சொல்வனம் இணைய இதழ் தொடங்கி நான்கு ஆண்டுகள் நிறைவு பெற்று ஐந்தாம் ஆண்டில் அடியெடுத்து வைத்துள்ளது. சொல்வன ஆசிரியர் குழுவிற்கு என் மனமார்ந்த வாழ்த்துக்கள்.இந்தக் கட்டுரையும் சொல்வனம் 88 இதழில் வெளி வந்தது தான்.என் கட்டுரைகளை தொடர்ந்து வெளியிடும் சொல்வனம் ஆசிரியர் குழுவிற்கு என் நன்றிகள்,
சென்ற மே மாதம், 13ஆம் நாளன்று ஹார்வர்டு பல்கலைக்கழகத்தில் கணிதத் துறையின் ஒரு திருப்புமுனைத் தருணம் வெளிச்சத்துக்கு வந்தது. “திகைப்பாக இருக்கிறது,” என்றார் சான் ஹோசே ஸ்டேட் பல்கலைக்கழகத்தைச் சேர்ந்த டானியல் கோல்ட்ஸ்டைன், “இந்தக் கணக்குக்கு எவராலும் தீர்வு காண முடியாது என்று எல்லாரும் நினைத்திருந்தோம்.”
“இது ஆட்டத்தின் விதிகளை மாற்றுகிறது. இது போன்ற ஒரு புதிய தீர்வை அறிந்தபின் இதுவரை கடினமாக இருந்த கேள்விகள் புதிய அந்தத் தீர்வின் சிறு நீட்சிக்குள் வசப்பட்டு விடுகின்றன,” என்றார் மான்ட்ரியால் பல்கலைக் கழகத்தைச் சேர்ந்த எண்கணிதக் கோட்பாட்டாளர் ஆண்ட்ரூ கிரான்வில்.
கணிதத்துறையில் பல்லாண்டுகளாகத் தீர்வு காணப்படாமல் இருக்கும் கணக்குகளைத் திறந்த கணக்குகள் (open problems) என்று சொல்வதுண்டு. முடிந்த கணக்குகளைப் போலல்லாமல் இந்தக் கணக்குகள் கணிதவியலாளர்களுக்கான புதிரைத் திறந்தே வைத்துள்ளன. ஆம், ஆராய்ச்சியாளர்களைப் பொருத்தவரை தீர்வு காணப்பட்ட கேள்விகள் ஆயிரமாயிரம் புதிய வாசல்களைத் திறக்கின்றன. ஆனால் தீர்வு கண்டறியாத திறந்த கணக்குகள் புதிய சிந்தனைப் பாதைகளை அமைத்து மானுட அறிவை அடுத்த கட்டத்திற்கு நகர்த்த உதவுகின்றன.
பொதுவாக இப்படிப்பட்ட கணக்குகளுக்கு ஹார்வர்ட், பிரின்ஸ்டன், ஸ்டான்ஃபோர்ட், எம் ஐ டி, கால்டெக், ஆக்ஸ்ஃபோர்ட் போன்ற புகழ் பெற்ற பல்கலைக்கழகங்களில் தீவிர ஆராய்ச்சியில் ஈடுபட்டுள்ள கணிதப் பேராசிரியர்கள்தான் விடை காண்பதுண்டு. ஆனால் கணித ஆராய்ச்சியில் முழு மூச்சுடன் செயல்படுவதாக அறியப்படாத நியூ ஹாம்ப்ஷயர் (New Hampshire) பல்கலைக்கழகத்தைச் சேர்ந்த பேராசிரியர் ஒருவர் இவ்வாண்டு இதுபோன்ற ஒரு புதிருக்குப் புதிய ஒரு தீர்வைக் கண்டறிந்தார். அவர், நீண்ட வருடங்களாக தீர்வு காண முடியாமல் இருந்த அப்படிப்பட்ட ஒரு கணக்கிற்குத் தான் கண்டுபிடித்த தீர்வை கணித ஆராய்ச்சிக் கட்டுரைகள் வெளியிடும் பிரபலமான ஒரு ஜர்னலுக்கு அனுப்பினார்.
இது போன்று பலர், தீர்வு காணப்படாமல் இருக்கும் கணக்குகளுக்குச் சிறிது கூடப் பொருத்தமில்லாத, தவறான பல தீர்வுகளைக் கட்டுரைகளாக எழுதி அனுப்புவது நடைமுறை. ஆனால் இந்தக் கட்டுரை மிகவும் நேர்த்தியாகவும், பொருள் பொதிந்தும் இருக்கவே, அதை அந்தத் துறையைச் சேர்ந்த இரண்டு நிபுணர்கள் உடனடியாகப் படித்து தீர்வின் நம்பகத் தன்மையை உறுதி செய்தனர். அந்த நிரூபணத்தைக் கொடுத்தவர் சீன நாட்டைச் சேர்ந்த யீடாங் சாங் (Yitang Zhang). அவர் இதற்கு முன் 2001 ஆம் ஆண்டில் கணித ஆராய்ச்சிக் கட்டுரை ஒன்று வெளியிட்டதோடு சரி. அதன் பின் அவர் ஆராய்ச்சியில் ஈடுபட்டிருக்கிறார் என்பதே கணிதத் துறையில் எவருக்கும் தெரியாது. [1]
சக கணித ஆராய்ச்சியாளர்களுடன் எந்தவிதத் தகவல் தொடர்பும் இல்லாமல் தன்னிச்சையாக இந்த ஆராய்ச்சியை மேற்கொண்டு தீர்வு கண்டிருக்கிறார் யீடாங் சாங். தன் நண்பருடன் இசைக் கச்சேரிக்குச் செல்லக் காத்திருந்த ஒரு மாலைப் பொழுதில், கிளம்புவதற்கு முப்பது நிமிடங்கள் இருந்த அவகாசத்தில், இந்தக் கணிதத் தீர்வுக்கான முக்கிய யுக்தி அவருக்குப் புலப்பட்டிருக்கிறது.
கணிதம் இளைஞர்களுக்கான விளையாட்டுக் களம் என்றுதான் பொதுவாகச் சொல்வதுண்டு. ஆனால் சாங் தனது 50ஆவது வயதில் இந்தச் சாதனையைச் செய்துள்ளார். இவ்வாண்டு மே மாதம் 13 ஆம் தேதி ஹார்வேர்ட் பல்கலைக் கழகத்தின் அழைப்பை ஏற்று தன் ஆராய்ச்சி முடிவையும், அதை அடைந்த விதத்தையும் குறித்து அங்கு அவர் உரையும் நிகழ்த்தியுள்ளார்.
முனைவர் தேர்ச்சி பெற்றபின் வேலையின்றித் தவித்த யீடாங் சாங் பல ஆண்டுகள் கணக்கராகவும், ந்யூ யார்க் நகர உணவகம் ஒன்றின் வாடிக்கையாளர்களுக்கு உணவு கொண்டு சென்று தருபவராகவும், கென்டக்கி மாநிலத்தில் ஒரு மோட்டலிலும், அதன் பின் சப்வே சாண்ட்விச் கடையிலும் பணியாற்றிய பின்னரே ந்யூ ஹாம்ப்ஷையர் பல்கலைக்கழகத்தில் பகுதி நேர விரிவுரையாளராக நியமனம் பெற்றிருக்கிறார்.
OoO
சாங் பகா எண்களைப் பற்றிய ஒரு முக்கியமான கேள்விக்கு விடை கொடுத்துள்ளார். கணிதத்தில் எண் கணிதம் என்ற பிரிவில்தான் இவர் தனது ஆராய்ச்சியை மேற்கொண்டார். எண் கணிதத்தில் கேள்விகள் கேட்பது சுலபம். அதைப் பொது வாசகர்கள் புரிந்து கொள்வதும் எளிது. ஆனால் தீர்வு கண்டறிவதற்குள் உயிர் போய்விடும்.
உதாரணத்திற்கு ஒன்றிரண்டு கணக்குகளைப் பார்ப்போம். பிறகு சாங் இன்றடைந்துள்ள புகழுக்குக் காரணமான, அவர் தீர்வு கண்ட கணக்கைப் பார்ப்போம்.
நமக்கு கணிதத்தில் முதலில் சொல்லிக் கொடுப்பது அல்லது குழந்தைப் பருவத்தில் இயல்பாக நாம் அறிந்து கொள்வது 1, 2, 3, 4, 5……. என்னும் இயல் எண்கள்தான்(Natural Numbers) . இந்த இயல் எண்களில் சில எண்களுக்கு ஒன்று மற்றும் அந்த எண்ணைத் தவிர வேறு காரணிகள் இருக்காது. குறிப்பாக 7 என்ற எண்ணை எடுத்துக் கொள்வோம். இதற்கு 1 மற்றும் 7 தான் காரணிகள். அதாவது 7 = 1 x 7.அதே நேரத்தில் 9 க்கு 1,3,9 என மூன்று காரணிகள் உள்ளன. இங்கு 9 = 1 x 3 x 3. இரண்டு காரணிகளே உள்ள இயல் எண்களை பகா எண்கள் (Prime Numbers) என்கிறோம். 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 ……… என்ற தொடர் பகா எண் தொடராகும். இரண்டு காரணிகளுக்கு மேல் இருக்கும் இயல் எண்களைக் கலவை எண்கள் (composite numbers) என்று சொல்கிறோம்.
Distribution of primes up to 19# (9699690).
கொடுக்கப்படும் எந்த இயல் எண்ணையும் பகா எண்களின் பெருக்குத் தொகையாக எழுத முடியும். உதாரணமாக 12 = 2 x 2 x 3 என எழுதலாம். பகா எண்களை இயல் எண்களின் அடிப்படைக் கட்டுமானம் என்று கொள்ளலாம். இதனால்தான் பகா எண்களைக் குறித்து அறிந்து கொள்ளும் ஆர்வம் மனித சமுதாயத்திற்குத் தொடர்ந்து பல ஆயிரம் ஆண்டுகளாக இருந்து வருகிறது. கணிதத்தின் மூத்த பாட்டையா யூக்ளிட் 2000 ஆண்டுகளுக்கு முன்பே அட்சய பாத்திரம் போல் அள்ள அள்ளக் குறையாத எண்ணிக்கையில் பகா எண்கள் இயல் எண்களுள் இருக்கும் எனக் கண்டறிந்தார். அதாவது எண்ணிலடங்கா பகா எண்கள் இயல் எண்களில் இருக்கின்றன என்பதை நிறுவினார். இதற்கான மற்றொரு நிரூபணத்தை பின்னொரு காலத்தில் ஆய்லர்கொடுத்துள்ளார்.
முடிவில்லாப் பகா எண்கள் இருக்கின்றன என்ற உண்மை, கணிதவியலாளர்களைப் பகா எண்கள் குறித்துப் பல கேள்விகள் கேட்கத் தூண்டியது. குறிப்பாக இயல் எண்களில் பகா எண்களின் பரவுதல் (distribution) எப்படி இருக்கும் எனக் கண்டறியும் ஆர்வம் கணித ஆராய்ச்சியாளர்களைப் பற்றிக் கொண்டது. இதன் தொடர்ச்சியாகச் சுலபமாகக் கேட்கப்படக்கூடிய இரு கேள்விகளைப் பார்ப்போம்.
ஒவ்வொரு இரட்டைப் படை (even numbers) எண்ணையும் இரண்டு பகா எண்களின் கூட்டுத் தொகையாக எழுத முடியும் என்ற அனுமானம். அதாவது 8 = 3 + 5, 12 = 5 + 7, 16 = 5 + 11, 100 = 47 + 53 போன்றவை சில உதாரணங்கள்.
அடுத்ததாக (3,5), (5,7), (11,13), (17,19), (29,31), (41,43) போன்றவை இரட்டைப் பகா எண்கள் (Twin Primes) என்றழைக்கப்படுகின்றன. அதாவது அடுத்தடுத்த இரண்டு பகா எண்களுக்கான இடைவெளி 2ஆக இருக்குமானால், அவற்றை இரட்டைப் பகா எண்கள் என்கிறோம். இது போன்ற இரட்டைப் பகா எண்கள் இயல் எண்களில் முடிவில்லாமல் இருக்கின்றன என்பதுதான் அனுமானம். இதை “இரட்டைப் பகா எண்கள் குறித்த அனுமானம்” (Twin Prime Conjecture) என்கிறோம்.
முன்பு சொன்னதுபோல் எண் கணித அனுமானங்களைப் புரிந்து கொள்வது மிகச் சுலபம். ஆனால் இன்றுவரை இந்த இரண்டு அனுமானங்களும் தீர்வு பெறாமல் கணித ஆராய்ச்சியாளர்களை அலைக்கழித்துக் கொண்டிருக்கின்றன.
இனி, இயல் எண்களில் பகா எண்கள் எப்படி பரவியுள்ளன எனப் பார்ப்போம். முதல் நூறு இயல் எண்களில் 25 பகா எண்கள் உள்ளன. ஆனால் முதல் 1000 இயல் எண்களில் 168 பகா எண்களும், 10000 இயல் எண்களில் 1229 மற்றும் ஒரு லட்சத்தில் 9592 என்றும் இயல் எண்களில் பகா எண்களின் விகிதம் குறைந்து கொண்டே வருவதைக் காணலாம். அதாவது இயல் எண்களின் எண்ணிக்கை கூடக் கூட பகா எண்களின் எண்ணிக்கை குறைந்து கொண்டே வருகின்றன.
பகா எண் தேற்றம் (Prime Number theorem) இதைத் தான் கிட்டத்தட்ட கூறிவிடுகிறது. முடிவற்ற எண்ணிக்கையில் பகா எண்கள் இயல் எண்களில் இருந்தாலும், நீளமான தொடர் வரிசையாக கலவை எண்களும் அங்கிருக்கின்றன.
இதை மிகச் சுலபமாக நிறுவலாம். 2 முதல் 5 வரை எண்களைப் பெருக்குவதைக் கணிதத்தில் 5! எனக் குறிப்போம். அதாவது 120 = 2 X 3 X 4 X 5 = 5! இதைக் கொண்டு தொடர்ச்சியாக 5 கலவை எண்களை உண்டாக்க முடியும். அதாவது, 122, 123, 124, 125, 126. இதில் 122 இரண்டாலும், 123 மூன்றாலும், 124 நான்காலும், 125 ஐந்தாலும், 126 ஆறாலும் வகுபடுவதைக் காணலாம். இதே போல் தொடர்ச்சியாக 100 கலவை எண்கள் தேவையெனில் 101! + 2, 101! + 3, 101! + 4,….. ……. 101! + 100, 101! + 101 எனும் 100 எண்கள் கொடுக்கும் – (101! = 2 X 3 X 4 X 5 X 6 …….. 99 X 100 X 101).
இதெல்லாம் பகா எண்களின் பரவுதலை அறிவதற்கு சிறிது உதவினாலும், இரட்டைப் பகா எண்கள் அனுமானத்துக்குத் தீர்வு காண பெரிய அளவில் உதவுவதில்லை. சரி. இரட்டைப் பகா எண் அனுமானத்தைத்தான் தீர்க்க முடியவில்லை, கேள்வியைக் கொஞ்சம் மாற்றுவோம். இப்போது கேள்வி என்னவென்றால் எந்த ஒரு பகா எண்ணுக்கும் அடுத்து வரும் பகா எண்ணுக்கும் இடைவெளி எப்போதுமே ஒரு குறிப்பிட்ட, கணிக்கக்கூடிய எண்ணிற்கு உட்பட்டதாக, எண்ணிலடங்காத அளவில் மீண்டும் மீண்டும் வருமாறு (repeating infinite times) இருக்குமா என்பதுதான். அதாவது, அடுத்தடுத்த இரு பகா எண்களுக்கு இடையே உள்ள இடைவெளி இரண்டிற்கு பதிலாக ஒரு நிர்ணயிக்கப்பட்ட எண்ணிற்கான இடைவெளியில் முடிவில்லாமல் தொடர்ந்து வந்து கொண்டே இருக்குமா எனலாம்.
இதை கொஞ்சம் விரிவாகவும், பொறுமையாகவும் பார்ப்போம். 2 மற்றும் 3 என்கிற இரண்டு பகா எண்ணிற்கும் இடைவெளி ஒன்று தான். இது போல் வேறெந்த இரண்டு அடுத்தடுத்து வரும் பகா எண்களுக்கும் இடைவெளி ஒன்று இருக்க முடியாது. இப்போது 3 மற்றும் 5, 5 மற்றும் 7 போன்ற இரட்டை பகா எண்களுக்கு இடையே இருக்கும் இடைவெளி 2 ஆகும். [இதை பொதுப்படையாக p என்பது ஒரு பகா எண் மற்றும் p + 1 என்பது p க்கு அடுத்த பகா எண் எனில், (p, p + 1) < 3 எனலாம்.
இதைப் போன்று இரட்டைப் பகா எண்கள் முடிவில்லாமல் இயல் எண்களில் கிடைத்துக் கொண்டே இருக்கும் என்று நிறுவ முடிந்தால், நமது கேள்விக்கு விடை கிடைத்து விடும். இதற்கு தீர்வு இதுவரை கிடைக்காமல் இருக்கிறது. இது போகட்டும். இதுவரை ஒரு பகா எண் கிடைத்தால் அதற்கு அடுத்த பகா எண் கண்டறிய முடிவில்லாமல் தேடிக் கொண்டிருக்க வேண்டுமா அல்லது ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட (definite) எண்ணிரற்குள் கிடைத்து விடுமா என்றே சொல்ல முடியாமல் இருந்த்தது.
சாங் இதற்குத்தான் ஒரு தீர்வைக் கொடுத்திருக்கிறார். அதிகபட்சம் 70 மில்லியன் எண்களுக்குள் அடுத்தடுத்த பகா எண்களைத் தொடர்ந்து முடிவில்லாமல் கண்டறிய முடியும் என நிரூபித்தார். (There is some number N smaller than 70 million such that there are infinitely many pairs of primes that differ by N). பகா எண்களுள் எவ்வளவு ஆழச் சென்றாலும் அடுத்தடுத்து இருக்கும் இரண்டு பகா எண்களின் இடைவெளி 70 மில்லியனுக்குக் குறைவாக இருக்கும் வகையில் முடிவில்லாமல் அதாவது p என்பது ஒரு பகா எண் மற்றும் p + 1 என்பது p க்கு அடுத்த பகா எண் எனில், (p, p + 1) < 70 மில்லியன் என நிறுவியுள்ளார். இந்த இடைவெளியை (p, p + 1) < 5 மில்லியன் என்று கணித ஆராய்ச்சியாளர்கள் குறைத்து விட்டார்கள்.[2]
இனி, இரட்டைப் பகா எண் அனுமானத்தை நிரூபிக்க இரண்டு அடுத்தடுத்த பகா எண்களின் இடைவெளி 5 மில்லியன் என்று இப்போது இருப்பதிலிருந்து 2 என நிறுவ வேண்டும். அது மிகக் கடினம்தான். ஆனால் சேங் செய்த சாதனை காற்றுகூட புக முடியாத ஒரு கருப்புப் பெட்டியில் மிகச் சிறிய துளை போட்டு ஒரு திறப்பை அளித்திருக்கிறது. இதை வைத்து கணித அறிஞர்கள் பகா எண்களைப் பற்றி மேலும் பல உண்மைகளை கூடிய விரைவில் வெளிக் கொணர்வர்கள் என நம்புவோம்.
மனித சமுதாயம் தொடர்ந்து இயற்கையிலிருக்கும் ஒழுங்கை அல்லது ஒழுங்கின்மையைக் கண்டறிந்தவாறே இருக்கிறது. இது போன்ற தீர்வுகள் வெளியாகும்போது ஏற்படும் மகிழ்ச்சி வர்ணிக்க முடியாதது. கணிதம் அறிவின் அழகியல் அனுபவம் மட்டுமல்ல, ஒழுங்கின் அழகியல் அனுபவமும்கூட. இதற்கான அடிப்படைக் கல்வி நமக்கு உண்டு. தொடர் முனைப்பு இருந்தால், ஒரு சிறு முயற்சியில் நமக்கும் இந்த அனுபவம் சாத்தியப்படும். இலக்கியம் மட்டுமல்ல, கணிதமும் நமக்கு அழகியல் சார்ந்த அக விரிவை அளிக்கிறது.
——————————————————————————————————–
[1] இந்தக் கண்டு பிடிப்பை இரண்டு பிரிட்டிஷ் கணிதவியலாளர்கள் விளக்குகிறார்கள். அந்த வீடியோவை இங்கே காணலாம்: http://www.youtube.com/watch?v=vkMXdShDdtY
இன்னும் பல அருமையான கணித வீடியோக்களை இங்கே காணலாம்:
என்ன, அளப்பரிய மகிழ்ச்சியில் மூழ்கி விட்டீர்களா?
[2] ஜூன் 21, 2013 அன்று வெளியான செய்திப்படி இந்த இடைவெளி 12012 வரை குறுக்கப்பட்டிருக்கிறது. இன்னும் குறையலாம் என்று எதிர்பார்க்கப்படுகிறது. விவரங்கள் இங்கே.
