சொல்வனக் கட்டுரை
கணிதத்துறையில் சாதனை படைத்தவர்களுக்கு வழங்கப்படும் ஏபெல் பரிசு நோபல் பரிசுக்கு இணையானது. ஏறத்தாழ ஒன்றரை மில்லியன் டாலர் மதிப்புள்ள இந்தப் பரிசு பற்றிய முழு விவரங்களை இங்கே காணலாம். இந்த ஏபெல் பரிசு பியேர் டெலின் (Pierre Deligne) என்ற பெல்ஜிய நாட்டு கணிதவியலாளருக்கு இவ்வாண்டு வழங்கப்பட்டுள்ளது.
பெற்றோரின் பொதுவான எண்ணம், தங்களால் அடைய முடியாத லட்சியங்களை தங்கள் குழந்தைகள் மூலம் நிறைவேற்றிக் கொள்ள முயற்சித்தலாக இருக்கும். அல்லது, ஒரு முன்முடிவுடன் பொறியாளர், மருத்துவர், வக்கீல் போன்ற ஏதாவது ஒரு தொழிற்கல்வி அளித்து, பொருளாதார பாதுகாப்புடனான வாழ்க்கையைத் தம் மக்களுக்கு அமைத்துக் கொடுப்பது என்ற வகையில் மட்டுமே இருக்கிறது. இதில் பெரிய தவறில்லை என்றாலும், குழந்தைகளின் விருப்ப பாடத்தை படிக்க விடுவது அவர்களின் வெற்றிக்கு பெரிய அளவில் வழி வகுக்கும் என்பதற்கு சிறந்த எடுத்துக்காட்டு பியேர் டெலின் (Pierre Deligne).
இவரது தந்தை இவர் பொறியியல் படித்து நல்ல வருமானத்துடன் வாழ்க்கையை அமைத்துக் கொள்ள வேண்டும் என விரும்பினார். ஆனால் டெலினினின் கணித ஆர்வம் அவரை ஒரு கணிதவியலாளராக மாற்றியது. கல்லூரியில் படித்துக்கொண்டிருந்த தன் அண்ணனின் கணிதப் புத்தகங்களை இவர் தனது பன்னிரண்டு வயதிலேயே மிகவும் சுலபமாக படித்து புரிந்து கொண்டிருக்கிறார். அதன்பின் கணித பட்டப்படிப்பு முடித்தவுடன் முனைவர் படிப்பைத் தொடர அலெக்ஸாண்டர் க்ரோட்ன்டிக் (Alexander Grothendieck) என்ற உலகப் புகழ்பெற்ற கணிதப் பேராசிரியரிடம் மாணவராகச் சேர்ந்தார். க்ரோட்ன்டிக் இயற்கணித வடிவியல் (Algebraic Geometry) என்ற ஒரு கணிதப் பிரிவைத் தோற்றுவித்து அதில் பல அரிய உண்மைகளைக் கண்டறிந்தார். சுருக்கமாகச் சொன்னால், இயற்கணித வடிவியல் எனில் வடிவியல் தன்மை கொண்ட கேள்விகளுக்கு இயற்கணிதத்தைப் பயன்படுத்தி விடை காண்பதாகும். உதாரணமாக x^2+y^2=1 என்பது ஒரு வட்டத்தைக் குறிக்கும் சமன்பாடு என்பது நமக்குத் தெரியும். இங்கு வடிவியல் பொருளான வட்டத்திலிருக்கும் புள்ளிகளைக் இயற்கணித சமன்பாட்டின் மூலம் கண்டடைகிறோம்.
பொதுவாகவே கேள்வி கேட்பது என்பது பதில் சொல்வதை விட சுலபம். ஆனால் எதிர்காலத்தில் மிகப் பெரிய தாக்கத்தை உண்டாக்கக்கூடிய கடினமான கேள்விகளை முன்வைப்பது மேதைகளால் மட்டுமே இயலும். அந்த வகையைச் சேர்ந்ததுதான் வெயில் (Weil) என்ற கணித ஆராய்ச்சியாளர் முன் மொழிந்த மிக முக்கியமான நான்கு கணித அனுமானங்கள் (Weil Conjectures).
வெயில் அனுமானங்களுக்குத் தீர்வு காண்பதில் க்ரோட்ன்டிக் ஈடுபட்டிருந்த காலத்தில்தான் டெலின் அவரிடம் மாணவராக இணைந்தார். அப்போது க்ரோட்ன்டிக் மேற்கொண்ட ஆராய்ச்சியை மேலும் செம்மைப்படுத்தி, வெயிலின் நான்காவது அனுமானத்துக்கு கணித உலகமே அதிசயிக்கத்தக்க வகையில் தீர்வு கண்டார் டெலின். இந்த சாதனைக்காக டெலினுக்கு புகழ்பெற்ற பீல்ட்ஸ் மெடல் 1978 ஆம் ஆண்டு வழங்கப்பட்டது. இந்த ஆய்வில் டெலின் கையாண்ட வழிமுறைகள் கணித சிந்தனையில் பெரும் தாக்கத்தை ஏற்படுத்தின. இவற்றை மிகச் சில கணித வல்லுனர்களாலேயே புரிந்து கொள்ள முடியும். டெலினின் ஆசிரியர் க்ரோட்ன்டிக் மேற்கொண்ட ஆராய்ச்சியைப் புரிந்துகொண்டவர்கள் இரண்டே நபர்கள்தான் என்று விளையாட்டாய் சொல்வதுண்டு. ஒருவர் க்ரோட்ன்டிக். மற்றொருவர் டெலின்.
டெலினின் ஆராய்ச்சியின் ஒரு துளியை எனக்குப் புரிந்த அளவில் பொது வாசகர்களுக்கும் புரியும்படி எழுத முயற்சிக்கிறேன்.
இரண்டாயிரம் ஆண்டுகளுக்கும் முற்பட்ட கிரேக்க நாகரீக காலத்திலிருந்து இன்றுவரை முடிவிலி அல்லது முடிவின்மை (infinity) மற்றும் பகா எண்களை (அதாவது இரண்டு காரணிகளே கொண்ட இயல் எண்கள் – 2, 3, 5, 7, 11, 13, 19,…. முதலியவைகள்) புரிந்து கொள்ளும் முயற்சி தொடர்ந்து மேற்கொள்ளப்பட்டு வருகிறது. குறிப்பாக, முடிவிலி குறித்த புரிதலில் குழப்பங்கள் பல நூற்றாண்டுகளாக இருந்து வந்தது.
1, 2, 3, 4, 5… என்ற இயல் எண்களை மேலும் மேலும் கூட்டிச் செல்லும்போது இந்தத் தொடரின் கூட்டுத் தொகை மிகப் பெரிதாகி முடிவிலியை (infinity) நோக்கிச் செல்கிறது. எனவே 1 + 2 + 3 + 4 + 5…. என எண்ணிலடங்கா இயல் எண்களின் கூட்டுத் தொடர் முடிவிலியை நோக்கி விலகிச் செல்லும் தொடர் (diverging to infinity) எனப்படும். இதே போல் 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 … என்ற முடிவில்லா எண்களின் கூட்டுத்தொடரும் முடிவிலியை நோக்கிச் செல்லும் தொடராகும்.
ஆனால் எல்லா முடிவில்லா எண்களின் கூட்டுத் தொடரும் முடிவிலியை நோக்கி விலகிச் செல்ல வேண்டுமென்றில்லை. இந்தப் புரிதலுக்கு பல நூற்றாண்டுகள் தேவைப்பட்டது. உதாரணமாக 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 … என்ற தொடரை எடுத்துக் கொள்வோம். இதில் ஒவ்வொரு எண்ணும் அதன் முன் இருக்கும் எண்ணை 1/2 ஆல் பெருக்கினால் கிடைக்கிறது. இதைப் போன்ற கூட்டுத் தொடர்கள் பெருக்குத் தொடர்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன (Geometric Series ). நாம் உதாரணத்துக்குச் சுட்டிய கூட்டுத் தொடர் முடிவிலியை நோக்கி விரிவதில்லை. எண் 2 யை நோக்கிக் குவிகிறது (Converging to 2).
17-ஆம் நூற்றாண்டில் வாழ்ந்த ஆய்லர் 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 … எனும் முடிவில்லாத எண்களைக் கொண்ட கூட்டுத் தொடர் அதிசயிக்கத்தக்க விதத்தில் (1-1/2) (1-1/3) (1-1/5) (1-1/7)… என்ற பகா எண்களை உள்ளடக்கிய ஒரு முடிவில்லாத பெருக்குத் தொகைக்கு சமமாக இருக்கும் என நிறுவினார். முடிவற்ற எண்களைக் கொண்ட தொடர்கள் இரண்டு. இதில் ஒரு தொடரின் கூட்டுத் தொகை இயல் எண்களைக் கொண்டு முடிவிலியை நோக்கி விலகிச் செல்கிறது. இன்னொரு தொடரின் பெருக்குத் தொகை பகா எண்களைக் கொண்டிருக்கிறது. ஆனால், இயல் எண்களும் பகா எண்களும் கொண்ட இருவேறு தொடர்களும் ஒன்றுகொன்று சமமாக இருக்கும் என்பதில் ஒரு வியப்பும் வினோத அழகும் இருக்கிறதல்லவா? இதைக் கண்டதுதான் ஆய்லரின் மேதமை. இதன் கணிதம் இங்கிருக்கிறது - கணித துறையில் இது ஒரு பெரிய சாதனை.
இதிலுள்ள இந்த முடிவை 18-ஆம் நூற்றாண்டில் வாழ்ந்த ரீமான் கலவை எண்களைக் கொண்டு (Complex Numbers) மேலும் வலுவாக்கி பகா எண்களைக் குறித்து இன்றளவும் தீர்வு காண முடியாத ஓர் அனுமானத்தை விட்டுச் சென்றுள்ளார். இதுதான் புகழ்பெற்ற “ரீமான் ஹைபாதசிஸ்” என்றழைக்கப்படுகிறது. ரீமான் ஹைபாதசிஸ் போன்ற ஓர் அனுமானம் ஒரு குறிப்பிட்ட அளவிலான எண்களைக் கொண்ட ஒரு கணித அமைப்பில் உண்மையாக இருக்கும் என ஊகித்தார் வெயில்.
குறிப்பிட்ட அளவிலான எண்களைக் கொண்ட கணித அமைப்பு என்றால் என்ன? கடிகாரத்தை எடுத்துக் கொள்வோம். அதில் 1 முதல் 12 வரை எண்கள் இருக்கின்றன. இங்கு 13 என்றவுடன் அது 1 ஆகிறது. இதில் 8+7 = 15 எனில், இந்த 12 எண்களைக் கொண்ட அமைப்பில் 15 என்பது 3 ஆகிவிடும். அடுத்து, பகா எண் 13 ஐ எடுத்துக் கொள்வோம். இதில் பதிமூன்று எண்கள்தான் இருக்கும். 14 என்றால் அது இந்த அமைப்பில் 1 ஆகி விடும். பகா எண்களை அடிப்படையாகக் கொண்ட குறிப்பிட்ட அளவிலான எண்களைக் கொண்ட அமைப்பு விகிதமுறு எண்கள், மெய் எண்கள் போன்ற அமைப்பை ஒத்திருக்கும். அதில் கூட்டல் கழித்தல் போன்றவைகள் செய்ய முடியும். இது போன்ற 3, 5, 7, 11, 13… என்ற பகா எண்களை வைத்து குறிப்பிட்ட எண்களைக் கொண்ட கணித அமைப்பில்தான் தன் நான்கு அனுமானங்களையும் எழுதி வைத்திருந்தார் வெயில். அதில் மிகவும் கடினமான நான்காவது அனுமானத்தை டெலின் நிரூபித்ததால் பீல்ட்ஸ் மெடல் அளித்து கௌரவிக்கப்பட்டார்.
ரீமான் மற்றும் டெலினின் அனுமானங்களால் என்ன பயன் என்ற கேள்வி எழும். பகா எண்கள் இயல் எண்களில் எவ்வாறு பரவியிருக்கின்றன (distribution) என்றறிவது ஓரு முக்கிய கேள்வி. ஒர் இயல் எண் N கொடுத்தால் N வரை எத்தனை பகா எண்கள் இருக்கும் எனத் துல்லியமாகக் கூற முடியாது. ஆனால் தோராயமாகக் கூற முடியும். தோரயமாகக் கூறும்போது எந்த அளவு அதில் தவறு இருக்கும் என்று கணிப்பது அவசியம். உதாரணத்திற்கு 500000 க்குள் மொத்தம் இருப்பது 41556 பகா எண்கள். ஆனால் தோராய ஃபோர்முலாவைப் பயன்படுத்தினால் கிடைப்பது 41604.4. இதில் தவறு 0.12 ஆகும். இந்த தவற்றின் அளவை அறிய உதவுவதுதான் ரீமான் அனுமானத்தின் முக்கியப் பங்களிப்பாகும். இன்றளவிலும் பகா எண்களுக்கு முக்கியமான பயன்கள் இருப்பது குறிப்பிடப்பட வேண்டிய ஒன்று.
வெயிலின் நான்காவது அனுமானத்தை நிரூபித்ததில் டெலின் ராமானுஜனின் நீண்ட வருடங்கள் தீர்வு காணாத உண்மையையும் நிரூபித்தார் என்பது குறிப்பிடத்தக்கது. ராமானுஜன் 1916 ஆம் ஆண்டு ஓர் அனுமானத்தை முன் வைத்தார். அது என்னவென்று மிகவும் மேலோட்டமாகப் பார்ப்போம். ஓர் இயல் எண்ணை 24 எண்களின் வர்க்கத்தின் கூட்டுத் தொகையாக (n = a^2 + b^2 + c^2 …… + w^2 + x^2) எத்தனை வழிமுறைகளில் எழுத முடியும் என்றறிய பயன்படும் ஃபார்முலாவில் தோரயமானதாகத்தான் அறிய முடியும். அதில் ஏற்படும் மிகக் குறைந்தளவிலான தவறு (error) எவ்வளவு இருக்கும் என்பதைக் குறித்ததுதான் ராமானுஜனின் அனுமானம். இதையே டெலின் நிரூபித்தார்.
டெலின் கணிதத்தில் பல பரிசுகளைப் பெற்றுள்ளார். இவ்வாண்டு அளிக்கப்பட்டுள்ள இந்த ஏபல் பரிசு மூலம் கிடைக்கும் மில்லியன் சொச்சம் டாலரும் தனக்குரியதில்லை, கணிதத்திற்கே சொந்தமானது எனவும் அதனை எப்படி பயனுள்ள முறையில் செலவு செய்வது என சிந்தித்து வருவதாகவும் கூறியுள்ளார்.
கணிதத்துறையில் சாதனை படைத்தவர்களுக்கு வழங்கப்படும் ஏபெல் பரிசு நோபல் பரிசுக்கு இணையானது. ஏறத்தாழ ஒன்றரை மில்லியன் டாலர் மதிப்புள்ள இந்தப் பரிசு பற்றிய முழு விவரங்களை இங்கே காணலாம். இந்த ஏபெல் பரிசு பியேர் டெலின் (Pierre Deligne) என்ற பெல்ஜிய நாட்டு கணிதவியலாளருக்கு இவ்வாண்டு வழங்கப்பட்டுள்ளது.
பெற்றோரின் பொதுவான எண்ணம், தங்களால் அடைய முடியாத லட்சியங்களை தங்கள் குழந்தைகள் மூலம் நிறைவேற்றிக் கொள்ள முயற்சித்தலாக இருக்கும். அல்லது, ஒரு முன்முடிவுடன் பொறியாளர், மருத்துவர், வக்கீல் போன்ற ஏதாவது ஒரு தொழிற்கல்வி அளித்து, பொருளாதார பாதுகாப்புடனான வாழ்க்கையைத் தம் மக்களுக்கு அமைத்துக் கொடுப்பது என்ற வகையில் மட்டுமே இருக்கிறது. இதில் பெரிய தவறில்லை என்றாலும், குழந்தைகளின் விருப்ப பாடத்தை படிக்க விடுவது அவர்களின் வெற்றிக்கு பெரிய அளவில் வழி வகுக்கும் என்பதற்கு சிறந்த எடுத்துக்காட்டு பியேர் டெலின் (Pierre Deligne).
இவரது தந்தை இவர் பொறியியல் படித்து நல்ல வருமானத்துடன் வாழ்க்கையை அமைத்துக் கொள்ள வேண்டும் என விரும்பினார். ஆனால் டெலினினின் கணித ஆர்வம் அவரை ஒரு கணிதவியலாளராக மாற்றியது. கல்லூரியில் படித்துக்கொண்டிருந்த தன் அண்ணனின் கணிதப் புத்தகங்களை இவர் தனது பன்னிரண்டு வயதிலேயே மிகவும் சுலபமாக படித்து புரிந்து கொண்டிருக்கிறார். அதன்பின் கணித பட்டப்படிப்பு முடித்தவுடன் முனைவர் படிப்பைத் தொடர அலெக்ஸாண்டர் க்ரோட்ன்டிக் (Alexander Grothendieck) என்ற உலகப் புகழ்பெற்ற கணிதப் பேராசிரியரிடம் மாணவராகச் சேர்ந்தார். க்ரோட்ன்டிக் இயற்கணித வடிவியல் (Algebraic Geometry) என்ற ஒரு கணிதப் பிரிவைத் தோற்றுவித்து அதில் பல அரிய உண்மைகளைக் கண்டறிந்தார். சுருக்கமாகச் சொன்னால், இயற்கணித வடிவியல் எனில் வடிவியல் தன்மை கொண்ட கேள்விகளுக்கு இயற்கணிதத்தைப் பயன்படுத்தி விடை காண்பதாகும். உதாரணமாக x^2+y^2=1 என்பது ஒரு வட்டத்தைக் குறிக்கும் சமன்பாடு என்பது நமக்குத் தெரியும். இங்கு வடிவியல் பொருளான வட்டத்திலிருக்கும் புள்ளிகளைக் இயற்கணித சமன்பாட்டின் மூலம் கண்டடைகிறோம்.
பொதுவாகவே கேள்வி கேட்பது என்பது பதில் சொல்வதை விட சுலபம். ஆனால் எதிர்காலத்தில் மிகப் பெரிய தாக்கத்தை உண்டாக்கக்கூடிய கடினமான கேள்விகளை முன்வைப்பது மேதைகளால் மட்டுமே இயலும். அந்த வகையைச் சேர்ந்ததுதான் வெயில் (Weil) என்ற கணித ஆராய்ச்சியாளர் முன் மொழிந்த மிக முக்கியமான நான்கு கணித அனுமானங்கள் (Weil Conjectures).
வெயில் அனுமானங்களுக்குத் தீர்வு காண்பதில் க்ரோட்ன்டிக் ஈடுபட்டிருந்த காலத்தில்தான் டெலின் அவரிடம் மாணவராக இணைந்தார். அப்போது க்ரோட்ன்டிக் மேற்கொண்ட ஆராய்ச்சியை மேலும் செம்மைப்படுத்தி, வெயிலின் நான்காவது அனுமானத்துக்கு கணித உலகமே அதிசயிக்கத்தக்க வகையில் தீர்வு கண்டார் டெலின். இந்த சாதனைக்காக டெலினுக்கு புகழ்பெற்ற பீல்ட்ஸ் மெடல் 1978 ஆம் ஆண்டு வழங்கப்பட்டது. இந்த ஆய்வில் டெலின் கையாண்ட வழிமுறைகள் கணித சிந்தனையில் பெரும் தாக்கத்தை ஏற்படுத்தின. இவற்றை மிகச் சில கணித வல்லுனர்களாலேயே புரிந்து கொள்ள முடியும். டெலினின் ஆசிரியர் க்ரோட்ன்டிக் மேற்கொண்ட ஆராய்ச்சியைப் புரிந்துகொண்டவர்கள் இரண்டே நபர்கள்தான் என்று விளையாட்டாய் சொல்வதுண்டு. ஒருவர் க்ரோட்ன்டிக். மற்றொருவர் டெலின்.
டெலினின் ஆராய்ச்சியின் ஒரு துளியை எனக்குப் புரிந்த அளவில் பொது வாசகர்களுக்கும் புரியும்படி எழுத முயற்சிக்கிறேன்.
இரண்டாயிரம் ஆண்டுகளுக்கும் முற்பட்ட கிரேக்க நாகரீக காலத்திலிருந்து இன்றுவரை முடிவிலி அல்லது முடிவின்மை (infinity) மற்றும் பகா எண்களை (அதாவது இரண்டு காரணிகளே கொண்ட இயல் எண்கள் – 2, 3, 5, 7, 11, 13, 19,…. முதலியவைகள்) புரிந்து கொள்ளும் முயற்சி தொடர்ந்து மேற்கொள்ளப்பட்டு வருகிறது. குறிப்பாக, முடிவிலி குறித்த புரிதலில் குழப்பங்கள் பல நூற்றாண்டுகளாக இருந்து வந்தது.
1, 2, 3, 4, 5… என்ற இயல் எண்களை மேலும் மேலும் கூட்டிச் செல்லும்போது இந்தத் தொடரின் கூட்டுத் தொகை மிகப் பெரிதாகி முடிவிலியை (infinity) நோக்கிச் செல்கிறது. எனவே 1 + 2 + 3 + 4 + 5…. என எண்ணிலடங்கா இயல் எண்களின் கூட்டுத் தொடர் முடிவிலியை நோக்கி விலகிச் செல்லும் தொடர் (diverging to infinity) எனப்படும். இதே போல் 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 … என்ற முடிவில்லா எண்களின் கூட்டுத்தொடரும் முடிவிலியை நோக்கிச் செல்லும் தொடராகும்.
ஆனால் எல்லா முடிவில்லா எண்களின் கூட்டுத் தொடரும் முடிவிலியை நோக்கி விலகிச் செல்ல வேண்டுமென்றில்லை. இந்தப் புரிதலுக்கு பல நூற்றாண்டுகள் தேவைப்பட்டது. உதாரணமாக 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 … என்ற தொடரை எடுத்துக் கொள்வோம். இதில் ஒவ்வொரு எண்ணும் அதன் முன் இருக்கும் எண்ணை 1/2 ஆல் பெருக்கினால் கிடைக்கிறது. இதைப் போன்ற கூட்டுத் தொடர்கள் பெருக்குத் தொடர்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன (Geometric Series ). நாம் உதாரணத்துக்குச் சுட்டிய கூட்டுத் தொடர் முடிவிலியை நோக்கி விரிவதில்லை. எண் 2 யை நோக்கிக் குவிகிறது (Converging to 2).
17-ஆம் நூற்றாண்டில் வாழ்ந்த ஆய்லர் 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 … எனும் முடிவில்லாத எண்களைக் கொண்ட கூட்டுத் தொடர் அதிசயிக்கத்தக்க விதத்தில் (1-1/2) (1-1/3) (1-1/5) (1-1/7)… என்ற பகா எண்களை உள்ளடக்கிய ஒரு முடிவில்லாத பெருக்குத் தொகைக்கு சமமாக இருக்கும் என நிறுவினார். முடிவற்ற எண்களைக் கொண்ட தொடர்கள் இரண்டு. இதில் ஒரு தொடரின் கூட்டுத் தொகை இயல் எண்களைக் கொண்டு முடிவிலியை நோக்கி விலகிச் செல்கிறது. இன்னொரு தொடரின் பெருக்குத் தொகை பகா எண்களைக் கொண்டிருக்கிறது. ஆனால், இயல் எண்களும் பகா எண்களும் கொண்ட இருவேறு தொடர்களும் ஒன்றுகொன்று சமமாக இருக்கும் என்பதில் ஒரு வியப்பும் வினோத அழகும் இருக்கிறதல்லவா? இதைக் கண்டதுதான் ஆய்லரின் மேதமை. இதன் கணிதம் இங்கிருக்கிறது - கணித துறையில் இது ஒரு பெரிய சாதனை.
இதிலுள்ள இந்த முடிவை 18-ஆம் நூற்றாண்டில் வாழ்ந்த ரீமான் கலவை எண்களைக் கொண்டு (Complex Numbers) மேலும் வலுவாக்கி பகா எண்களைக் குறித்து இன்றளவும் தீர்வு காண முடியாத ஓர் அனுமானத்தை விட்டுச் சென்றுள்ளார். இதுதான் புகழ்பெற்ற “ரீமான் ஹைபாதசிஸ்” என்றழைக்கப்படுகிறது. ரீமான் ஹைபாதசிஸ் போன்ற ஓர் அனுமானம் ஒரு குறிப்பிட்ட அளவிலான எண்களைக் கொண்ட ஒரு கணித அமைப்பில் உண்மையாக இருக்கும் என ஊகித்தார் வெயில்.
குறிப்பிட்ட அளவிலான எண்களைக் கொண்ட கணித அமைப்பு என்றால் என்ன? கடிகாரத்தை எடுத்துக் கொள்வோம். அதில் 1 முதல் 12 வரை எண்கள் இருக்கின்றன. இங்கு 13 என்றவுடன் அது 1 ஆகிறது. இதில் 8+7 = 15 எனில், இந்த 12 எண்களைக் கொண்ட அமைப்பில் 15 என்பது 3 ஆகிவிடும். அடுத்து, பகா எண் 13 ஐ எடுத்துக் கொள்வோம். இதில் பதிமூன்று எண்கள்தான் இருக்கும். 14 என்றால் அது இந்த அமைப்பில் 1 ஆகி விடும். பகா எண்களை அடிப்படையாகக் கொண்ட குறிப்பிட்ட அளவிலான எண்களைக் கொண்ட அமைப்பு விகிதமுறு எண்கள், மெய் எண்கள் போன்ற அமைப்பை ஒத்திருக்கும். அதில் கூட்டல் கழித்தல் போன்றவைகள் செய்ய முடியும். இது போன்ற 3, 5, 7, 11, 13… என்ற பகா எண்களை வைத்து குறிப்பிட்ட எண்களைக் கொண்ட கணித அமைப்பில்தான் தன் நான்கு அனுமானங்களையும் எழுதி வைத்திருந்தார் வெயில். அதில் மிகவும் கடினமான நான்காவது அனுமானத்தை டெலின் நிரூபித்ததால் பீல்ட்ஸ் மெடல் அளித்து கௌரவிக்கப்பட்டார்.
ரீமான் மற்றும் டெலினின் அனுமானங்களால் என்ன பயன் என்ற கேள்வி எழும். பகா எண்கள் இயல் எண்களில் எவ்வாறு பரவியிருக்கின்றன (distribution) என்றறிவது ஓரு முக்கிய கேள்வி. ஒர் இயல் எண் N கொடுத்தால் N வரை எத்தனை பகா எண்கள் இருக்கும் எனத் துல்லியமாகக் கூற முடியாது. ஆனால் தோராயமாகக் கூற முடியும். தோரயமாகக் கூறும்போது எந்த அளவு அதில் தவறு இருக்கும் என்று கணிப்பது அவசியம். உதாரணத்திற்கு 500000 க்குள் மொத்தம் இருப்பது 41556 பகா எண்கள். ஆனால் தோராய ஃபோர்முலாவைப் பயன்படுத்தினால் கிடைப்பது 41604.4. இதில் தவறு 0.12 ஆகும். இந்த தவற்றின் அளவை அறிய உதவுவதுதான் ரீமான் அனுமானத்தின் முக்கியப் பங்களிப்பாகும். இன்றளவிலும் பகா எண்களுக்கு முக்கியமான பயன்கள் இருப்பது குறிப்பிடப்பட வேண்டிய ஒன்று.
வெயிலின் நான்காவது அனுமானத்தை நிரூபித்ததில் டெலின் ராமானுஜனின் நீண்ட வருடங்கள் தீர்வு காணாத உண்மையையும் நிரூபித்தார் என்பது குறிப்பிடத்தக்கது. ராமானுஜன் 1916 ஆம் ஆண்டு ஓர் அனுமானத்தை முன் வைத்தார். அது என்னவென்று மிகவும் மேலோட்டமாகப் பார்ப்போம். ஓர் இயல் எண்ணை 24 எண்களின் வர்க்கத்தின் கூட்டுத் தொகையாக (n = a^2 + b^2 + c^2 …… + w^2 + x^2) எத்தனை வழிமுறைகளில் எழுத முடியும் என்றறிய பயன்படும் ஃபார்முலாவில் தோரயமானதாகத்தான் அறிய முடியும். அதில் ஏற்படும் மிகக் குறைந்தளவிலான தவறு (error) எவ்வளவு இருக்கும் என்பதைக் குறித்ததுதான் ராமானுஜனின் அனுமானம். இதையே டெலின் நிரூபித்தார்.
டெலின் கணிதத்தில் பல பரிசுகளைப் பெற்றுள்ளார். இவ்வாண்டு அளிக்கப்பட்டுள்ள இந்த ஏபல் பரிசு மூலம் கிடைக்கும் மில்லியன் சொச்சம் டாலரும் தனக்குரியதில்லை, கணிதத்திற்கே சொந்தமானது எனவும் அதனை எப்படி பயனுள்ள முறையில் செலவு செய்வது என சிந்தித்து வருவதாகவும் கூறியுள்ளார்.
