல் சிந்தனைகளின் முக்கியத்துவத்தை எடுத்துரைப்பதில் தன்னை ஈடுபடுத்திக் கொண்டார். மேரிக்குக் கணிதம் கற்பிப்பதில் சொல்லொணா ஆர்வம் இருந்தது. அந்தக் காலத்தில் பெண்கள் ஆசிரியர்கள் ஆக முடியாததால், ஜார்ஜ் இறந்தவுடன் ஐந்து குழந்தைகளுடன் வறுமையிலிருந்த மேரி, கார்க் கல்லூரியில் “நூலகர்” என்ற பெயருடன் கணிதம் கற்பித்து வந்தார்.தனது இளமைப் பருவத்து ஆசிரியர் டீப்லாஸ் கற்பித்த முறையுடன், தன் சொந்தக் கற்பனையையும் இணைத்துக் கணிதம் கற்பித்தார். ஆனால் “The Message of Psychic Science for nurses and mothers” என்ற அவர் எழுதிய புத்தகத்தில் இருந்த சில சர்ச்சைக்குரிய கருத்துக்களால் அந்த வேலையை இழந்தார்.இதனால் கல்வியின் மீது அவருக்கிருந்த ஆர்வமோ, துடிப்போ சிறிதும் குறையவில்லை. “Sunday Night Conversations” என்ற பெயரில் ஞாயிற்றுக் கிழமைகளில் மாணவர்களுடன் மேரி கிழக்கத்திய-மேற்கத்திய தத்துவம், ஹீப்ரு மொழி, பிராணிகளின் உரிமைகள், உளவியல், தர்க்கவியல் மற்றும் பரிணாமம் (Evolution) பற்றிய உரையாடல்களைத் தொடர்ந்து நடத்தி வந்தார்.

மேலும் தன்னுடைய எண்ணங்களை எழுத்து வடிவில் கொணர்ந்தார். அவர் எழுதிய பல புத்தகங்கள் அவருடைய இறப்பிற்குப் பிறகே அச்சேறின. “The preparation of the child for science” மற்றும் “Philosophy and Fun of Algebra” மேரியின் புத்தகங்களில் முக்கியமானவைகள். அறிவியல், அட்சர கணிதம், அங்க கணிதம் மற்றும் வடிவவியல் போன்ற துறைகளில் அவர் கருத்துகளையும், குழந்தைப் பருவத்திலும், தொடக்கக் கல்வி நிலையில் இவைகளைக் கையாள்வது குறித்தும் விரிவாக எழுதியுள்ளார். அவற்றில் சிலவற்றை இங்கே பார்ப்போம்.

புது உண்மைகளை எதிர்கொள்ளும் போது மனித மனமானது போற்றும் மனப்பான்மை, கவனிப்பு, அவதானிப்பு, பகுத்தறிதல், எதிரிடை, ஒன்றுபடுத்துதல், சிந்திப்பது, விலகுதல், இளைப்பாறுதல் மற்றும் முடிவுக்கு வருதல் எனப் பல அறிவியல் நிலைகளைக் கடக்கிறது. ஒவ்வொரு நிலையையும் கடக்க சில வினாடிகளோ, சில நாட்களோ, மாதங்களோ கூட ஆகலாம். இந்த நிலைகள் குழந்தைகளின் மன நிலைக்குப் பொருந்தாது என்றும், அறியப்படாத ஒன்றின் மீது ஏற்படும் மதிப்பே அவர்களை அறிவியலுக்குத் தயார் படுத்துகிறது. என்றும் கூறுகிறார்.

அறிவியல் கலாச்சாரம் என்பது சீராக வாழ்நாள் முழுதும் நட்புணர்வுடன், அந்தரங்கமாக, அதே சமயம் போற்றத்தக்க மனதுடன், சாஸ்வதமான எல்லையற்ற அறியப்படாத ஒன்றுடனான உணர்வுகளின் பரிமாற்றத்தின் முடிவு ஆகும்.
குழந்தைகளுக்கு முன்னதாகவே கொடுக்கப்படும் அறிவியல் கல்வியை விட, தொடக்கத்திலேயே ஏற்படுத்தப்படும் அறிவியல் மனப்பான்மை மிகவும் முக்கியமானது. குழந்தைப் பருவத்திலிருந்தே அறிவியல் கல்விக்குத் தேவையான பயிற்சியை ஆழ்மனத்தளவில் பெற்றோர்கள் முயற்சியில் ஏற்படுத்த முடியும் என்கிறார்.

ஒரு குழந்தை அறிவியல் உலகத்திற்கு வருவது, உண்மைகளை அறிந்து கொள்ள மட்டுமோ, புலன்களை வளர்த்து மற்ற விஷயங்களை செய்யவோ இல்லாமல், முதன்மையாக இயற்கையின் விதிகளுடன் ஒரு தொடர்பை ஏற்படுத்திக் கொள்ளவேயாகும். இங்கு இயற்கையின் விதி என்பது எந்த விதிகளால் இந்த உலகம் இயங்குகிறதோ அதைக் குறிக்கிறது.
அங்கு கணிதம் (arithmetic) என்பது எண்களைப் பற்றி நமக்குத் தெரிந்த சில உண்மைகளைக் கொண்டு தர்க்க ரீதியாக இது வரை தெரியாத ஒன்றை கண்டறியும் நோக்கத்துடன் அணுகுவதாகும். அதே சமயம் அட்சர கணிதத்தில் (algebra) நம் அறியாமையும் (ignorance) சேர்ந்து கொள்கிறது. அந்த அறியாமையைத்தான் x எனக் கொள்கிறோம். மற்ற எண்களுடன் இந்த x ஐயும் இணைத்து, எப்படி தர்க்க ரீதியாக மற்ற எண்களை அணுகுகிறோமோ, அதே போல் இதை அணுக வேண்டும். இந்த முறையில் நேர்மையாக நம் அறியாமையை ஒத்துக் கொண்டு கணக்குக்குத் தீர்வு காண்பது தான் அட்சர கணிதமாகும்.
குளிர்ந்த நீருள்ள ஒரு டீக் குவளையுடன் விளையாடும் குழந்தை, அடுத்த முறை அதே டீக் குவளையில் சுடு தண்ணீர் இருக்கும் போது தொட்டு விட்டால் அந்தக் குழந்தைக்கு உடனடியாக வித்தியாசம் தெரிந்து விடும். அடுத்த முறை டீக் குவளையைப் பார்த்தால் மிகவும் கவனமாக அணுகும். இதிலிருந்து ஒரே தோற்றம் கொண்ட இரண்டு பொருட்களின் குணாதிசயங்கள் ஒன்றே போல் இருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை என்பதை அறிந்து கொள்கிறது. இந்த நேரத்தில் குழந்தை தனக்கான ஓர் அட்சர கணிதத்தை உருவாக்கிக் கொள்கிறது.



தையல் அட்டைகள் (stitching cards) மூலம் வடிவவியல் கற்கும் முறையை முதலாவதாக அறிமுகப் படுத்தியது மேரி பூல் தான். கோணங்கள் மற்றும் பரிமாணங்கள் அறிந்து கொள்ள மிகவும் உதவும் சாதனம் இது.மேலும் குழந்தைகளுக்கு பல விதமான வடிவவியல் வடிவங்கள் கொண்ட பொம்மைகள் விளையாட்டுச் சாதனமாகக் கொடுக்க வேண்டும் என்கிறார். குறிப்பாக பிளாடோனிக் தின்மங்கள் மற்றும் ஒரு வெட்டப்பட்ட கூம்பு கொடுப்பது சிறந்தது. இதனால் குழந்தைகளுக்கு இயற்கை,செயற்கை, அழகியல் மற்றும் கணித நோக்கில் உருவாக்கப்படும் உருவங்களுக்கிடையே இருக்கும் வித்தியாசங்களை கையும்,கண்களும் பழகிக் கொள்வதற்கு ஏதுவாக இருக்கும். இதெல்லாம் குழந்தைகளின் ஆழ் மனதில் ஒரு விதமான வடிவவியல் தோற்றத்தை ஏற்படுத்திக் கொடுக்கும். அது பிற்காலத்தில் அவர்களின் மேற்கல்வியில் ஈடுபாடுடன் படிக்க உதவும்.

இப்படி முதன் முதலில் குழந்தைகளின் சிந்தனைப் போக்கையும், அதற்கேற்றாற்போல் பல விதமான உத்திகளை சிபாரிசு செய்தும், அதை நடை முறைப் படுத்தவும் தன் வாழ்நாளை அர்ப்பணித்த மேரிக்கு வாழும் காலத்தில் சரியான அங்கீகாரம் கிடைக்க வில்லை என்பது மிகவும் வருந்தத் தக்க விஷயம். அக்கால அறிஞர்கள் அவரை ஓர் உளவியலாளராகப் பார்த்தார்களே தவிர கணிதக் கல்வியாளராகப் பார்க்கவில்லை. ஒருவேளை அவர் ஆணாக இருந்திருந்தாலோ, ஆணின் பெயரில் புத்தகங்கள் எழுதி இருந்தாலோ அவருக்கு கிடைக்க வேண்டிய அங்கீகாரம் கிடைத்திருக்கலாம். ஆனால் இருபதாம் நூற்றாண்டில் அவர் முன் வைத்த பல யோசனைகள் அமெரிக்காவிலும், இங்கிலாந்திலும் செயல் படுத்தப் பட்டன. அவர் தனது 84 ஆம் வயதில் 1916 ஆம் காலமானார்.

என் சிந்தனையில், “Mathematical imagination” என்ற பகுதியில் இவர் எழுதியுள்ளவைகள் நூறு வருடங்கள் ஆனாலும் இன்றும் பயனுள்ளவை என்பதில் சந்தேகமில்லை. இதை ஒவ்வொரு பெற்றோரும் கட்டாயம் படிக்க வேண்டும். நல்ல புத்தகங்களும், தனிப்பட்ட பயிற்சியும் (tuition) தன் குழந்தைக்குக் கொடுத்தல் போதுமானது என்று சில பெற்றோர்கள் நினைப்பது மிகவும் தவறு. அவர்கள் சிந்தனை ஓட்டம் தடைப் படாமல் அவர்கள் இயற்கையின் நியதிகளை அறிய தங்களால் ஆன முயற்சியைப் பெற்றோர்கள் தவறாமல் எடுக்க வேண்டும். சில ஆண்டுகளாக இடைநிலைப் பள்ளி (ஆறு முதல் எட்டாம் வகுப்பு ) மாணவர்களுக்கு கணக்கு மூலம் சிந்தனையை தூண்டும் விதத்தில் கணிதம் கற்பிக்கும் வாய்ப்பு பெற்றுள்ளேன். ஒரே கணக்கிற்கு வித விதமான வழிகளில் அணுகும் முறையை மாணவர்கள் கூறும் போது மகிழ்ச்சியாக இருக்கும். அவர்கள் சிந்தனைப் பாதையிலே சென்று தவறைச் சுட்டிக்காட்டுவதும், சரியாக இருந்தால் வெளிப்படுத்துவதும் ஒரு தனி அனுபவம். இதை முறையான கல்வி முறையில் பள்ளிகளில் செய்வது மிகவும் கடினம். இந்த முறையில் மாணவர்களுக்கு எந்த நஷ்டமும் இல்லை. இதைப் போன்ற வகுப்புக்கள் பள்ளிகளில் வாரத்திற்கு ஒரு நாள் விருப்பமுள்ள மாணவர்களுக்கு நடத்தலாம். இதை ஆசிரியர்கள் தான் செய்ய வேண்டுமென்றில்லை. கணிதம் கற்ற மற்றும் நடத்த விருப்பமுள்ள பெற்றோர்கள் முன்வந்து நடத்தலாம்.

மேரியின் வாழ்க்கையைப் படித்து அதனால் கவரப்பட்டு கணிதத்தையும், அறிவியலையும் இளம் தலைமுறையினருடன் பகிர்ந்து கொள்ள சில பெற்றோர்கள் முன் வந்தால் அது மேரிக்கும் இநதக் கட்டுரைக்கும் கிடைத்த மிகப் பெரிய வெற்றி ஆகும்.

மேற்கோள்கள்
1. The preparation of the child for science, Mary Everest Boole

2. Philosophy and Fun of Algebra, Mary Everest Boole

3. Letures on the logic of Arithmetic by Mary Everest Boole

பஹாமாஸ் பயண அனுபவம்

பயணம் செய்த கப்பல்
சென்ற ஆண்டு இந்தியா சென்று திரும்பியதிலிருந்து ஒரே மாதிரியான வாழ்க்கை. ஒரு மாறுதலுக்கு கோடையில் ஒரு வாரம் விடுமுறையில் குடும்பத்துடன் இனிமையாகக் கழிக்க முடிவு எடுத்தவுடன் குழந்தைகள் யோசனைக்கிணங்க கப்பல் பயணம் (cruise ) செல்வது என முடிவானது.குடும்ப நண்பர்கள் மோகன்ராம் மற்றும் கோபால் குடும்பங்களுடன் இணைந்து ஆகஸ்ட் 15 முதல் 19 ஆம் தேதி வரை Norwegian Cruise Line (NCL) என்ற நிறுவனத்தின் கப்பலில் முன் பதிவு செய்தோம். ஆனால் அதற்கு Detroit -இல் இருந்து Florida-வில் உள்ள Miami சென்று கப்பலைப் பிடிக்க வேண்டும். அதற்கு Spirit Airlines. பயணம் செய்யும் நாளை எதிர் நோக்கி எல்லோரும் ஆவலுடன் இருந்தோம்.


அட்லாண்டிஸ்

15-ஆம் தேதி காலை மூன்று மணிக்கு எழுந்து நான்கு மணிக்கு புறப்பட்டு எல்லா விமான நிலைய சோதனைகளுக்குப் பிறகு 5:30 மணிக்கு விமானத்தில் ஏறும் கதவை நெருங்கும் போது விமானம் ஏதோ தொழில்நுட்பக் காரணங்களுக்காக சிறிது தாமதம் என்ற தகவல் அதிர்ச்சியளித்தது. ஒரு மணி தாமதம் எனத் தொடங்கி நான்கு மணி நேரம் கழித்து விமானம் பறக்கத் தொடங்கியது. விமானத் தாமதத்தால் கப்பலைப் பிடிப்போமா இல்லையா என்ற கவலையுடன் "தலை தப்பியது தம்புரான் புண்ணியம்" என்று சரியாக 3:30 மணி அளவில் கப்பலில் நுழைத்தோம். 12 அடுக்குகள் கொண்ட பிரமாண்டமான கப்பல். 12 வது அடுக்கில் திறந்த வெளி. சென்றவுடன் அடுத்த மூன்று நாட்கள் என்ன செய்ய வேண்டும் என்று முடிவு எடுக்கவே சரியாகி விட்டது. பசங்கள் பாஸ்கட் பால் விளையாடினார்கள்.


சுதர்ஷன்,ராம்,ஸ்ரீஹரி,கிரண்

அடுத்த நாள் Great Bahamas Island என்ற தீவில் இறக்கி விடப் பட்டோம்.அங்கு ஓர் அருமையான கடற்கரை. துருவப் பகுதி படகு (kayak), நீரில் மூழ்கிப் பார்ப்பது (snorkeling), trapeze மற்றும் நீச்சல் குளம் என்று கேளிக்கைக்கு குறைவில்லை. ராம், ஸ்ரீஹரி ஒரு படகிலும், சுதர்ஷன், கிரண் மற்றொன்றிலும் துடுப்பை எடுத்துக் கொண்டு கடலில் வெகு தூரம் சென்றார்கள். அவர்கள் அதிக தூரம் செல்லச் செல்ல கரையில் இருந்த பெற்றோர்களுக்கு கொஞ்சம் அதிகமாகவே டென்ஷன். ஆனால் பசங்களோ எந்த பயமும் இல்லாமல் உல்லாசமாக சென்று வந்தார்கள்.நீச்சல், trapeze என்று ஒரே கொண்டாட்டம் தான். ராமும், கிரணும் பிரிட்டன் நாட்டைச் சேர்ந்த இருவருடன் பீச் பால் வேறு விளையாடினார்கள். சுதர்ஷன் snorkeling விட்டும், ஸ்ரீஹரி நீச்சல் குளத்திலிருந்தும் வெளியே வர மனதே இல்லை. மதிய உணவிற்குப் பிறகு கப்பலுக்குத் திரும்பினோம்.


மோகன்ராம்,பாஸ்கர்,லலிதா,வித்யா,ஷீஜா

அடுத்த நாள் புதன் கிழமை கப்பல் நிறுவனத்திற்குச் சொந்தமான ப்ரீ போர்ட் சென்றோம்.அதை மிகவும் சுத்தமாகப் பராமரிக்கிறார்கள். கடல் தண்ணீர் மிகவும் சுத்தமாக இருக்கிறது. பசங்கள் Jet Skiing சென்றார்கள். அது ஒரு மிகச் சிறந்த மகிழ்ச்சியான அனுபவமாக இருந்ததாகக் கூறினார்கள். .மதிய உணவிற்குப் பிறகு மீண்டும் மின் படகில் கப்பலுக்குத் திரும்பினோம். இரவில் பத்து பேறும் சேர்ந்து "Poker" விளையாடினோம்.மோகன்ராம் POKER சிப்ஸ் கொண்டு வந்திருந்தார். மோகன்ராம் மின்னல் வேகத்தில் கணக்கு போடுவார். அவர் வெற்றி பெற்றவர்கள் நடுவில் சிப்ஸ் பணத்தைப் பிரிக்கும் வேகத்தில் மற்றவர்கள் புரிந்து கொள்வதற்குள் அடுத்த ரவுண்டு முடிந்து விடும். அவருடன் விளையாடுவது ஒரு தனி அனுபவம்.  நான்கே சுற்றில்  நான் வெளியேற்றப்பட்டேன். என் மனைவிக்கு ஏதோ யோசனை சொல்ல முயன்ற போது, நீங்களே தோற்று விட்டீர்கள் என்று நினைவூட்டினாள். கப்சிப்.  இறுதியில் சுதர்ஷனும், கோபாலும் எஞ்சினார்கள்.கோபால் அமைதியாக இருந்து வென்றும் விட்டார். கோபாலுக்கு லக்னத்தில் புதன் இருக்கும் போல.பேசினாலே நகைச் சுவை தான்.


பாஸ்கர்,மோகன்ராம்,கோபால்

மூன்றாம் நாளில் பஹமாஸ் தீவு சென்றோம்.ஒரு வேனை வாடகைக்கு அமர்த்தி தீவைச் சுற்றி வந்தோம்.அட்லாண்டிஸில் உள்ள ஓட்டலில் ஒரு இரவு தங்க 2500 டாலர்ஸ். அதுவும் குறைந்த பட்சம் 5 இரவுகள் தங்கினால் தான் இடம் கொடுக்கப்படும். ஆனால் அதைச் சுற்றி உள்ள இயற்கைக் காட்சிகள் மிகவும் அற்புதம்.அதிலெல்லாம் IPL இல் விளையாடினால் தான் தங்க முடியும். மிகவும் அழகான தீவு.1973 ஆம் ஆண்டு வரை பிரிட்டனின் ஆதிக்கத்தில் இருந்திருக்கிறது பஹமாஸ். சுற்றுலாவை நம்பித் தான் இந்த நாட்டின் பொருளாதாரம் உள்ளது. விடுமுறை ஓய்விற்கு மிகச் சிறந்த இடம்.



நுழையும் போதே கடன் அட்டையை (credit card) கப்பலில் தங்க இருக்கும் அறையின் சாவியாகக் கொடுக்கும் பெயர் பொதித்த அட்டையுடன் இணைத்து விடுகிறார்கள்.அதனால் கப்பலில் சாவி அட்டையே கடன் அட்டையாகிறது. கப்பலில் ஆகும் செலவுகளுக்கு சாவி அட்டையைப் பயன்படுத்தினால், ரசீது ஏதும் கொடுக்க மாட்டார்கள். இறுதி நாள் யானைக்குக் கோவணம் கட்டியது போன்ற பெரிய ரசீது கைக்குக் கிடைக்கும். குடும்ப மருத்துவர் நினைவில் வந்து மறைவார். குடித்துக் கும்மாளம் அடித்த சில பேர் ரசீதில் சந்தேகங்களைக் கேட்க கம்பாக வரவேற்பு பகுதியில் நின்றிருந்ததில் அதிசியம் ஒன்றுமில்லை.




கப்பலில் உணவிற்கு பஞ்சமேயில்லை. சைவம் மற்றும் அசைவ உணவுகள் இலவசம்.ஆனால் தாக சாந்தி செய்ய க்வார்ட்டர்,புல் என்றால் கடன் அட்டைக்குப் பிடித்தது கேடு. தெனாலி படத்தில் வரும் டைமண்ட் பாபு போல் சாப்பாட்டுப் பிரியராக இருந்தால் கொண்டாட்டம் தான்.எதைத் தின்றாலும் உடம்பின் எடை ஏறாமல் தபால் பெட்டி போன்ற உடல் வாகு கொண்ட வரம் பெற்றவர்கள் கவலை இல்லாமல் உண்ணலாம். அதிக எடை போட்டாகி விட்டது "ஜாண் போனாலென்ன முழம் போனாலென்ன என்றாலும்" பிரச்சனை இல்லை. ஐஸ்கிரீம் பிரியராக இருந்தால் ஒரு கை பார்க்கலாம்.இந்த கலோரி பார்த்து உண்பவர்கள் பாடு தான் திண்டாட்டம்.



இந்த கப்பல் பயணம் ஒரு சிறந்த வித்தியாசமான அனுபவமாக இருந்தது.. குழந்தைகளுடன் ஒரு வாரம் கழித்தது மறக்க முடியாதது.ஒத்த அலை ஓசையுள்ள (same wave length) நண்பர்கள் குடும்பத்துடன் செல்வது நடைமுறைக்கு உகந்ததாக இருக்கும்.இது வரை நீங்கள் கப்பல் பயணம் சென்றதில்லை எனில் கட்டாயம் செல்லும் படி பரிந்துரை செய்வேன்.