இராமானுஜனின் இயல் எண்களின் பிரிவினைகள்

இராமானுஜனின் இயல் எண்களின் பிரிவினைகள் குறித்த பங்களிப்பு மிகவும் முக்கியமானது.  இயல் எண்களின் பிரிவினைகள் என்றால் என்ன?

1,2,3,4,5,6,7,.... ..  ...இயல் எண்களாகும். எத்தனை விதமாக இயல் எண்களின் கூட்டுத் தொகையாக ஓர் இயல் எண் எழுதப்பட முடியும் என்பதே இயல் எண்களின் பிரிவினைகள் ஆகும். இயல் எண் 2 க்கு 2 மற்றும் 1 + 1 என்ற இரண்டு பிரிவினைகள் உள்ளன.
2 = 2,
2=1+1
என்று இரண்டு விதமாக பிரித்து எழுதலாம்,
3=3,
3=2+1,
3=1+1+1
என்று மூன்றை மூன்று விதமாக பிரித்து எழுத முடிகிறது.
5=5,
5=4+1,
5=3+2,
5=3+1+1,
5=2+2+1,
5=2+1+1+1
5=1+1+1+1+1,
மற்றும்
6=6,
6=5+1,
6=4+2,
6=4+1+1,
6=3+3,
6=3+2+1,
6=3+1+1+1,
6=2+2+2,
6=2+2+1+1,
6=2+1+1+1+1,
6=1+1+1+1+1+1
என ஐந்து மற்றும் ஆறை முறையே 7 மற்றும் 11 விதமாக பிரித்து எழுதலாம். ஒவ்வொரு இயல் எண்ணுக்கும் எத்தனை பிரிவினைகள் இருக்கிறது என்பதை

p(1) = 1;p(2) = 2; p(3) = 3; p(4)=5;p(5)=7;p(6)=11 …………..

எனக் குறிக்கலாம். இதில் இராமானுஜனின் பங்கு என்ன? இந்த பிரிவினைகளில் இராமானுஜன் சில ஒழுங்குகளைக் கவனித்தார்.

அதாவது

P(4)=5

P(9)=30

P(14)=135

P(19)=490

P(24)=1575 ……………….

4  மற்றும் 9 இல் முடியும் இயல் எண்களின் பிரிவினைகளின் எண்ணிக்கை 5 ஆல் வகுபடும் எனக் கண்டறிந்தார்.

பொதுவாக  k=0,1,2,3,4,5… என்ற மதிப்புகளுக்கு

p(5k+4) இன் மதிப்பு 5 ஆல் வகுபடும் 

இதே போல் k=0,1,2,3,4,5… என்ற மதிப்புகளுக்கு

p(7k+5) இன் மதிப்பு 7 ஆல் வகுபடும் 

இதே போல் k=0,1,2,3,4,5… என்ற மதிப்புகளுக்கு

p(11k+6) இன் மதிப்பு 11 ஆல் வகுபடும் 

இங்கு 5,7,11 பகா எண்கள் என்பதைக் கவனிக்கவும். இதே போன்று மற்ற பகா எண்களுக்கும் இதே போன்று முடிவுகள் இருக்கும் என்றும், ஆனால் அவைகள் 5,7,11 போன்று எளிமையானதாக இருக்காது என்றும் இராமானுஜன் எழுதி வைத்தார்.

இராமானுஜன் - 127

இராமானுஜனின் பிறந்த நாளான டிசம்பர் 22 ஆம் தேதி அவரின் கணிதப் பங்களிப்பின் ஒரு துளியைப் பற்றி இங்கு பார்ப்போம்.


(நன்றி: http://filmzznwzz.blogspot.com/2011/12/happy-birthday-srinivasa-ramanujan.html)
குழந்தைகளுக்கான ஒரு சிறிய புதிருடன் தொடங்குவோம். குழந்தையிடம் ஒரு இயல் எண்ணை (சிறிய எண்ணாக இருந்தால் நல்லது) நினைத்துக் கொள்ளச் சொல்லவும். அந்த எண்ணுடன் 9 யைக் கூட்டச் சொல்லவும். கூட்டி வந்த விடையை இரண்டால் பெருக்கி, கிடைக்கும் எண்ணிலிருந்து 4 யை கழித்த பின் இரண்டால் வகுக்கச் சொல்லவும்.இறுதியில் முதலில் நினைத்துக் கொண்ட எண்ணை கழித்தால் 7 என்ற எண் எப்போதுமே விடையாகக் கிடைப்பதைப் பார்க்கலாம்.

உதாரணமாக 15 என்ற எண்ணை எடுத்துக் கொள்வோம்.
15+9 =24
24X 2= 48
48-4 44
44/2= 22
22-15 = 7

இதில் பெரிய புதிர் ஒன்றுமில்லை என்பது நமக்குத் தெரியும். ஆனால் குழந்தைகளுக்கு ஒரு சுவாரசியமான அனுபவமாக இருக்கலாம்.

ஒவ்வொருவருக்கும் ஓர் எண் பிடித்தமானதாக இருக்கும். எம்.ஜி.யாருக்கு இராசியான எண்  9 என்பார்கள் என நினைவு. 7 என்ற எண் எனக்கு மிகவும் பிடித்த எண். அலெக்ஸ் பெல்லோஸ் என்பவர் உலகளவில் பிடித்தமான எண் கண்டறிய நடத்திய ஓட்டெடுப்பில் 7 வெற்றி பெற்றுள்ளதை இங்கு காணலாம்.

சரி இராமனுஜனுக்கும் 7 என்ற எண்ணுக்கும்  என்ன தொடர்பு?  இரண்டு இயல் எண்களை எடுத்துக் கொள்வோம். அந்த எண்களின் வர்க்கங்களின் கூட்டுத்தொகை ஒரு வர்க்க எண்ணாக(square number) இருக்குமா? பள்ளி நாட்களில்  படித்த "பிதகோரஸ்" தேற்றம் நினைவிற்கு வர வேண்டுமே? உதாரணத்திற்கு 3^ 2+4^ 2= 5^ 2.(3^ 2 எனில் 3X 3)  இதுபோல் ஒரு கணிதக் கோவை (mathematical expression) எப்போது வர்க்க எண்ணைக் கொடுக்கும் என்ற கேள்வி மிகவும் பழமையானது. மூவாயிரம் ஆண்டுகளுக்கு முன்பே மனிதகுலம் இதற்கான விடை அறிந்திருந்தனர்.

இராமானுஜன் 1913 ஆம் ஆண்டு 2^n - 7 என்ற கோவை எந்த n மதிப்புக்களுக்கு ஒரு வர்க்க எண்ணைக் கொடுக்கும் எனக் கண்டறிந்தார்.
n = 1,3,4,5,15 என்ற நான்கு மதிப்புக்களுக்கு மட்டும்  தான்  2^n - 7 ஒரு வர்க்க எண்ணாக இருக்கும் என்ற அனுமானத்தை முன்வைத்தார்.
அதாவது
 2^ 3-7 = 1 (1 இன் வர்க்கம்)
2^ 4-7 = 9 (3 இன் வர்க்கம்)
2^ 5-7 = 25 (5 இன் வர்க்கம்)
2^ 15-7 = 32768-7=32761 (181 இன் வர்க்கம்)

இதை 1948 ஆம் ஆண்டு நார்வேவைச் சேர்ந்த கணிதவியலாளர் நெகால் இதனை நிரூபித்தார். இதில் சுவையான விஷயம் என்னவென்றால்

2^n - D (D என்பது பொதுவான இயல் எண்ணைக் குறிக்கிறது)என்ற கோவை அதிக பட்சம் இரண்டு இயல் எண்களின் n மதிப்பிற்குத் தான் வர்க்க எண்ணாக  இருக்கும் என்ற முடிவு தான் இராமானுஜன் ஆராய்ந்த 2^n - 7 என்ற கோவை தனித்தன்மையானது எனத் தெரிய வந்தது.

 2^n - D என்ற கோவையில் D=7 க்கு மட்டும் நான்கு n மதிப்புக்களுக்கு வர்க்க எண்ணைக் கொடுக்கிறது.

இதிலிருந்து .இந்த மஞ்சுல் பார்கவா வீடியோவில் நுழைந்தால் சுவையான கணிதத்திற்குள் செல்லலாம்




                   

நாமகிரித் தாயாரின் அருள் : ராமானுஜன் – 126

சொல்வனம் இணைய இதழில் வெளியானது.

கணித உலகில் ராமானுஜன் (1887-1920) அவர்களின் தாக்கம் (legacy) இன்று வரை தொடர்வதற்கான காரணிகள் என்ன? ராமானுஜத்தால் கவரப்பட்டு, அவரது கணித ஆராய்ச்சிகளை முன்னெடுத்த இன்றைய கணித வல்லுனர்கள் என்ன கூறுகிறார்கள்? ராமானுஜனைக் கொண்டாடும் நாம்,ஒரு சிறு துளியாவது அவரது கணிதம் குறித்து நமக்கு அறிந்து கொள்ள முயலுகிறோமா? 

ராமானுஜனின் வாழ்க்கையும், கணிதத்தில் அவர் நிகழ்த்திய அதிசயங்களும் பலருக்கும் உத்வேகம் அளிப்பதாகவும், முன்மாதிரியாகவும் இருக்கிறது என்பதில் மாற்றுக் கருத்து இருக்க முடியாது. இதற்கு உதாரணமாக விண்வெளி-இயற்பியல் ஆய்வாளரும், நோபெல் பரிசு பெற்றவருமான சுப்பிரமணியம் சந்திரசேகரன், கணிதத்திற்கான ஃபீல்ட்ஸ் மெடல் பெற்ற செல்பர்க், கணிதவியலாளர்களான ஜார்ஜ் ஆண்ட்ரூஸ், ப்ரூஸ் ப்ருன்ட், கென் ஓனோ, கிருஷ்ணசாமி அல்லாடி, கண்ணன் சௌந்தரராஜன் என நீண்ட பட்டியலே கொடுக்கலாம். 1976 ஆம் ஆண்டு ஜார்ஜ் ஆண்ட்ருஸ் ராமானுஜனின் “தொலைந்த நோட்டுக்களை” கண்டுபிடித்த நாள் முதல் அந்தக் குறிப்புப் புத்தகங்களில் ராமானுஜன் நிரூபணம் இல்லாமல் எழுதி வைத்திருந்த முடிவுகளுக்குத் தீர்வு காண்பதில் ஈடுபட்டார். அதேபோல் ப்ரூஸ் ப்ரெண்ட் கிட்டத்தட்ட 35 ஆண்டுகளாக தொடர்ந்து ராமானுஜன் கணிதத்தில் தன்னை ஈடுபடுத்திக்கொண்டு ராமானுஜனின் ஆராய்ச்சிகளை புத்தகங்களாகக் கொண்டு வருவதில் முனைத்துள்ளார். பேராசிரியர் ஸ்ரீனிவாச ராவ் அவர்கள் ராமானுஜன் ஆராய்ச்சிக் கட்டுரைகள், அவர் நோட்டுப் புத்தகப் பக்கங்கள் மற்றும் முக்கிய கடிதங்கள் அடங்கிய ஒரு குறுந்தகடு வெளியிட்டுள்ளார்.

G.H.ஹார்டி ராமானுஜனின் திறமையை ஊக்குவித்து அவரின் திறமையை வெளிக் கொணர்ந்தார் என்றால் ராபர்ட் கணிகல் “The Man who knew infinity” என ராமானுஜனைப் பற்றி எழுதிய புத்தகம் அண்மைக்காலத்தில் அவரின் புகழை உலகளவு எடுத்துச் செல்ல உதவியது. இந்தப் புத்தகம் இந்த ஆண்டு தமிழில் “அனந்தத்தை அறிந்தவன்” என வாஞ்சிநாதன் அவர்களால் மொழி பெயர்க்கப் பட்டுள்ளது. அதைத்த் தொடர்ந்து ராமானுஜன் பற்றி பல புத்தகங்கள் எழுதப்பட்டுவிட்டன. இவர் பெயரைத் தாங்கிய கணித ஆராய்ச்சிகளை வெளியிடும் உலக அளவிலான The Ramanujan Journal மற்றும் The Jounal of Ramanujan Mathematical Society என்ற சஞ்சிகைகளும் வெளி வருகின்றன என்பது குறிப்பிடத்தக்கது. .ராமானுஜனின் 125 ஆம் ஆண்டு பிறந்த நாளை ஒட்டி அமெரிக்க கணித அறிவியல் சொசைட்டி ஜார்ஜ் ஆண்ட்ரூஸ், ப்ரூஸ் ப்ருன்ட், கென் ஓனோ, கிருஷ்ணசாமி அல்லாடி, கண்ணன் சௌந்தரராஜன், வாகன், ஜோனாதன் போர்வின் மற்றும் ஓலே வார்னெர் என்ற 8 எண்கணித ஆராய்ச்சியாளர்கள் ராமானுஜனின் கணிதம் குறித்து எழுதிய கட்டுரைகளை வெளியிட்டுள்ளது.

கும்பகோணத்தில் இருக்கும் சாஸ்திரா பல்கலைக் கழகத்தால் 2005 ஆம் ஆண்டு முதல் ஒவ்வொரு ஆண்டும் ராமானுஜன் பரிசு அவரின் பிறந்த நாளன்று 32 வயதுக்குள் சாதனை செய்த கணிதவியலாலருக்குக் கொடுக்கப்படுகிறது. இந்த ஆண்டு இந்த பரிசு 25 வயதில் சாதனைகள் செய்து கணிதப் பேராசிரியராக இருக்கும் பீட்டர் சூல்ஜ் (Peter Scholze) அவர்களுக்குக் கொடுக்கப் பட்டுள்ளது. மேலும் இத்தாலியிலுள்ள The International Centre for Theoretical Physics (ICTP) 2003 ஆம் ஆண்டிலிருந்து ஒவ்வொறு வருடமும் 45 வயதிற்கு மேற்படாத வளரும் நாடுகளில் இருந்து சிறந்த கணித சாதனையளருக்குக் கொடுக்கப்படுகிறது. இதைத் தவிர இந்திய தேசிய விஞ்ஞானக் கழகம் 1962 ஆம் முதல் சிறந்த கணித அறிவியல் சாதனைக்கு ராமானுஜன் மெடல் கொடுத்து கௌரவிக்கிறது .

ராமானுஜன் காலத்தை ஒப்பிடும்போது எண்கணித ஆராய்ச்சி இன்று கற்பனை செய்ய முடியாத அளவு முன்னேறியுள்ளது. பெர்மாவின் இறுதித் தேற்றம் போன்ற பல நீண்ட நாளைய திறந்த கேள்விகளுக்கு விடை காணப்பட்டுள்ளது. அந்த முடிவுகளின் நிரூபணங்களில் ராமானுஜனின் ஆராய்ச்சி முடிவுகள் ஏதோ ஒரு விதத்தில் தன் இருப்பைக் காட்டிக் கொண்டுள்ளன இது அவரது கணிதத்தின் முக்கியத்துவத்தை அடிக்கோடிட்டுக் காட்டுவதாக அமைகிறது.

இதில் கென் ஓனோ இறுதி முடிவு கண்ட இராமானுஜனின் இரண்டு கணிதப் பங்களிப்புகளைப் பற்றி இப்போது பார்க்கலாம்.

ஒரு நாள் கிரிக்கெட் போட்டியில் 4 ஓட்டங்கள் எடுத்தால் வெற்றி என்ற நிலையிலுள்ள அணி சரியாக 4 ஓட்டங்களை எடுத்து வெற்றி பெறுவதானால் அந்த ஓட்டங்களை எப்படியெல்லாம் பெற முடியும் என்று பார்ப்போம். ஒரே பந்தில் 4 ஓட்டங்கள் அல்லது மூன்று ஓட்டங்கள் மற்றும் ஒரு ஓட்டம் (3+1), அல்லது இரண்டு, இரண்டு ஓட்டங்கள் (2+2) அல்லது இரண்டு ஓட்டங்கள் மற்றும் இரண்டு ஒரு ஓட்டங்கள் (2+1+1) இல்லையெனில் நான்கும் ஒரு ஓட்டங்கள் (1+1+1+1) என ஐந்து விதமாக இந்த ஓட்டங்களை எடுத்து வெற்றி பெறமுடியும். அதாவது 4 என்ற எண்ணை மற்ற எண்களின் கூட்டுத் தொகையாக 5 வெவ்வேறு விதமாக எழுத முடிகிறது (எந்த வரிசையில் கூட்டுத் தொகையை எழுதுகிறோம் என்பதைக் கணக்கில் கொள்ள வேண்டியதில்லை). இதைத்தான் கணிதத்தில் பிரிவினைகள்(partitions) என்று கூறுகிறார்கள்.

முதல் இயல் எண்ணான ஒன்றை 1 = 1 என்று மட்டுமே எழுத முடியும். ஆனால் இரண்டை

• 2 = 2,
• 2=1+1

என்று இரண்டு விதமாக பிரித்து எழுதலாம்,

• 3=3,
• 3=2+1,
• 3=1+1+1

என்று மூன்றை மூன்று விதமாக பிரித்து எழுத முடிகிறது.

• 5=5,
• 5=4+1,
• 5=3+2,
• 5=3+1+1,
• 5=2+2+1,
• 5=2+1+1+1
• 5=1+1+1+1+1,

மற்றும்

• 6=6,
• 6=5+1,
• 6=4+2,
• 6=4+1+1,
• 6=3+3,
• 6=3+2+1,
• 6=3+1+1+1,
• 6=2+2+2,
• 6=2+2+1+1,
• 6=2+1+1+1+1,
• 6=1+1+1+1+1+1

என ஐந்து மற்றும் ஆறை முறையே 7 மற்றும் 11 விதமாக பிரித்து எழுதலாம். ஒவ்வொரு கூட்டுத்தொகையையும் அந்த எண்ணின் பிரிவினை (partition) என்று அழைக்கிறோம். எந்த ஒரு நேர்மறை முழு எண்ணையும் (positive integer)எத்தனை விதமாக மற்ற நேர்மறை முழு எண்களின் கூட்டுத் தொகையாக எழுத முடியும் என்பதைத்தான் அந்த நேர்மறை முழு எண்ணின் பிரிவினைகள் (partitions) என்று அழைக்கிறோம்.

0,1,2,3,4,5,6,7…..என எல்லா எண்களுக்கும் அதன் பிரிவினைகளை எழுதினால் கிடைக்கும் வரிசை இப்படிச் செல்கிறது -

1,1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22, 30, 42, 56, 77, 101, 135, 176, 231, 297, 385, 490, 627, 792, 1002, 1255, 1575, 1958, 2436, 3010,…. ….169229875, ………… – எனக் கிடைக்கும். இந்த வரிசையில் எந்த ஒழுங்கையும் நம்மால் காண முடிவதில்லை. ஆனால் இந்த எண்களின் பிரிவினைகள் குறித்து ஆராய்ச்சி செய்த ராமானுஜன் சில ஒழுங்குகளைப் பார்த்தார். எண்ணின் பிரிவினைகளை கீழ்கண்டவாறு சிறிது மாற்றி எழுதுவோம்

1, 1, 2, 3, 5
7, 11, 15, 22, 30
42, 56, 77, 101, 135,
176, 231, 297, 385, 490,
627, 792, 1002, 1255, 1575,
………………………………………..

இதில் ஐந்தாவது நெடுவரிசையில் (5th Column) வரும் எண்களைக் கவனியுங்கள். அவை அனைத்தும் 5-ஆல் வகுபடுவதைக் காணலாம். இதில் ஐந்தாவது நெடுவரிசையில் (5th Column) வரும் எண்களைக் கவனியுங்கள். அவை அனைத்தும் 5-ஆல் வகுபடுவதைக் காணலாம். இதே போன்று கீழே இறுதி நெடுவரிசையில் வரும் எண்கள் 7-ஆல் வகுபடுவதைக் காணலாம்.

1,1, 2, 3, 5, 7,
11, 15, 22, 30, 42, 56, 77,
101, 135, 176, 231, 297, 385, 490,
627, 792, 1002, 1255, 1575, 1958, 2436,
………………………………………………….

இதே போல் 11-ஆல் வகுபடும் ஓர் ஒழுங்கையும் இந்த பிரிவினைகள் வரிசையில் காணலாம். இங்கு 5,7,11 எல்லாம் பகா எண்கள் (prime numbers). இந்த ஒழுங்கைத் தான் ராமானுஜன் கண்டறிந்து நிரூபிக்கவும் செய்தார். அதனுடன் நில்லாமல், இது போன்று மற்ற 13, 17, 19….பகா எண்களால் வகுபடும் ஒழுங்கையும் இந்த வரிசையில் காணமுடியும் என எழுதி வைத்துச் சென்றார் ராமானுஜன். அவர் கூறியது போல் இந்த நேர்மறை முழு எண்களின் பிரிவினைகள் வரிசையில் வரும் ஒழுங்கை 90 ஆண்டுகளுக்குப் பிறகு கென் ஓனோ கண்டறிந்தார். பிரிவினைகளின் வரிசையில் பகுவியல் (Fractal) தன்மை இருப்பதை கென் ஓனோ கண்டறிந்தார். கென் ஓனோவின் சாதனை குறித்த விவரமான தகவல்களைத் தெரிவிக்கும் சொல்வனம் கட்டுரை இங்கே இருக்கிறது.

ராமானுஜனின் மற்றொரு “தொலைந்த நோட்டுக்களில்” இருந்த குறிப்புகள் இந்தப் பிரிவினைகள் குறித்த உண்மையை நிறுவ உதவிய அனுமானமாகும். இந்த அனுமானத்தையும் நிரூபித்தவர் கென் ஓனோ தான். ராமானுஜன் இங்கிலாந்திலிருந்து இந்தியா திரும்பி, மருத்துவமனையில் சிகிச்சை பெற்றுக் கொண்டிருக்கும் சமயம்கூட தொடர்ந்து கணிதச் சிந்தனையுடன் இருந்தார். அவர் கடைசியாக ஹார்டிக்கு 1920 ஆண்டில் எழுதியக் கடிதத்தில் ஒரு விதமான சார்பைக் குறித்து எழுதி இருந்தார். சார்பு என்பது நாம் பள்ளியில் படித்த கிராப் (graph) எனக் கொள்ளலாம். அதாவது ஒரு பந்தை தூக்கி எறிந்தால் அது ஒரு வளைவுப் பாதையில் சென்று கீழிறங்கும். அதனை கீழேயுள்ள சார்பு அல்லது கிராப் மூலம் அறியலாம்.

கணிதத்தில் சில தனிச் சிறப்பு வாய்ந்த சார்புகள் தேவைக்கேற்ப வரையறுக்கப் படுவதுண்டு. அது போல் ஜாகோபி என்ற கணித மேதை தனிச் சிறப்பு மிக்க சார்புகளை அறிமுகப்படுத்தினார். ஜாகோபி அறிமுகப்படுத்திய சார்புகளை ஒத்த சார்புகளை ராமானுஜன் அறிமுகப்படுத்தினார். ஜாகோபி முன்வைத்த சார்புகள் சீர்மைத் தன்மை கொண்டவைகள். ஆனால் ராமானுஜன் சிந்தனையில் உருவான சார்புகள் சீர்மைத் தன்மை அற்றவைகள். மேலும் ராமானுஜன் தான் அறிமுகப்படுத்திய சார்புகள் எவ்வகையில் ஜாகோபியின் சார்புகளுடன் தொடர்புடையது எனும் அனுமானத்தை எழுதி வைத்திருந்தார். (ஜாகோபி சார்புகள் “தீட்டா” என்றும், ராமானுஜனின் சார்புகள் “மாக் தீட்டா” சார்புகள் எனவும் அழைக்கப் படுகின்றன.)

ராமானுஜனின் சார்புகள் நிறைவு செய்யும் 17 முற்றோருமைகளை தீர்வில்லாமல் ராமானுஜன் எழுதி வைத்திருந்தார். இந்த சார்புகளைப் பற்றி மேலும் ராமானுஜன் ஆராய்ச்சியைத் தொடர்வதற்கு முன் அவர் காலம் முடிந்து விட்டது. இந்த சார்புகள் குறித்து ஜார்ஜ் ஆண்ட்ரூஸ் தொடர்ந்து ஆராய்ச்சி செய்து பல முற்றொருமைகளுக்கு நிரூபணம் கொடுத்தார். இருந்தாலும் இந்த சார்புகளைக் குறித்த புரிதல் பெரிய புதிராகவே இருந்தது.

அந்தச் சார்பை பத்து ஆண்டுகளுக்கு முன்தான் கணிதவியலாளர்கள் சரியாக புரிந்து கொண்டார்கள். கென் ஓனோ ஜாகோபி மற்றும் ராமானுஜனின் சார்புகளின் மதிப்புக்களைக கண்டறிந்து ஒப்பிட்ட போது, அது ராமானுஜனின் அனுமானத்தை ஒத்திருந்தது. கென் ஓனோ தான் 2006 ஆம் ஆண்டு செய்த ஆராய்ச்சி முடிவைக் கொண்டு தான், ராமானுஜன் சார்புகளின் மதிப்பைக் கணக்கிட்டார்., அதனை ராமானுஜன் வாழ்ந்த காலத்தில் இருந்த கணிதத்தை வைத்துக் அவரால் கணக்கிட்டிருக்க முடியாது. அப்படி இருந்தும் ராமானுஜனால் எப்படி இந்த மாதிரி ஒரு சரியான அனுமானத்தை கொடுக்க முடிந்தது என ஆச்சிரியப்படுகிறார். பிரிவினைகள் பற்றி புரிந்து கொள்ள இந்த

“இந்த மாக் தீட்டா சார்புகள் குறித்த ராமானுஜனின் சாதனையே அவரை என்றென்றும் நினைவில் கொள்ள போதுமானது “என ஏல் பல்கலைக்கழகத்து பேராசிரியர் அமெண்டா பால்சம் கூறியுள்ளார்.இந்த மாக் தீட்டா சார்புகள் கருந்துளைகள் (black holes) ஆராய்ச்சியில் பயன்படும் வாய்ப்புக்கள் இருக்கின்றன. ராமானுஜன் வாழ்ந்த காலத்தில் கருந்துளைகள் என்ற ஒன்றே இருந்ததில்லை என்பதை நினைவில் கொள்ள வேண்டும். ராமானுஜன் சார்புகள் உதவுவது மட்டுமின்றி, மேலும் பல இடங்களில் இதன் பயன்கள் இருப்பதால் , கென் ஓனோ ராமானுஜனை “முன் கூட்டியே அறியும் திறம்” (anticipator) கொண்டவர் என்கிறார்.

கென் ஓனோவின் இந்த நிரூபணங்கள் தான் ராமானுஜனின் கணிதப் பங்களிப்பின் முடிவா என்ற கேள்விக்கு, கென் ஓனோ “ஆமாம். அப்படித் தான் நினைக்கிறேன். ஆனால் அது தவறாகவும் இருக்கலாம்” எனக் கூறியுள்ளார்.

இது போன்ற கணிதக் கோட்பாடுகள் தனக்குத் தோன்றியதற்கு நாமகிரித் தாயார் அருள்தான் காரணம் என ராமானுஜன் கூறியுள்ளார். இது நம்பிக்கை சார்ந்து சரியானதாக இருக்கலாம். அதே சமயம், ராமானுஜனின் கணிதச் சிந்தனைகள் ஜகோபி, ஆய்லர் போன்ற கணித மேதைகளின் ஆழமான கற்பனைகள் மற்றும் தர்க்கங்களை ஒத்திருந்தது என்பதும் குறிப்பிடத்தக்கது.

http://www.ams.org/notices/201211/rtx121101522p.pdf 

http://www.ams.org/profession/prizes-awards/sastraprize2013.pdf 

http://www.newscientist.com/article/mg21628904.200-mathematical-proof-reveals-magic-of-ramanujans-genius.html 

http://www.ams.org/notices/201011/rtx101101441p.pdf

கணித மேதை ஸ்ரீனிவாஸ இராமானுஜன்

கடந்த டிசம்பர் 22-ஆம் தேதி ஸ்ரீனிவாஸ ராமானுஜனின் 125-ஆவது பிறந்த நாள். அவர் நினைவாக சொல்வனம் இதழில் வெளியான  சிறப்புக்கட்டுரை இது.

இந்தியாவிலும், தமிழ்நாட்டிலும் கணித மேதை என்பதைக் கேட்டதும் பாமரனுக்கும் நினைவில் வருவது இராமானுஜன் பெயர்தான். இந்தியாவில் எத்தனையோ கணித வித்தகர்கள் இருந்த போதும், இவருடைய கணித ஆராய்ச்சியின் சுவடுகள் இன்றும் முக்கியத்துவம் வாய்ந்த ஒன்றாகக் கருதப்படுவதால்தான் இவருக்கு இந்தப் புகழ்.

ராமானுஜன் சிறு வயதிலிருந்தே கணிதத்தில் ஈடுபாடும், கடினமான கணிதப் புதிர்களுக்குக் கூட குறுகிய நேரத்தில் தீர்வு காணும் திறமையும் பெற்றிருந்தார் என்பது அனைவரும் அறிந்ததே. ராமானுஜன் பள்ளி நாட்களில் லோனியின் “திரிகோணமிதி” புத்தகத்தில் இருந்த கணக்குகளுக்குத் தீர்வு கண்டார். அதன் பின் கார் (Carr) என்பாரின் கணிதப் புத்தகம் கிடைக்கப் பெற்றார். அதைப் படித்ததில் ராமானுஜனுக்கு 18-19 ஆம் நூற்றாண்டின் கணிதத்தை அறிந்து கொள்ள முடிந்தது. அதே நேரத்தில் அந்தப் புத்தகத்தில் தீர்வுகளுக்கான வழி முறைகள் சரியாக விளக்கிச் சொல்லப்படவில்லை. அந்த வழக்கத்தை ராமானுஜனும் தன் கணிதத் தீர்வுகளில் பயன்படுத்தினார். அதனால் அவர் நோட்டுப் புத்தகத்தில் தேற்றங்கள் தெளிவான வழி முறைகள் இல்லாமல் குறிக்கப்பட்டிருந்தன. அவர் வழி முறைகள் இல்லாமல் எழுதி விட்டுச் சென்ற முடிவுகளை நிறுவ கணிதவியலாளர்களுக்குப் பல ஆண்டுகள் ஆகின.

அவர் 1903-1914 ஆம் ஆண்டு வரையிலான தன் கணித ஆராய்ச்சி முடிவுகளை இரண்டு பெரிய நோட்டுப் புத்தகத்தில் எழுதி வைத்திருந்தார். ராமானுஜன் தொடர்ந்து கணித ஆராய்ச்சி செய்ய விரும்பினார். அதற்காக யாராவது பொருளாதார உதவி செய்தால் பெற்றுக் கொள்ளத் தயாராக இருந்தார். தான் கண்டறிந்த கணித முடிவுகளை எழுதி இருந்த நோட்டுப் புத்தகத்தைத் தன் அக்குளில் வைத்துக் கொண்டு கணிதப் பேராசிரியர்கள், மற்றும் சமுதாயத்தில் சில பெரியவர்கள் எனப் பலரையும் சந்தித்து உதவியை நாடினார். ராஜாஜியும் இவருடன் கும்பகோணப் பள்ளியில் படித்திருந்தார். அவரையும் ராமானுஜன் சந்தித்தார். அவர் கணிதம் யாருக்கும் புரியவில்லை என்பதுதான் உண்மை. கிட்டத்தட்ட 100 தேற்றங்கள் கொண்ட ஒரு கடிதத்தை புகழ்பெற்ற இங்கிலாந்து கணிதப் பேராசிரியர் ஹார்டிக்கு எழுதினார் ராமானுஜன். அதைக் கூர்ந்து படித்த ஹார்டி, ராமானுஜன் இங்கிலாந்து வருவதற்கான ஏற்பாடுகளைச் செய்தார். இங்கிலாந்திலிருந்த ஐந்து ஆண்டுகள் அவர் மேற்கொண்ட ஆராய்ச்சியும் அதன் முடிவுகளும் அவர் திறமையை முழுவதும் வெளிப்படுத்த ஏதுவாக இருந்தன.

ராமானுஜன் தன் கணித திறமைக்கு நாமக்கல் நாமகிரித் தயார்தான் காரணம் என நினைத்தார் அதை சரி என்றோ இல்லை எனவோ நிறுவ முடியாது என்று ராமானுஜனின் கணித முடிவுகளில் ஆராய்ச்சி மேற்கொண்ட Bruce C. Berndt கூறியுள்ளார். ஆனால் ஹார்டி, ராமானுஜனின் சிந்தனை முறை மற்ற கணித மேதைகளை ஒத்திருந்தது என்றார். அவரின் கணித முடிவுகள் ஆய்லர் (Euler), ஜகோபி (Jacobi) போன்ற கணித மேதைகளுடன் ஒப்பிடும் தரத்தில் இருந்தது என்றும் ஹார்டி கூறியுள்ளார். இங்கிலாந்தில் வசித்த சமயம் ராமானுஜனின் உடல் நிலை பாதிக்கப்பட்டது. அவர் இந்தியா வந்து 1920 ஆம் ஆண்டு ஏப்ரல் 20 ஆம் தேதி இயற்கை எய்தினார். ஆனால் இன்றும் அவர் பெயரில் கணித ஆராய்ச்சி அமைப்புகள் நிறுவப்பட்டுள்ளன. பரிசுகள் கொடுக்கப்படுகின்றன.

ராமானுஜனை கெளரவிக்கும் விதத்தில், 1957 ஆம் ஆண்டு அழகப்பச் செட்டியார் ராமானுஜன் இன்ஸ்டிட்யூட் ஆஃப் மாதமாடிக்ஸ் (Ramanujan Institute of Mathematics) என்ற அமைப்பைத் துவக்கினார். ஆனால் சில வருடங்களில் அந்த நிறுவனத்தைத் தொடர்ந்து நடத்துவதில் பொருளாதாரச் சிக்கல்கள் தலை தூக்கின. அச்சமயம் நோபெல் பரிசு பெற்ற விஞ்ஞானி சந்திரசேகர் அவர்கள் ராமானுஜன் பெயரில் இயங்கும் நிறுவனத்தைக் காக்கும் பொருட்டு அன்றைய பிரதம மந்திரி நேருவின் உதவியை நாடினார். அந்த முயற்சியின் பலனாக பல்கலைக்கழக மானியக் குழுவின் உதவியுடன் 1927 ஆம் ஆண்டு முதல் இயங்கி வந்த மதராஸ் பல்கலைக்கழகத்தின் கணிதத் துறையுடன் இணைக்கப்பட்டு ‘ராமானுஜன் இன்ஸ்டிட்யூட் ஆஃப் அட்வான்ஸ்ட் ஸ்டடி இன் மாதமாடிக்ஸ்’ (Ramanujan institute of Advanced Study in Mathematics) என்ற பெயருடன் 1967 ஆம் ஆண்டிலிருந்து செயல் பட்டுக் கொண்டிருக்கிறது.

1987 ஆம் ஆண்டு ராமானுஜனின் 100 வது ஆண்டு விழா சிறப்பாகக் கொண்டாடிய சமயம் அதில் நானும் பங்கு பெறும் வாய்ப்புக் கிடைத்தது. நூற்றாண்டு விழாவை அன்று இந்தியப் பிரமதராக இருந்த ராஜீவ் காந்தி தொடங்கி வைத்தார். தொடக்க விழா கலைவாணர் அரங்கத்தில் நடந்தது. அதில் ராமானுஜனின் கணிதத்தில் ஆராய்ச்சி செய்து வந்த ஜார்ஜ் ஆன்ட்ரூஸ், விண் இயற்பியலாளர் சுப்ரமணியம் சந்திரசேகர் மற்றும் பல கணிதவியலாளர்கள் கலந்து கொண்டார்கள். அந்த விழாவில் சந்திரசேகர், நியுட்டன் மற்றும் ஐன்ஸ்டீனின் கணிதத் திறமையை ஒப்பிட்டு ஆற்றிய உரை மிகச் சிறந்ததாக இருந்தது.

ராமானுஜனின் பெயரில் கணித ஆராய்ச்சிக் கட்டுரைகளை தாங்கி ‘ராமானுஜன் ஜோர்னல்’ (Ramanujan Journal) என்ற சஞ்சிகை இன்னும் வெளிவருகிறது. கும்பகோணத்தில் இருக்கும் சாஸ்திரா பல்கலைக்கழகத்தால் வருடம் ஒரு முறை “ராமானுஜன் பரிசு” 2005 ஆம் ஆண்டு முதல், எண் கணிதத்தில் சாதனை புரிந்தவர்களுக்குக் கொடுக்கப்படுகிறது. ராமானுஜன் தன் சாதனைகளை 32 வயதுக்குள் அடைந்ததால் இந்தப் பரிசும் 32 வயதிற்குள் சாதனை செய்தவர்களுக்கே கொடுக்கப்படுகிறது. 2005 ஆம் ஆண்டு பரிசைத் தமிழ் நாட்டைச் சேர்ந்த கண்ணன் சௌந்தரராஜன் மற்றும் மஞ்சுள் பார்கவ் என இருவர்பகிர்ந்து கொண்டார்கள்.

ராமானுஜன் மையச் சதுரம், பையின் மதிப்பைக் கண்டறிதல், எண்ணின் பிரிவினைகள், முடிவில்லா தொடர்கள் என பல பிரிவுகளில் தன் ஆராய்ச்சி முடிவுகளை கொடுத்துச் சென்றுள்ளார். அவரின் இந்த 126 பிறந்த நாளில் அவரை இந்தியரும், தமிழரும் இன்னும் நினைவு வைத்திருப்பதைப் பற்றி நாம் மகிழ்ச்சி கொள்ளலாம்.

ராமானுஜனின் கணிதம்.

ராமானுஜன் அவரின் பள்ளிப் பருவத்தில் மாயச் சதுரங்கள் உருவாக்கிருக்கிறார். மேலும் அவைகளை உருவாக்கும் பொதுவான முறையையும் கொடுத்திருக்கிறார். மாயச் சதுரம் உதாரணமாக
8 1 6
3 5 7
4 9 2
என்று சதுரமாக 1 முதல் 9 வரை உள்ள எண்களை வரிசையாக (row) மற்றும் நெடுவரிசையாக (column) எழுதுவோம். இந்த 3X3 சதுரத்தில் வரிசையாக (row), நெடுவரிசையாக (column) மற்றும் மூலை விட்டங்களிலுள்ள எண்களைக் கூட்டினால் ஒரே கூட்டுத்தொகை 15 ஐ கொடுக்கிறது. இதைத்தான் .மாயச் சதுரம் என்கிறோம். இதில் மத்திய வரிசை, மத்திய நெடு வரிசை மற்றும் மூலை விட்ட எண்களைக் கவனிக்கவும். 1+4 5, 5+4= 9 மற்றும் 3+2=5, 5+2=7 என்றிருக்கிறது. அதாவது 1,5,9 மற்றும் 3,5,7 எண்கணிதக் கோவையாக (Arithmetic Progression) இருப்பதைக் காணலாம். அதே போல் தான் 8,5,2 மற்றும் 6,5,4 எண்களின் வரிசையும் இருப்பதைக் காணலாம். இராமானுஜன் இந்த எண்கணித நிபந்தனையை பயன்படுத்தி 3X3 மாயச் சதுரம் அமைக்கும் முறையைக் கொடுத்திருக்கிறார்.

A, B, C என்ற இயல் எண்கள் மற்றும் P, Q, R எனும் இயல் எண்கள் எண்கணிதக் கோவைகளாக இருக்கும் பட்சத்தில்.

C+Q A+P B+R
A+R B+Q C+P
B+P C+R A+Q

என்பது ஒரு மாயச் சதுரமாக அமையும் ஆனால் ஒரே எண் ஒரு முறைக்கு மேலும் சதுரத்தில் வருவதிற்கு வாய்ப்பிருக்கிறது. ஒரு உதாரணம். 54 கூட்டுத் தொகையாகவும், எல்லா எண்களும் மூன்றால் வகுபடும் படியும் இதோ ஒரு மாயச் சதுரம்.

30 9 15

3 18 33

21 27 6

ராமனுஜன் இங்கிலாந்தில் இருந்த போது உடல்நிலை சரியில்லாததால் மருத்துவ மனையில் சிகிச்சைக்காக சேர்க்கப் பட்டார். அவரை உடல் நலம் விசாரிக்கச் சென்ற ஹார்டி ”நான் பயணம் செய்த டாக்ஸ்யின் எண் எனக்குப் பிடித்ததாக இல்லை, 1729 என்ற அந்த எண்ணுக்கு எந்தச் சிறப்பியல்புமே இல்லை” என்றார்.

உடனடியாக ராமானுஜன், ”அந்த எண் இரண்டு வெவ்வேறு முறைகளில் இரண்டு எண்களின் 3 - இன் அடுக்குகுறியின் கூட்டுத் தொகையாக எழுத முடியக் கூடிய மிகச் சிறிய நேர்மறையான எண்” ஆகும் என்று கூறி ஹார்டியை ஆச்சிரியத்தில் ஆழ்த்தினார்.

அதாவது

1729 = 10^3 + 9^3
1729 = 12^3 + 1^3

ராமானுஜன் இதைக் குறித்த அவருடைய சிந்தனை அவருடைய தொலைந்த நோட்டுப் புத்தகத்தின் 341 ஆம் பக்கத்தில் இருப்பதைக் காணலாம். இதற்கும் 17 ஆம் நூற்றாண்டில் வாழ்ந்த Fermat என்ற கணித மேதை புத்தகத்தின் மார்ஜினில் எழுதி வைத்த ஒரு குறிப்புக்கும் தொடர்பிருக்கிறது. ஒரு முப்படி எண்ணை இரண்டு முப்படி எண்களின் கூட்டுத் தொகையாக எழுத முடியாது என்பது தான் அந்தக் குறிப்பு. (it is not possible to split a cube as a sum of two cubes).

அதாவது 12^3 = 10^3 + 9^3 – 1 என்றிப்பதைக் காணலாம். இதைப் போல் வேறு சில முற்றொருமை காட்டும் சமன்பாடுகள்.(identities) ராமானுஜன் எழுதி வைத்துள்ளார்.

135^3+138^3 = 172^3 – 1
11161^3+11468^3=14258^3+1
791^3+812^3=1010^3-1
65601^3+67402^2 = 83802^3 + 1
6^3+8^3 = 9^3-1

சரி இதெல்லாம் எப்படி ராமானுஜன் அறிய முடிந்தது? அவர் தொடர்ந்து கணிதச் சிந்தனையில் ஈடுபட்டதுதான் எனலாம். இது போல் ராமானுஜனின் வாழ்கையையும், கணிதத்தையும் தொடர்ந்து படித்தால் நிச்சியம் உக்கமளிப்பதாக இருக்கும் என்பதில் சந்தேகமில்லை. இதைக் குழந்தைகளுடனும், இளைஞர்களுடனும் பகிர்ந்து கொள்வது அவசியம். அதை விட குழந்தைகளின் திறமைகளைக் கண்டறிந்து அதனை முடித்த வரை ஊக்கப்படுத்த வேண்டும். அது எதிர் கால சமுதாயத்திற்கு பேருதவியாக இருக்கும் என்பதில் ஐயமில்லை.

கணித மேதை ராமானுஜனின் பிறந்த நாள் 22 டிசம்பர்

ராமானுஜன் பிறந்து 125 ஆண்டுகளுக்குப் பிறகும் அவரை இன்றும் கணித உலகும், பொது ஜனங்களில் பெரும்பாலோரும் நினைவில் கொண்டிருப்பது அவர் விட்டுச் சென்ற கணிதம் மனித சமுதாயத்தின் முன்னேற்றத்திற்கு பயன்படுவதால் என்றால் மிகையாகாது. அவருக்கு சிறு வயதிலிருந்தே கணிதத்தில் ஈடுபாடும், கணக்குகளுக்கு குறுகிய நேரத்தில் சிறப்பான தீர்வு காணும் திறமையும் பெற்றிருந்தார் என்பது அனைவரும் அறிந்ததே.

அவர் பள்ளியில் படிக்கும் சமயம் அவர் கணிதத் திறமையை சோதிக்கும் எண்ணத்துடன் அவர் நண்பர்கள் இந்த கீழே இருக்கும் கணக்கிற்கு தீர்வு காணுமாறு கூறினார்கள். அதைப் பார்த்த ராமானுஜன் உடனடியாக தீர்வைக் கூறினாராம். நீங்களும் இதன் தீர்வைக் கண்டறியலாம். இதற்கான விடையை கட்டுரையின் இறுதியில் காணலாம். 

+ x =7

அவருடைய  இந்திய வாழ்க்கை மிகவும் கஷ்ட திசையில் இருந்தது. ஆனால்

 ஹார்டி என்ற இங்கிலாந்து கணிதப் பேராசிரியரின் உதவியால் அவர் திறமை 

உலகிற்கு வெளிச்சம் போட்டுக் காட்ட உதவியது. அவர் செய்த கணித ஆராய்ச்சி 

 இன்றும் தேவையுள்ளதாக இருப்பது குறிப்பிடத் தக்கது. அவருடைய வாழ்க்கை 

வெற்றி தனக்கு சிறு வயதில் எதிர் காலத்தில் சாதிக்க முடியும் என்ற 

நம்பிக்கையைக் கொடுத்ததாக நோபெல் பரிசு பெற்ற வானிய இயற்பியலாளர் 

சுப்பிரமணியம் சந்திரசேகரன் கூறியுள்ளார்.

ராமானுஜன் குறித்த என் தளத்தில் இருக்கும் வேறு சில கட்டுரைகளின் சுட்டி கீழே கொடுத்துள்ளேன். படித்து மகிழவும்.

http://tlbhaskar.blogspot.com/search/label/%E0%AE%87%E0%AE%B0%E0%AE%BE%E0%AE%AE%E0%AE%BE%E0%AE%A9%E0%AF%81%E0%AE%9C%E0%AE%A9%E0%AF%8D

(கணக்கின் தீர்வு : 2 மற்றும் 3 இன் வர்க்கம் தான் விடை.) 

இராமனுஜனும், கணிதமும்

இந்தியாவில், குறிப்பாக, தமிழ்நாட்டில் கணிதம் என்றாலே பாமரனுக்கும் நினைவில் வருவது கணித மேதை இராமானுஜன் பெயர் தான். இந்தியாவில் எத்தனையோ கணித வித்தகர்கள் இருந்த போதும், ஏன் இவருக்கு மட்டும் இந்த நீங்காத புகழ் இருக்கிறதென்றால், இவர் கணித ஆராய்ச்சியின் சுவடுகள் இன்றும் முக்கியத்துவம் வாய்ந்த ஒன்றாக பின்பற்றப்படுவதால்  எனில் அது மிகையாகாது. அவரின் கணிதம் குறித்து பொது வாசகர்களுக்கு எழுதுவது மிகவும் கடினம். இந்த 125 ஆவது அவருடைய பிறந்த வருடத்தில், அவரைப்  பற்றியும், அவர் கணிதம் குறித்தும் எழுதும் முயற்சியின் தொடக்கம் தான் இது. இதில் சிறிதளவு வெற்றி கிடைத்தாலே பெரிய மகிழ்ச்சி தான்.

இராமானுஜனுக்கு சிறு வயது முதலே இயற்கையான கணித ஆர்வமும், அபாரமான நினைவாற்றலும் இருந்திருக்கிறது என்பது நாம் அறிந்ததே. அவர் பிற்காலத்தில் இங்கிலாந்தில் கண்டறிந்த மற்றும்   "தொலைந்த புத்தகங்களில்" நிரூபணம் இல்லாமல் எழுதி வைத்துச் சென்ற கணித உண்மைகளுக்கு, சிறுவயதில் தானாகவே மேற்கொண்ட கணித முயற்சிகள் உதவி இருக்கின்றன எனக் கூறலாம்.அவரின் பள்ளிப் பருவத்தில்  மாயச் சதுரங்கள் உருவாக்கிருக்கிறார். மேலும் அவைகளை உருவாக்கும் பொதுவான முறையையும் கொடுத்திருக்கிறார்.

மாயச் சதுரம் எனில்,





8  1  6
3  5  7
4  9  2

என்ற 3X3 சதுரத்தில் வரிசையாக (row), நெடுவரிசையாக (column) மற்றும் மூலை விட்டங்களிலுள்ள எண்களைக் கூட்டினால் ஒரே கூட்டுத்தொகையை கொடுக்கும். இங்கு இந்த மையச் சதுரத்தில் கூட்டுத் தொகை 15 கிடைக்கிறது..


21   14   19
16   18   20
17   22   15

இதில் முதல் மாயச் சதுரத்தில்  ஒவ்வொரு எண்ணுடனும் 13 னைக் கூட்டினால்     
54  கூடுதொகையாக வருவதைக் காணலாம். முதல் மாயச் சதுரத்தில் 1  முதல் 9 , இரண்டாவதில் 14 முதல் 22  வரையிலான எண்களும் பயன்படுத்தப் பட்டுள்ளன.இதைப் போன்று இயல் எண் N= 1,2 3,4 .......எனும் போது  (3N+15) என்ற கூட்டுத் தொகை உடைய  தொடர் எண்களைக் கொண்ட  3X3  மாயச் சதுரங்கள் அமைக்க முடியும். முயன்று பாருங்கள்.இதில் ஒரே ஒரு நிபந்தனை: முதல் வரிசையின் மத்திய எண் 1 ஆக இருக்க வேண்டும்.

 இப்போது இராமானுஜன்   செய்த மாய வித்தைகளை இப்போது பார்ப்போம்.
கூட்டுத் தொகை 27 வருமாறு ஒற்றை படை எண்களை மட்டும் பயன்படுத்தி 3X3 மாயச் சதுரத்துடன் தொடங்குவோம்.


15  1  11
5    9  13
7   17  3

மற்றுமொரு 19 ஐ கூட்டுத் தொகையை கொண்ட 3X3 சதுரத்தை பார்ப்போம்.

10   2  7
  4   6  9
  5  11  3


இந்த சதுரத்தில் மூன்று வரிசை, நெடுவரிசை மற்றும் ஒரே ஒரு மூலை விட்ட எண்களின் கூட்டுத் தொகை மட்டும் 19 ஆனால் மற்றொரு மூலை விட்டத்தின் கூட்டுத் தொகை 19 ஏன் வரவில்லை?  எனவே இது மாயச் சதுரம் ஆகாது.


சரி என்னதான் வித்தியாசம். மேலேயுள்ள மாயச் சதுரங்களில் மத்திய  வரிசை, மத்திய நெடு வரிசை மற்றும் மூலை விட்ட எண்கள் எண்கணிதக் கோவையாக (Arithmetic Progression) இருப்பதைக் காணலாம். ஆனால் 19 ஐ கூட்டுத் தொகையாக இருக்கும் சதுரத்தில் இந்த நிபந்தனை நிறைவேறவில்லை என்பது தெள்ளத் தெளிவு.


இராமானுஜன் இந்த எண்கணித நிபந்தனையை பயன்படுத்தி 3X3  மாயச் சதுரம் அமைக்கும் முறையைக் கொடுத்திருக்கிறார்.


A, B, C என்ற இயல் எண்கள் மற்றும் P, Q, R எனும் இயல் எண்கள் எண்கணிதக் கோவைகளாக இருக்கும் பட்சத்தில்.


C+Q   A+P  B+R


A+R   B+Q  C+P


B+P    C+R   A+Q


என்பது ஒரு மாயச் சதுரமாக அமையும். ஆனால் ஒரே எண் ஒரு முறைக்கு மேலும் சதுரத்தில் வருவதிற்கு வாய்ப்பிருக்கிறது.  உதாரணத்திற்கு கூட்டுத் தொகை 48 வருமாறு ஒரு மாயச் சதுரத்தை  உருவாக்குவோம்.


A+P = 13, A+Q = 15, A+R = 17, B+P = 14. B+Q = 16, B+R = 18, C+P = 15, C+Q = 17, C+R = 19 என எடுத்துக் கொள்வோம்.



17  13   18

17  16   15

14  19    15

மேலேயுள்ள 3X3 சதுரத்தில் வரிசையாக  (row), நெடுவரிசையாக (column) மற்றும் மூலை விட்டங்களிலுள்ள எண்களைக் கூட்டினால்
48 கிடைப்பதைக் கண்டறியலாம். மேலும் ஒரு உதாரணம். 54 கூட்டுத் தொகையாகவும், எல்லா எண்களும் மூன்றால் வகுபடும் படியும் இதோ ஒரு மாயச் சதுரம்.

30     9    15


 3    18    33


21    27     6

பதிவு நீளமானதால் அடுத்த பதிவில் இந்த மாயச் சதுரத்தில்  உள்ள கணிதம்,
4X4 மாயச் சதுரம் போன்றவற்றை பார்க்கலாம்.

உங்களுக்கு தொடக்கப் பள்ளி செல்லும் குழந்தைகளிருந்தால் இந்த பதிவைப் படித்துக் காட்டி சிறிது கணித ஆர்வத்தை ஊட்ட முயலலாமே?

                                                                                         -- தொடரும் ...

இராமானுஜன் பிறந்த நாள் மேஜிக் சதுரம்

கணித மேதை இராமானுஜனின் பிறந்த நாள் டிசம்பர் 22 . அவர் பிறந்த வருடம் 1887
அவரின் கணித சாதனைகள் குறித்து பல கட்டுரைகள் எழுதப்பட்டன. ஆனால் அவர் கணிதம் பற்றி சாதாரண வாசகனுக்கு எடுத்துச் சொல்வது போல் எழுதுவது கடினமாக உள்ளது. முடிந்த வரை எழுதி என் தளத்தில் பதிவு செய்ய முயல்கிறேன்.இராமானுஜனின் இளம் வயதில் "மேஜிக் சதுரம்" பற்றி அவருக்கு ஈடுபாடு இருந்தது என்பது தெரிந்ததே.


இந்த பதிவில் P . K . ஸ்ரீநிவாஸ் அவர்களின் முறையை உபயோகித்து இந்த வருட இராமானுஜனின் பிறந்த நாளை ஒரு மேஜிக்  சதுரமாக இங்கு பார்ப்போம். இந்த சதுரத்தில் எந்த ரோ மற்றும் காலத்தை கூட்டினால் 65  வரும். மேலும் மூலை விட்டத்தில் உள்ள எண்களைக் கூட்டினாலும் 65 வரும். 22-12-2011 இராமானுஜனின் இந்த வருட பிறந்த நாள். இதைப் போன்று உங்கள் பிறந்த நாளையும் மேஜிக் சதுரமாக எழுத முடியும். முயன்று பாருங்கள். இதற்கு தேவை கணிதத்திற்கு சேவை செய்த ஆசிரியர் P . K . ஸ்ரீனிவாசனின் மேஜிக் சதுரம் உருவாக்கும்  முறை. அதை இங்கு கண்டறியலாம்.

ஒரே எண்ணை பல முறை பயன்படுத்தினால்  இதைப் போன்ற மேஜிக் சதுரங்கள் உருவாக்குவது சுலபம். வேறு வேறு எண்களை வைத்து இதை உருவாக்குவது கடினம்.

22	12	20	11
0	18	23	24
28	16	8	13
15	19	14	17

இயல் எண்களின் பிரிவினைகள், இராமானுஜன் மற்றும் கென் ஓனோ

சமீபத்தில் வெளியான சொல்வனம் இதழில் இடம்பெற்ற என் கட்டுரை. இதை வெளியிட்ட சொல்வனம் ஆசிரியருக்கு மிக்க நன்றிகள். கொஞ்சம் பொறுமையாக படிக்கச் வேண்டிய கட்டுரை. கணிதத்தில் ஆர்வம் இருந்தால் கட்டாயம் அனுபவிக்க முடியும்.

“எல்லா அறிவியல் பிரிவுகளுக்கும் கணிதமே மகாராணி. ஆனால் எண்கணிதமே கணிதத்தின் மகாராணி” என்று புகழ் பெற்ற கணித மேதை கௌஸ் (Gauss) கூறியுள்ளார். அப்படிப்பட்ட எண் கணிதத்தில் இன்றைய ஆராய்ச்சியாளர்களுக்கு முன்னோடியாகத் திகழ்ந்தவர் இந்திய கணித மேதை இராமானுஜன் என்றால் மிகையாகாது. “ஒவ்வொரு நேர்மறையான முழு எண்ணும் (positive integer) இராமானுஜனின் தனிப்பட்ட நண்பர்கள்” என்ற டி.ஜெ. லிட்டில்வூட் (Littlewood) என்ற கணிதவியலாளரின் கூற்றுக்கிணங்க 1919 ஆம் ஆண்டு இராமானுஜன் இயல் எண்களைப் பற்றி எழுதி வைத்துச் சென்ற குறிப்பின் வீச்சும், பொருளும் அறிய ஏறக்குறைய 90 ஆண்டுகள் காத்திருக்க வேண்டியதாக இருந்தது.

அதனைக் கண்டறிந்தவர் அமெரிக்காவிலுள்ள எமோரி பல்கழகத்தைச் சேர்ந்த எண்கணித வித்தகர் கென் ஓனோ (Ken Ono). கென் ஓனோவின் தந்தை தகிஷோ ஒனோவும் ஓர் எண் கணித ஆராய்ச்சியாளர். இராமானுஜன் நினைவாக அவருக்கு நெஞ்சளவு உள்ள சிலை செய்வதற்கு டாலர் 25 நன்கொடையாகக் கொடுத்தார். அதற்கு நன்றி தெரிவித்து இராமானுஜனின் மனைவி ஜானகி அம்மாள் எழுதிய கடிதத்தில் இருந்த இராமானுஜனின் படத்தைப் பார்த்து இராமனுஜனைப் பற்றி அறிய ஆவல் கொண்டார் கென் ஓனோ. இராமனுஜனைப் பற்றி கிடைக்கப் பெற்ற தகவல்கள் முழுதும் படித்து அதனால் ஈர்க்கப்பட்டு, தன் தொழிலாக எண்கணித ஆராய்ச்சியைத் தேர்ந்தெடுத்தார். இன்று கணித வரலாற்றில் நீங்காத இடமும், என்றும் மறையாத புகழும் பெற்று ஜொலிக்கிறார்.

ஒரு நாள் கிரிக்கெட் போட்டியில் 4 ஓட்டங்கள் எடுத்தால் வெற்றி என்ற நிலையிலுள்ள அணி சரியாக 4 ஓட்டங்களை எடுத்து வெற்றி பெற்றால் அந்த ஓட்டங்களை எப்படியெல்லாம் பெற முடியும் என்று பார்ப்போம். ஒரே பந்தில் 4 ஓட்டங்கள் அல்லது மூன்று ஓட்டங்கள் மற்றும் ஒரு ஓட்டம் (3+1), அல்லது இரண்டு, இரண்டு ஓட்டங்கள் (2+2) அல்லது இரண்டு ஓட்டங்கள் மற்றும் இரண்டு ஒரு ஓட்டங்கள் (2+1+1) இல்லையெனில் நான்கும் ஒரு ஓட்டங்கள் (1+1+1+1) என ஐந்து விதமாக இந்த ஓட்டங்களை எடுத்து வெற்றி பெறமுடியும். அதாவது 4 என்ற இயல் எண்ணை மற்ற இயல் எண்களின் கூட்டுத் தொகையாக 5 வெவ்வேறு விதமாக எழுத முடிகிறது(எந்த வரிசையில் கூட்டுத் தொகையை எழுதுகிறோம் என்பதைக் கணக்கில் கொள்ள வேண்டியதில்லை). இதைத்தான் கணிதத்தில் பிரிவினைகள்(partitions) என்று கூறுகிறார்கள்.

கட்டுரையை தொடர்ந்து சொல்வனத்தில் படிக்கவும்.

1729 என்ற எண்ணின் சிறப்பு என்ன?

தமிழ் நாட்டில் பிறந்து கணிதத்தில் கோலோச்சிய மேதை ஸ்ரீனிவாச ராமானுஜனைப் பற்றி பல தகவல்கள்,புத்தகங்கள் வெளிவந்துள்ளன.
அவருக்கு எண்களின் மேல் ஒரு தீராத மோகம் இருந்தது என்று கூறலாம்.அவர் எண் தத்துவத்தில் பல சாதனைகள் செய்துள்ளார்.
இங்கிலாந்து நாட்டைச் சேர்ந்த ஹார்டி என்ற கணித மேதை தான் ராமானுஜனை ஊக்குவித்து அவருக்கு உரிய பேரும் புகழும் உலக அளவில் வெளிச்சத்திற்கு வர உதவினார் என்பது நம்மில் பலருக்கும் தெரிந்த ஒன்று.

ராமனுஜன் இங்கிலாந்தில் இருந்த போது உடல்நிலை சரியில்லாததால் மருத்துவ மனையில் சிகிச்சைக்காக சேர்க்கப் பட்டார்.
அவரை உடல் நலம் விசாரிக்கச் சென்ற ஹார்டி

"நான் பயணம் செய்த டாக்ஸ்யின் எண் எனக்குப் பிடித்ததாக இல்லை" என்று கூறினார்.




ராமனுஜன் அந்த எண் என்ன என்று வினவினார்.அதற்கு ஹார்டி கொடுத்த பதில் "1729" ஆகும்.

உடனடியாக ராமானுஜன்

"அந்த எண் இரண்டு வெவ்வேறு முறைகளில் இரண்டு எண்களின் 3 - இன் அடுக்குகுறியின் கூட்டுத் தொகையாக எழுத முடியக் கூடிய மிகச் சிறிய நேர்மறையான எண்"

ஆகும் என்று கூறி ஹார்டியை ஆச்சிரியத்தில் ஆழ்த்தினார்.

அதாவது

1729 = 10^3 + 9^3
1729 = 12^3 + 1^3

என இரண்டு முறைகளில் எழுத முடியும்.

10^3 என்றால் 10X10x10 ஆகும்.இதைப் போல் பல எண்களின் சிறப்புக்களைப் பற்றி பதிவு எழுத உத்தேசம்.