70 மில்லியனிலிருந்து 600 வரை

சொல்வனம் இணைய இதழில் வெளியான கட்டுரை.
70 மில்லியன் என்பது ஏதோ லாட்டிரி பரிசுத் தொகைபோல் தோன்றுகிறது. ஆனால் இந்த 70 மில்லியன் சொல்வனத்தில் வெளியான இந்தக் கணிதக் கட்டுரையுடன் தொடர்புடையது. அந்தக் கட்டுரையைப் படிக்கத் தவறியிருந்தால், படித்து விட்டு மேலே செல்வது பயனுள்ளதாக இருக்கும்.
எண் கணித ஆராய்ச்சிக்கு 2013 ஆம் ஆண்டு மிகச் சிறந்ததும் வெற்றிகரமானதுமான ஆண்டு எனலாம். சென்ற மே மாதம், யீடாங் சாங் என்ற ஆய்வாளர், 2000 ஆண்டுகளுக்கு மேலாகத் தீர்வு அடைய முடியாதிருந்த ஒரு கணிதக் கேள்விக்கு விடையை உறுதி செய்யத் தேவையான திறப்பை ஏற்படுத்திக் கொடுத்தார். கோடு போட்டால் ரோடே போடுவோம் என்பது போல், சாங் கொடுத்த திறப்பில் புகுந்து பல எண்கணித ஆராய்ச்சியாளர்கள் அந்தக் கேள்விக்கு விடையை நிரூபிக்கத் தேவையாக இருந்த இலக்கின் இடைவெளியை மிகக் குறைத்து விட்டார்கள் முதலில் அந்தக் கேள்வி என்ன எனத் தொடங்கி, இன்று வரையான முன்னேற்றத்தை பார்ப்போம்.

இயல் எண்களை ஓர் நேர்கோட்டில் 1,2,3,4,5,6.7,……எனத் தொடர்ந்து இருக்குமாறு அமைக்க முடியும். இதைத் தான் எண்களின் கோடு (number line) என அழைக்கிறோம். இந்த நேர்கோட்டில் நடந்தால் 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,…..எனத் தொடர்ந்து பகா எண்களைக் கடந்து செல்வோம். இந்தப் பகா எண்கள் இந்த நேர்கோட்டில் தொடர்ந்து எண்ணிலடங்காத அளவு இருக்குமா இல்லை ஒரு குறிப்பிட்ட இடத்தோடு நின்று விடுமா எனும் கேள்வி எழுகிறது. 2000 ஆண்டுகளுக்கு முன் யூக்ளிட் “இந்த இயல் எண் கோட்டில் தொடர்ந்து நடந்தால் பகா எண்கள் வந்து கொண்டே இருக்கும். அதற்கு முடிவே இல்லை.” என நிறுவினர். அதாவது அட்சய பாத்திரம் போல், அள்ள அள்ளக் குறையாமல், இயல் எண்களில் பகா எண்கள் வந்து கொண்டே இருக்கும்.

பகா எண்களை முடிவில்லாமல், தொடர்ந்து காண முடியும் எனக் கூறிய யூக்ளிட், அந்த எண்கள் இயல் எண்களில் எப்படிப் பரவியுள்ளன, அந்த இயல் எண் நேர்கோட்டில் நடந்தால் ஒரு பகா எண்ணைக் கடந்தால் அடுத்தது எப்போது வரும் என்றெல்லாம் கூறவில்லை. ஆனால் யூக்ளிட் பகா எண்களில் இருக்கும் ஒர் அதிசயமான விஷயத்தைப் பார்த்தார். இரட்டைப் படை எண்களில் 2 ஒன்று தான் பகா எண்ணாக இருக்கும்.அதற்குப் பிறகு வரும் அனைத்து பகா எண்களும் ஒற்றைப் படை இயல் எண்கள் தான் என்பது பொதுவாக எல்லோரும் அறிந்த விஷயம். இங்கு தான் யூக்ளிட் அடுத்தடுத்து வரும் ஒற்றைப் படை எண்கள் பகா எண்களாக வருவதைக் கண்டார். உதாரணமாக (3,5), (5,7), (11.13), (17,19), (29,31)…என இருப்பதைக் காணலாம். இது போல் அடுத்தடுத்த ஒற்றைப் படை எண்கள் பகா எண்களாக இருப்பவற்றை இரட்டைப் பகா எண்கள் என அழைக்கலாம். இந்த இடத்தில் யூக்ளிட் கேட்ட கேள்வி, “பகா எண்கள் எண்ணிலடங்காமல் தொடர்ந்து இயல் எண்களில் வருவது போல், இரட்டைப் பகா எண்களும் எண்ணிலடங்காமல் தொடந்து வருமா?” என்பது தான். இந்தக் கேள்விக்கான பதில்-இரட்டைப் பகா எண்கள் எண்ணிலடங்காமல் தொடர்ந்து வருவது உண்மையாக இருப்பதற்கான எல்லா சான்றுகளும் இருந்தும், இதற்கு முழுமையான தீர்வு கண்டறிய கணித ஆராய்ச்சியாளர்கள் மிகவுமே மெனக்கெட வேண்டியுள்ளது என்பதே. இன்று வரை இந்தக் கேள்விக்கான முழுமையான விடை நிரூபிக்கப் படவில்லை என்பது தான் உண்மை நிலைமை. இந்தக் கேள்வி யூக்ளிட் காலத்திலிருந்தே கேட்கப்பட்டு வந்தாலும், அச்சு வடிவில் வெளிவந்தது 1849 ஆம் ஆண்டில் தான்.

பகா எண்களின் பரவல், இயல் எண்களில் எந்த ஒழுங்கும் இல்லாமல் இருப்பதோடு, இயல் எண் நேர்கோட்டில் நீண்ட தூரம் செல்லச் செல்ல பகா எண்கள் தென்படுவது குறைந்து கொண்டே இருக்கிறது என்பதைக் காணலாம். சிலர் பணக்காரர் ஆக ஆக, வடிகட்டின கருமி ஆவது போல. சரி, இரட்டைப் பகா எண்களைப் பற்றிய கேள்விக்கான பதிலைத் தான் நிறுவ முடியவில்லை, குறைந்தபட்சம் இயல் எண் நேர்கோட்டில் ஒரு குறிப்பிட்ட அளவிலான எண் வித்தியாசத்தில் இரண்டு பகா எண்களைக் கண்டறிய முடியுமா என, 200 ஆண்டுகளுக்கும் மேலாக கணித ஆய்வாளர்கள் முயன்று வந்தார்கள்.. இங்கு தான் சாங், தனது முக்கியமான முடிவை இந்த ஆண்டு மே மாதம் வெளியிட்டு, கணித உலகத்தையே திகைக்க வைத்தார். 70 மில்லியன் எண்கள் இடைவெளியில், தொடர்ந்து எண்ணிலடங்காதளவு இரண்டு பகா எண்களை இயல் எண்களில் காண முடியும் என நிறுவினார்.70 மில்லியன் என்பது மிகப் பெரிய இடைவெளி போலத் தோன்றும். ஆனால் இங்கு நினைவில் கொள்ள வேண்டியது சாங் இந்த முடிவைக் கொடுப்பதற்கு முன் குறிப்பிட்ட இடைவெளியில் இரண்டு பகா எண்களைக் கண்டறிய முடியுமா எனத் தெரியாமலே இருந்தது

ஆனால் 70 மில்லியன் இடைவெளி என சாங் எடுத்துக் கொண்டதில் எந்தப் புனிதத்தன்மையும் இல்லை. அந்த எண் நிரூபணம் கொடுக்க வசதியாக இருந்ததால் சாங் இதை எடுத்துக் கொண்டுள்ளார்.மேலும் சாங் அவர்கள் இந்தக் கணக்கை நான்கு ஆண்டுகள் தொடர்ந்து ஒரு நாளைக்கு குறைந்தது பத்து மணிநேரம் சிந்தித்ததால், மிகவும் சோர்வான நிலையில் 70 மில்லியன் என்ற இடைவெளியை முடிந்த அளவு குறைக்க முயலவில்லை. ஆனால் மற்ற எண்கணித நிபுணர்கள் இந்த இடைவெளியைக் குறைக்க முடியும் எனப் பார்க்க முயன்று, அந்தப் பணியில் ஈடுபட்டார்கள். குறிப்பாக இன்றளவில் உலகப் புகழ்பெற்ற கணித மேதைகளில் ஒருவரான, கலிபோர்னியா பல்கலைக் கழகத்தில் பேராசிரியராக இருக்கும் டெரென்ஸ் டௌ இந்தக் கணக்கில் ஈடுபாடுள்ள உலகிலுள்ள மற்ற கணித ஆராய்ச்சியாளர்களும் பங்கேற்கும் வகையில் பாலிமத் ப்ராஜெக்ட் 8 (Polymath Project 8) எனும் கூட்டு முயற்சியை இணையத்தில் தொடங்கினார். இந்த இடைவெளியைக் குறைப்பதில் கணிப்பு எண்கணித ஆய்வாளர்கள் (computational Number theorists) பெருமளவில் ஈடுபட்டார்கள்.

குறிப்பாக பாஸ்டனில் உள்ள எம் ஐ டி பல்கலையில் பேராசிரியராக இருக்கும் ஆன்ட்ரு சுதர்லண்ட் முக்கியப் பங்காற்றினார். சுதர்லண்ட் சென்ற கோடையில் சிகாகோவில் ஒரு ஓட்டலில் தங்கச் சென்ற சமயம், அவர் அங்கு வேலை செய்த அலுவலரிடம் ஒரு கணிதக் கூட்டமைப்பில் கலந்து கொள்ள வந்ததாக கூறினார். உடனே அந்த அலுவலர் “ஒ! அந்த 70 மில்லியன்” எனக் கேட்டுள்ளார். இதைக் கேட்டவுடன் சுதர்லண்ட் தன்னுடைய கோடை விடுமுறையைத் தியாகம் செய்து, முழு மூச்சாக சிங் கொடுத்த 70 மில்லியன் இடைவெளியைக் குறைப்பதில் தன்னை ஈடுபடுத்திக் கொண்டார். அதன் விளைவு 70 மில்லயன் என்றிருந்த இடைவெளி 4680 ஆகக் குறைந்தது. இந்த இடைவெளிக் குறைவிற்கு மிகவும் உதவிய முக்கிய முடிவை நிறுவியது இந்த ஆண்டிற்கான ஏபல் பரிசு வென்ற டெலின் என்பது குறிப்பிடத் தக்கது. இந்த நிரூபணத்தைக் கொடுக்க சாங் போட்ட இந்த பாதையை எண்கணித வல்லுனர்கள் மிகவும் பாராட்டியுள்ளார்கள்.

இது ஒருபுறம் நடந்து கொண்டிருக்க, அமைதியாக கனடாவில் இருக்கும் மண்ட்ரீயால் பல்கலைக் கழகத்தில் (Université de Montréal)சென்ற ஆண்டு எண்கணிதத்தில் முனைவர் பட்டம் பெற்று, அதற்குப் பிறகான ஆராய்ச்சியை மேற்கொண்டிருக்கும் ஜேம்ஸ் மேய்னர்ட் (James Maynard) நவம்பர் மாத நடுவில் 600 எண்கள் இடைவெளியில் இரண்டு பகா எண்களைத் தொடர்ந்து இயல் எண்களில் எண்ணிலடங்காத அளவு கண்டறிய முடியும் என்ற நிரூபணத்தை வெளியிட்டார். ஜேம்ஸ் பயன்படுத்திய நிரூபண முறை சாங்கின் முறையிலிருந்து வேறுபட்டது. எட்டு ஆண்டிற்கு முன் இரண்டு கணித விற்பன்னர்கள் இந்த பகா எண்கள் குறித்த விடை காணும் முயற்சியாக ஒரு ஆராய்ச்சிக் கட்டுரையை வெளியிட்டார்கள்.ஆனால் அதில் பிழை இருப்பதாக சுட்டிக் கட்டப்பட்டது. அதன் பிறகு அந்த இரண்டு கணிதவியலாளர்களுடன் மேலும் ஒரு கணித ஆராய்ச்சியாளர் சேர்ந்து அந்த பிழையைச் சரிசெய்து வேறு கட்டுரையை வெளியிட்டார்கள். அதற்கு பிறகு இந்தக் கணக்கில் ஆராய்ச்சி செய்தவர்கள் இந்த இரண்டாவது ஆராய்ச்சிக் கட்டுரையை முன்வைத்து தங்கள் ஆராய்ச்சியைத் தொடர்ந்தார்கள். ஆனால் ஜேம்ஸ் மாற்றி யோசி என்பதற்கு இணங்க பிழையாக வெளியிடப்பட்ட கட்டுரையை கையிலெடுத்தார். அதில் பயன்படுத்திய உத்தியில் என்ன மாற்றம் செய்யலாம் என சிந்தித்ததின் விளைவு தான் இந்த இறுதி முடிவு. இதே நேரத்தில் டெரென்ஸ் டௌ இதே போல் சிந்தித்து தனியாக இதே விடையைக் கண்டறிந்தது கவனிக்க வேண்டியது.

இதுவரை கட்டுரையில் கூறியவற்றைத் தொகுக்கலாம்:

இயல் எண்களில் பகா எண்கள் எண்ணிலடங்காதளவு (infinite) இருக்கின்றன. பகா எண்கள் எந்த ஒழுங்கும் இல்லாமல் இயல் எண் நேர்கோட்டில் அமர்ந்திருக்கின்றன. இயல் எண் நேர்கோட்டில் தொடர்ந்து பயணித்தால் பகா எண்களைக் காண்பது அரிதாகிறது. அதே சமயம் அடுத்தடுத்த ஒற்றைப் படை எண்கள் பகா எண்களாகத் தொடர்ந்து இருப்பதற்கான எல்லா அறிகுறிகளும் இருந்தும், அதை நிரூபிக்க முடியவில்லை. குறைந்த பட்சம் ஒரு குறிப்பிட்ட அளவிலான எண் வித்தியாசத்தில் தொடர்ந்து இயல் எண் நேர்கோட்டில் பகா எண்களைக் கண்டறிய முடியுமா என்ற கேள்விக்குதான் சாங் மற்றும் ஜேம்ஸ் விடை கொடுத்துள்ளார்கள். மூன்று படிகளில் தங்கள் முடிவை நிறுவியுள்ளார்கள்.

1. வடிகட்டுதல் (sieve) முறையை பயன்படுத்துவது.

2. எத்தனை எண்களைக் கொண்ட கணம் தேவைப்படும் (set of numbers)

3. அந்த எண்களால் ஆன கணத்தை எப்படி கட்டமைப்பது?

சாங் மற்றும் ஜேம்ஸ் நிரூபணங்களில் பயன்படுத்திய முக்கிய உத்தி வடிகட்டுதல் (sieve) எனலாம். வடிகட்டுதல் எனில் இயல் எண்களில் எந்தெந்த எண்கள் வேலைக்காகாது எனப் பார்த்து அவைகளை நீக்கி விட்டால், எஞ்சியுள்ள எண்கள் பகா எண்களாக இருக்கும். குறிப்பாக இரண்டைத் (2) தவிர எல்லா இரட்டைப் படை இயல் எண்களையும் நீக்கி விடலாம். அப்படியெனில் மீதமுள்ள இயல் எண்களில் எந்த மாதிரி எண்களால் ஆன கணத்தையும் (set of integers) எடுத்துக் கொண்டு அதில் பகா எண்கள் இருக்கின்றனவா எனப் பார்க்கலாம். ஆனால் அந்த மாதிரி கணத்தை கண்டறிவது மிகச் சாதுர்யமாகச் செய்ய வேண்டியது. அதைத் தான் சாங் மற்றும் ஜேம்ஸ் செய்துள்ளார்கள்.

உதாரணமாக n>3 எனும் எந்த ஒற்றை படை எண்ணை எடுத்துக் கொண்டாலும், n,n+2,n+4 என்ற மூன்று எண்களில் ஒரு எண் நிச்சயமாக 3 ஆல் வகுபடும்.குறிப்பாக 5, 7,9 என எடுத்தால் 9 என்ற எண் 3 ஆல் வகுபடுவதைக் காணலாம்.அதே போல் n,n+6,n+12,n+18,n+24 எண்களில் ஏதாவது ஒரு எண் 5 ஆல் வகுபடுவதைக் காணலாம். இப்போது n,n+2,n+6 எனும் எண்களை எடுத்துக் கொண்டால் இதில் வரும் எண்களுக்கு எந்த பொதுவான வகுபடும் விதியும் இல்லை. எனவே எந்த கணத்தை எடுத்துக் கொள்வது எனக் கண்டறிவது கடினம். இதையே சற்று எளிய முறையில் விளக்கப் பார்ப்போம்.

ஜேம்ஸ் என்ன செய்தார் என்றால் 105 எண்களைக் கொண்ட கணம் தேவைப்படும் என நிறுவினார். அந்த கணத்தில் வரும் எண்களை சில குறிப்பிட்ட மாறுபடும் இடைவெளியில் எடுத்துக் கொண்டார். அதாவது n,n+10,n+12,n+24,….n+600 என இருக்குமாறு கணத்தின் எண்களை எடுத்துக் கொள்ள வேண்டும். இதில் n இன் மதிப்பு இயல் எண்களில் வேறுபட, வேறுபட வெவ்வேறு 105 எண்களைக் கொண்ட கணங்கள் கிடைக்கும் . எண்ணிலடங்காத n – இன் மதிப்புகளுக்கு (infinite number of values of n) முறையே கிடைக்கும் 105 எண்களைக் கொண்ட கணங்களில் இரண்டு பகா எண்களை நிச்சியம் காண முடியும். உதாரணமாக, 15,25,27,39,43,45,………609,613,615 எனும் 105 எண்களைக் கொண்ட கணத்தில் இரண்டு பகா எண்கள் இருப்பதைக் காணலாம். இங்கு இடைவெளி என்பது இந்த கணத்தில் இருக்கும் மிகப் பெரிய மற்றும் மிகச் சிறிய எண்ணிற்கான் வித்தியாசம். இங்கு அந்த வித்தியாசம் 600 என இருப்பதைக் காணலாம். இதைத்தான் சாங் 3,500,000 எண்கள் கொண்ட கணமாகவும், பெரிய மற்றும் சிறிய எண்ணிற்குமான இடைவெளி 70 மில்லியன் எனவும் நிரூபணம் கொடுத்திருந்தார். இங்கு தான் சாங் மற்றும் ஜேம்ஸின் ingenuity பாராட்டப்பட வேண்டியது.

அதாவது இயல் எண் நேர்கோட்டில் பயணித்துக் கொண்டேயிருந்தால் இரண்டு பகா எண்கள் இருக்குமாறு 105 எண்களைக் கொண்ட வெவ்வேறு கணங்களை தொடர்ந்து முடிவில்லாமல் கடந்து சென்று கொண்டே இருக்கலாம் இப்போது இரண்டு பாதைகளில் இரட்டை பகா எண்கள் குறித்த விடையை நிரூபிக்க பயணம் செய்ய ஏதுவாக உள்ளது. இந்த இரண்டு பாதையையும் இணைத்து மேலும் இந்த இடைவெளியைக் குறைக்க முடியுமா என கணித ஆராய்ச்சியாளர்கள் முயன்று வருகிறார்கள்.

ஆனாலும் ஜேம்ஸ் “இந்த உத்தி இரட்டைப் பகா எண்கள் குறித்த கேள்விக்கு முழு விடையைக் கொடுக்க முடியாது. அதற்கு மேலும் சில கணித உபகரணங்கள் தேவைப்படுகிறது” எனக் கூறியுள்ளார். ஜேம்ஸ் கொடுத்த நிரூபணம் இரண்டுக்கு மேற்பட்ட பகா எண்களைக் கண்டறியவும் உதவக் கூடியது.

எண்கணிதத்தில் ஏற்பட்டுள்ள இந்த முன்னேற்றமானது பொன்னால் பொறிக்கப் பட வேண்டியது என்பதில் சந்தேகமில்லை

இதுபோன்ற கணிதக் கட்டுரைகள் படிக்கும் ஒரு சிலரது கேள்வி, இதனால் சமுதாயத்திற்கு என்ன பயன் என்பது தான். அதற்கு பதில் கணித மேதை G.H. ஹார்டி அவர்கள் கூறிய

“I am interested in mathematics only as a creative art.” என்பது தான்.

மேற்கோள்கள்:

1. http://www.wired.com/wiredscience/2013/11/prime/all/

2.http://terrytao.wordpress.com/2013/12/08/polymath8b-iii-numerical-optimisation-of-the-variational-problem-and-a-search-for-new-sieves/

கணிதமேதை சுப்பையா சிவசங்கரநாராயண பிள்ளை

கணிதம் என்றாலே பலருக்கும் இந்தியாவில், குறிப்பாக தமிழ்நாட்டில், நினைவில் தோன்றுவது கணித மேதை ராமானுஜனின் பெயர் என்பதில் சந்தேகமில்லை.ராமானுஜன் என்ற கணித மேதையின் சூரிய ஒளியை ஒத்த பிரகாசத்தில் அவருக்குப்பின் வந்த இந்திய கணித நட்சத்திரங்கள் கண்டுகொள்ளப்படவில்லை. இசை மற்றும் விளையாட்டு உலகில் இருப்பது போல் “Hall of Fame” என முதன்மையான இந்தியக் கணித அறிஞர்களைத் தேர்ந்தெடுத்தால் அதில் தமிழ்நாட்டிலிருந்து எஸ்.எஸ். பிள்ளை அவர்கள் சந்தேகமில்லாமல் இடம் பெறுவார். ராமானுஜன் லண்டன் சென்று கணித ஆராய்ச்சி மேற்கொள்ள உதவிய ஹார்டி, ”ராமானுஜனுக்குப் பிறகான சிறந்த இந்தியக் கணித மேதை பிள்ளை அவர்கள்தான்” எனக் கூறியுள்ளது பிள்ளை அவர்களின் திறமையை பறைசாற்றுவதாக அமைகிறது.



எஸ்.எஸ்.பிள்ளை 1901 ஆம் ஆண்டு நெல்லை மாவட்டத்தில் இருக்கும் குற்றாலத்திற்கு அருகில் உள்ள வல்லம் என்ற ஊரில் பிறந்தார். ஒரு வயதில் தன் தாயை இழந்தார்.பள்ளி இறுதி ஆண்டில் தன் தந்தையையும் இழந்து துன்பப்பட்ட சமயம் சாஸ்திரியார் என்ற ஆசிரியர் இவரை ஆதரித்து ஊக்கம் கொடுத்தார். பிறகு நாகர்கோயில் ஸ்காட் கிறிஸ்டியன் கல்லூரியில் தனது புகுமுகப்பு வகுப்பு (intermediate class) படித்து விட்டு, திருவனந்தபுரத்தில் இருந்த மஹாராஜா கல்லூரியில் தன் பட்டப் படிப்பை முடித்தார். சென்னை பல்கலைக்கழகத்தில் கணித ஆராய்ச்சிக்கான ஸ்காலர்ஷிப் கிடைக்கப் பெற்று, அப்போது புகழ் பெற்ற கணித பேராசியர்கள் ஆனந்த ராவ் மற்றும் வைத்தியநாதஸ்வாமியுடன் இணைந்து எஸ்.எஸ்.பிள்ளை கணித ஆராய்ச்சியில் ஈடுபட்டார். பின்னர் அண்ணாமலை பல்கலைத்தில் (1929-1941 ) பணிபுரியும்போது தொடர்ந்து எண்கணிதம் என்ற கணிதப் பிரிவில் தன் ஆராய்ச்சியை மேற்கொண்டார்.

இந்த ஆராய்ச்சியில் அவர் அடைந்த உயரங்கள் பிரமிக்கத்தக்கவை. கணிதத்தில் அன்றிருந்த மெட்ராஸ் பல்கலைக் கழகத்தில் D.Sc பட்டம் பெற்ற முதல் கணிதவியலாளர் பிள்ளை அவர்கள்தான். பிள்ளை அவர்கள் வாழ்க்கை முறை மிகவும் எளிமையானது. பிள்ளை அவர்களுக்கு கோட்டு, டை போடுவது கூட பிடிக்காது. தன் வீட்டிற்கு வரும் வெளிநாட்டு விருந்தினருக்கும் இலை போட்டு தரையில் அமர்த்தி தமிழ் முறைப்படி தான் உணவு உபசரிப்பு நடக்குமாம. ஆனால் இவர் எந்தப் புகழுக்கும் ஆசைப்பட்டவரில்லை. எந்த ஒரு கணிதம் மற்றும் அறிவியல் கழகங்களில் உறுப்பினராகக் கூட இருந்ததில்லை என்பது குறிப்பிடத்தக்கது.

பிள்ளை அவர்கள் பெயரை C.V ராமன் அவர்கள் இந்திய அறிவியல் கழகத்தின் ஃ’பெல்லோஷிப்பிற்கு பரிந்துரைத்தற்கான கடிதம் ஒன்று இருக்கிறது. K. ராமச்சந்திரா என்ற கணிதவியலாளர் ஒரு முறை இந்தியக் கணித வரலாற்று நிபுணர் ஒருவரிடம் உரையாடும்போது அவர் பிள்ளை அவர்களை அறிந்திருக்கவில்லை என்பது ஆச்சரியமாக இருந்ததாகக் கூறியுள்ளார். துரதிருஷ்டவசமாக 1950 ஆம் ஆண்டு அமெரிக்காவிலுள்ள பிரின்ஸ்டன் பல்கலைக் கழகத்தில் நடைபெற்ற மாநாட்டிற்கு செல்லும் போது கெய்ரோவில் நடந்த விமான விபத்தில் உயிரிழந்தார். அது இந்தியக் கணிதத் துறைக்கு மிகப் பெரிய இழப்பு என்பதில் சந்தேகமேயில்லை.

 OoO

 ராமானுஜனுக்கு அடுத்தத் தலைமுறையில் வந்த இந்தியக் கணித மேதைகளான பிள்ளை மற்றும் சர்வதமன் சௌலா இருவரும் மிக முக்கியமானவர்கள். 1929 ஆம் ஆண்டு தொடங்கிய இந்த இருவருக்குமான கடிதத் தொடர்பு, பிள்ளை அவர்களின் எதிர்பாராத மரணம்வரை தொடர்ந்தது. சௌலா எழுதிய ஒரு கடிதத்தில் 175,95,9000 என்ற எண்தான் மூன்று வெவ்வேறு முறையில் இரண்டு முப்படி நேர் முழு எண்களின் கூட்டுத் தொகையாக (sum of two cubes in three different ways) எழுதப்படக்கூடிய மிகச் சிறிய எண் என்ற சுவையான தகவலைத் தந்துள்ளார். ராமானுஜனின் 1729 (sum of two cubes in two different ways) என்ற எண்ணுக்கான சிறப்பின் தொடர்ச்சியாக இதைக் கொள்ளலாம்.

 பிள்ளை அவர்களின் அதிகபட்ச எண்கணிதஆராய்ச்சி முடிவுகள் டியொஃபாண்டஸின் (Diophantus of Alexandria) சமன்பாடுகள் குறித்த கேள்விகளுக்கான விடைகளை முன் எடுத்துச்செல்வதில் இருந்தது. மேலும் விகிதமுறா எண்களிலும் (irrational numbers) இவர் ஆராய்ச்சி மேற்கொண்டுள்ளார். எண் கணிதத்தில் ராமானுஜன் கொடுத்த ஒரு முடிவை பிள்ளை அவர்கள் மேலும் விரிவுபடுத்தி குறிப்பிட்ட டியோஃபாண்டஸின் சமன்பாடுகளுக்கு முழுத்தீர்வு கொடுத்துள்ளார். பிள்ளை அவர்கள் ஊகித்த ஒரு கணக்கு இன்றளவிலும் திறந்த கணக்காக, முடிவு கிடைக்காத ஒன்றாக உள்ளது என்பது குறிப்பிடத்தக்கது.

இந்திய அறிவியல்கூட்டமைப்பில் 1949 ஆம் ஆண்டுப் பேசும் போது பிள்ளை அவர்கள் கூறியது
 ”The audience may be a little disappointed at the scanty reference to Indian work. _ _ _ However, we need not feel dejected. Real research in India started only after 1910 and India has produced Ramanujan and Raman”

அந்த ராமானுஜன் மற்றும் ராமன் அவர்களின் வழித் தோன்றலாகப் பிள்ளை அவர்களை இன்று பார்ப்பதே சரியான அணுகுமுறையாகும்.பிள்ளை அவர்களுக்கு உரிய இடத்தைத் தமிழக மற்றும் மத்திய அரசும் கொடுப்பது அவருக்குச் செய்யும் பெரிய நன்றிக் கடனாக இருக்கும் என்பதில் ஐயமில்லை. கணித ஆராய்ச்சி எண் கணிதத்தில் கேட்கப்படும் கேள்விகள் சுலபமாக இருக்கும்.ஆனால் விடை காண்பது எளிதாக இருக்காது. பிள்ளை அவர்கள் எண் கணித ஆராய்ச்சியில் தீர்வு கண்ட சில கேள்விகளை இப்போது பார்ப்போம்.

நமக்குப் பகா எண்கள் (prime numbers) என்றால் தெரியும். 2,3,5,7,11,13,17,19,… இவை பகா எண்கள். சார்புப் பகா எண்கள் (relatively prime numbers) என்றால் என்ன? இரண்டு எண்களுக்கான அதமப் பொது மடங்கு (அ.பொ.ம – Greatest Common Factor) 1 எனில் அந்த எண்களைச் சார்புப் பகா எண்கள் என அழைக்கிறோம். உதாரணத்துக்கு, 12 மற்றும் 21 என்ற இரண்டு எண்களுடையே அ.பொ.ம 3. ஆனால் 16 மற்றும் 21 என்ற எண்களிடையே அ.பொ.ம 1. எனவே 16 மற்றும் 21 சார்புப் பகா எண்களாகும். . (இங்கே இதைச் சோதித்தறியலாம்)

அடுத்தடுத்த எண்களுக்குப் பொதுவான காரணி இருக்காது. எனவே அந்த எண்களின் அ. பொ.ம 1. உதாரணமாக 8 மற்றும் 9 என்ற எண்களை எடுத்துக் கொள்ளலாம். 8, 9 சார்புப் பகா எண்களாகும். இதே போல் 8,9,10 என்று மூன்று அடுத்தடுத்த எண்களை எடுத்துக் கொண்டால் நடுவிலுள்ள எண்ணான 9 என்ற எண் 8 மற்றும் 10 க்கு சார்புப் பகா எண்ணாகும். இப்போது 8,9,10,11 என்ற நான்கு அடுத்தடுத்த எண்களில் 9 மற்ற எண்களுக்குச் சார்புப் பகா எண்ணாக இருக்கும். இது போல் அடுத்தடுத்து (consecutive) இருக்கும் எந்த 16 முழு எண்களை எடுத்துக் கொண்டாலும் எப்போதுமே அந்த 16 எண்களில் ஒரு எண்ணை மற்ற எண்களுக்குச் சார்புப் பகா எண்ணாக இருக்கும்படி கண்டறிய முடியும்.

 இந்த முடிவை 1940 ஆம் ஆண்டு s.s. பிள்ளை அவர்கள் நிறுவினார். இதோடு நில்லாமல் இதற்கு அடுத்து பிள்ளை அவர்கள் நிறுவிய முடிவு தான் சுவையானது. அதாவது, அடுத்தடுத்து இருக்கும் எந்த 17 முழு எண்களை எடுத்துக் கொண்டாலும் எப்போதுமே அந்த 17 எண்களில் ஓர் எண்ணை மற்ற எண்களுக்குச் சார்புப் பகா எண்ணாக இருக்கும்படி கண்டறிய முடியாது என்பதை நிறுவினார். உதாரணமாக 2184, 2185, 2186, 2187, 2188…..2200 முடிய இருக்கும் 17 எண்களில் ஒர் எண்ணை மற்ற எண்களுக்குச் சார்புப் பகா எண்ணாகக் கண்டறிய முடியாது.

 பிள்ளை அவர்களின் இந்த முடிவானது டியாஃபாண்டஸின் சமன்பாடு ஆராய்ச்சிகளில் முக்கியப் பங்காற்றியுள்ளது என்பது குறிப்பிடத்தக்கது – இந்தச் சமன்பாட்டுக்கான ஒரு எளிய அறிமுகம் இங்கே இருக்கிறது : ஹில்பர்ட்டின் பத்தாம் கணக்கு.

 பிள்ளை அவர்களின் மிக முக்கியப் பங்களிப்பு வாரிங் கணக்கு என்ற புகழ் பெற்ற கணக்கிற்கு அவர் கண்ட தீர்வு எனக் கூறலாம். கணிதத்தின் நுழைவாயில் இயல் எண்கள். அதாவது
 1,2,3,4,5….6,7,8,9,10…. என முடிவில்லாமல் தொடரும் எண்கள். இயற்கையில் இருக்கும் அழகை கவிஞன் ரசித்து அழகான கவிதைகளை உருவாக்குகிறான்.அதே போன்று கணிதவியலாளர்கள் கவிதை அழகியலை ஒத்த இயலை, எண்களுக்குள் மறைந்திருக்கும் மர்மங்களாக வெளிக்கொணர்கிறார்கள்.

லக்ராஞ்ச் (1770) இயல் எண்களைக் குறித்த ஒரு முடிவை முன்வைத்தார். அது என்ன என்று முதலில் பார்ப்போம் . நமக்கு வர்க்க எண் என்றால் தெரியும். அதாவது 1 X 1=1^2=1, 2X 2=2^2=4, 3X 3=3^2=9…….
 எனவே 1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,……எனத் தொடர்வன வர்க்க எண்களாகும். லக்ராஞ்ச் என்ன சிந்தித்தார் எனில், ஒவ்வொரு இயல் எண்ணையும் வர்க்க எண்களின் கூட்டுத்தொகையாக எழுத முடியுமா?அப்படிச் செய்ய முடிந்தால் அதிகபட்சம் எத்தனை வர்க்க எண்ணின் கூட்டுத் தொகையாக எழுத முடியும் என ஆராய்ந்தார். இந்தக் கேள்விக்கு விடையாக வரும் எந்த ஓர் இயல் எண்ணும் ஒன்று அதுவே வர்க்க எண்ணாக இருக்கும். அப்படி அது வர்க்க எண்ணாக இல்லாத பட்சத்தில் இரண்டு, மூன்று அல்லது அதிகபட்சம் நான்கு வர்க்க எண்களின் கூட்டுத் தொகையாக இருக்கும் என அவர் நிறுவினார்

 உதாரணமாக 4 ஒரு வர்க்க எண். 5=2^ 2+1^ 2. இவ்வாறு 5 என்ற எண்ணை இரண்டு வர்க்க எண்களின் கூட்டுத் தொகையாக எழுத முடிகிறது.அதே போன்று 6= 2^ 2+1^ 2+1^ 2 என்று மூன்று வர்க்க எண்களின் கூட்டுத் தொகையாக 6 ஐ எழுத முடிகிறது. ஆனால் 7=2^ 2+1^ 2+1^ 2+1^ 2.இங்கு 7 க்கு நான்கு வர்க்க எண்களின் கூட்டுத்தொகை தேவையாகிறது.

இப்போது ஒரு கேள்வி எழலாம்.அது என்ன எந்த இயல் எண்ணையும் வர்க்க எண்ணின் கூட்டுத் தொகையாக மட்டும் எழுதுவது. ஏன் முப்படி எண்கள் (cubes), கூட்டுத் தொகையாக எழுத முடியாதா? அப்படி எழுத முடிந்தால் அதிகபட்சம் எத்தனை முப்படி எண்களின் கூட்டுத் தொகையாக எழுத முடியும் எனவும் யோசிக்கத் தோன்றுகிறது. அதே போல் நான்கு படி எண்கள் (fourth power), ஐந்து படி, ஆறு படி என இந்த முடிவைத் தொடர முடியுமா எனவும் சிந்திக்கத் தோன்றுகிறது.

இதைத் தான் எட்வர்ட் வாரிங் (1736-1798) ஒவ்வொரு முழு எண்ணும், ஒன்று முப்படி எண்ணாக இருக்கும் (third power or cube), அல்லது இரண்டு, மூன்று,….என அதிக பட்சமாக ஒன்பது முப்படி எண்களின் கூட்டுத் தொகையாக இருக்கும் என்றார். அதே போல் ஒவ்வொரு முழு எண்ணும் நான்கு படி எண்ணாக இருக்கும் (fourth power), இல்லையெனில் இரண்டு, மூன்று …..என அதிக பட்சமாக பத்தொன்பது நான்கு படி எண்களின் கூட்டுத்தொகையாக இருக்கும் என ஊகித்திருந்தார். இதே போன்று மற்ற அடுக்குகளுக்கும் முடிவுகள் கொடுக்க முடியும் எனவும் ஊகித்திருந்தார். உதாரணமாக,
 23 = 2^3 + 2^3+1^3+1^3+1^3+1^3+1^3+1^3+1^3 என்பதைக் காணலாம்.(2^3 = 2X2X2)
மேலும், 79 = 2^4+ 2^4+2^4+2^4+1^4+1^4+1^4+1^4+1^4+1^4+1^4+1^4+1^4+1^4+1^4+1^4+1^4+1^4+1^4.

 பிள்ளை அவர்கள் எந்த ஒரு முழு எண்ணையும் அதிகபட்சமாக 73 ஆறுபடி எண்களின் கூட்டுத் தொகையாக (maximum of sum of 73 sixth powers) எழுதமுடியும் என நிறுவினார். 2^6=64 எனக் காண்பது எளிது.
 எனவே 703 = 2^6 X10 + 63 x 1^6.இதிலிருந்து 703 என்ற எண்ணை ஆறுபடி எண்களின் கூட்டுத் தொகையாக எழுத 73 ஆறுபடி எண்கள் தேவைப் படுகிறது என்பது தெளிவாகிறது.

இதைத் தொடர்ந்து எந்த ஒரு முழு எண்ணையும் அதிகபட்சம் 19 நான்கு படி எண்களின் கூட்டுத் தொகையாக எழுத முடியும் என 1986 ஆம் ஆண்டு நிறுவியதில் சென்னையிலுள்ள இந்தியன் மேதமேடிகல் நிறுவனத்தின் டையரக்டராக இருக்கும் R. பாலசுப்ரமணியன் அவர்களுக்கு முக்கியப் பங்கு இருந்தது என்பது நினைவில் கொள்ள வேண்டிய ஒன்று.

மேலும் பிள்ளை அவர்கள் அடுக்கு எண்கள் தொடர்பாக ஓர் ஊகத்தைக் கொடுத்துள்ளார்.
 முதலில் அடுக்கு எண் என்றால் என பார்ப்போம் .
 1X 1 = 1^ 2 =1
 2X 2 = 2^ 2 =4
2X 2X 2 =2^ 3 =8
 3X 3 = 3^ 2=9
4X 4 = 4^ 2=16
 3X 3X 3 = 3^ 3=27 …
 1,4,8,9,16,27,36,49,64,81,100,121,128,144,…..என்பவைகளை அடுக்கு எண்கள் (perfect powers) என்கிறோம்
 1,4,8,9,16,25,27,32,36,49,64,81,100,121,125,128…..எனத் தொடரும் அடுக்கு எண்களுக்குக்கிடையே ஆன வித்தியாசத்தைப் பற்றிய ஊகத்தைத் தான் கொடுத்துச் சென்றுள்ளார் அவர்
 இந்தத் தொடரில் அடுத்ததடுத்து வரும் எண்களின் வித்தியாசத்தைப் பார்ப்போம்
. 9-8 = 1,
27-25= 2,
 4-1=3,128-125=3,
 8-4 = 4, 36-32=4,
32-27=5,…என வருவதைக் காணலாம்.

 இதில் 3 என்ற வித்தியாசம் இது வரை இரண்டு முறை வந்திருக்கிறது.அதே சமயம் 4 என்ற வித்தியாசம் மூன்று முறை வந்திருக்கிறது.இது போல் எந்த ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணை எடுத்தாலும் அது இரண்டு அடுத்தடுத்த அடுக்கு எண்களின் வித்தியாசமாக எண்ணக் (finite number of times) கூடிய அளவில் தான் வரும். அதாவது 100,200 என ஒரு குறிப்பிட்ட அளவில் தான் வரும். எண்ணிலடங்காத முறை எந்த எண்ணும் இந்தத் தொடரில் இரண்டு அடுத்தடுத்த எண்களின் வித்தியாசமாக வர முடியாது என ஊகித்துள்ளார். இது வரை 1 வித்தியாசமுள்ள அடுத்தடுத்த அடுக்குத் தொடர் எண்கள் 8 மற்றும் 9 மட்டும் தான் என்பதை நிரூபித்துள்ளார்கள். மேலும் விடை காண ஆராய்ச்சி தொடர்ந்து நடந்து வருகிறது. மனித இனத்தின் முடிவில்லாத தேடலில் தொடரும் ஒரு பகுதியே இது.

 மேற்கோள்கள்: B Sury, ‘S S Pillai’, Resonance, Vol.9, No.6, pp.2-3, 2004.

சொல்வனத்தில் வெளியான என் கட்டுரை