அமெரிக்காவின் அதிபராக இருந்த ஜேம்ஸ் கார்பில்டும் (James Garfield) பிதாகரஸ் தேற்றமும்

பிதாகரஸ் தேற்றம் :

"ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் கர்ணத்தின் வர்க்கம் அதன் மற்ற இரண்டு பக்கங்களின் வர்க்கத்தின் கூட்டுத் தொகைக்குச் சமமாகும்."

இதைப் படிக்காதவர்களே இருக்க மாட்டர்கள் என்று நினைக்கிறேன்.இதற்கு பல விதங்களில் நிரூபணங்கள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன.இந்தியாவின் பாஸ்கரா (இரண்டாம் நூற்றாண்டு) கண்டுபிடித்த நிரூபணங்களை பள்ளி நாட்களில் படித்தது நினைவு இருக்கலாம்.

அமெரிக்காவின் 20 வது அதிபராக இருந்த ஜேம்ஸ் கார்பில்ட் 1876 ஆம் ஆண்டு பிதாகரஸ் தேற்றத்திற்கு ஒரு புது மாதிரியான நிரூபணம் கண்டு பிடித்தார்.இவர் அமெரிக்கக் காங்கிரஸ் பிரதிநிதியாக இருந்த சமயம் மற்ற உறுப்பினர்களுடன் விவாதிக்கும் போது இந்த நிரூபணத்தைக் கண்டு பிடித்துள்ளார்.கார்பில்டின் நிரூபண முறையை இப்போது பார்ப்போம்.

ஒரு சரிவகத்தை மூன்று செங்கோண முக்கோணமாகப் பிரித்து, சரிவகத்தின் பரப்பளவை மூன்று முக்கோணங்களின் பரப்பளவுடன் ஒப்பிடும் போது பிதாகரஸ் தேற்றத்தின் நிரூபணம் கிடைக்கிறது.

முதலில் சரிவகத்தின் மற்றும் முக்கோணத்தின் பரப்பளவு காண தேவையான வாய்ப்பாடு:

சரிவகத்தின் இரண்டு பக்கங்கள் இணையாக இருக்கும்.அந்த இரண்டு பக்கங்களின் கூட்டுத் தொகையை அதற்கு இடையே உள்ள தூரத்தால் பெருக்கி இரண்டால் வகுத்தால் சரிவகத்தின் பரப்பளவு கிடைக்கும்.

முக்கோணத்தின் பரப்பளவு

அதன் அடிப்பக்கத்தை முக்கோணத்தின் உயரத்தால் பெருக்கி இரண்டால் வகுத்தால் கிடைத்து விடும்.

இப்போது கீழே உள்ள படத்தைப் பாருங்கள்.




சரிவகத்தின் இரண்டு இணைப் பக்கங்களின் கூட்டுத் தொகை a+b
மற்றும் அதற்கு இடையே உள்ள நீளமும் a+b ஆகும்.
எனவே சரிவகத்தின் பரப்பளவு =(a+b)(a+b)=(a*a+2*a*b+b*b)/2

மஞ்சள் நிறத்தில் உள்ள முக்கோணத்தின் பரப்பளவு = (ab)/2

நீல நிற முக்கோணத்தின் பரப்பளவு = (ab)/2

மத்தியில் உள்ள முக்கோணத்தின் பரப்பளவு = (c*c)/2

இப்போது

சரிவகத்தின் பரப்பளவு = மூன்று முக்கோணங்களின் பரப்பளவின் கூட்டுத் தொகை

அதாவது

(a*a+2*a*b+b*b)/2 = (ab)/2+(ab)/2+(c*c)/2
=> a*a+2*a*b+b*b = ab+ab+c*c
=>a^2 + b^2 = c^2 [இரண்டு பக்கத்திலிருந்தும் 2ab யை எடுத்து விடலாம்.)

ஓர் அரசியல் வாதியாக இருந்து இந்த அளவிற்கு கணிதத்தில் ஈடுபாடு இருந்ததற்கு கார்பில்டை நினைத்து பெருமைப் பட வேண்டியது தான்.மேலும் இவர் இரு கை (ambidextrous) பழக்கமுள்ளவர். இவரிடம் ஆங்கிலத்தில் கேள்வி கேட்டால் ஒரு கையில் லத்தீன் மொழியிலும் மற்றொரு கையில் கிரேக்க மொழியிலும் எழுதும் திறன் கொண்டவராக இருந்துள்ளார்.இன்றும் பெரும்பாலான அரசியல் வாதிகள் இரண்டு கை பழக்கம் உள்ளவர்கள்தான்.ஆனால் அது எதற்கு என்பது தெரிந்த உண்மை தான்.

சரிவகம் - trapezoid
கர்ணம் - hypotenuse