இராமனுஜனும், கணிதமும்

இந்தியாவில், குறிப்பாக, தமிழ்நாட்டில் கணிதம் என்றாலே பாமரனுக்கும் நினைவில் வருவது கணித மேதை இராமானுஜன் பெயர் தான். இந்தியாவில் எத்தனையோ கணித வித்தகர்கள் இருந்த போதும், ஏன் இவருக்கு மட்டும் இந்த நீங்காத புகழ் இருக்கிறதென்றால், இவர் கணித ஆராய்ச்சியின் சுவடுகள் இன்றும் முக்கியத்துவம் வாய்ந்த ஒன்றாக பின்பற்றப்படுவதால்  எனில் அது மிகையாகாது. அவரின் கணிதம் குறித்து பொது வாசகர்களுக்கு எழுதுவது மிகவும் கடினம். இந்த 125 ஆவது அவருடைய பிறந்த வருடத்தில், அவரைப்  பற்றியும், அவர் கணிதம் குறித்தும் எழுதும் முயற்சியின் தொடக்கம் தான் இது. இதில் சிறிதளவு வெற்றி கிடைத்தாலே பெரிய மகிழ்ச்சி தான்.

இராமானுஜனுக்கு சிறு வயது முதலே இயற்கையான கணித ஆர்வமும், அபாரமான நினைவாற்றலும் இருந்திருக்கிறது என்பது நாம் அறிந்ததே. அவர் பிற்காலத்தில் இங்கிலாந்தில் கண்டறிந்த மற்றும்   "தொலைந்த புத்தகங்களில்" நிரூபணம் இல்லாமல் எழுதி வைத்துச் சென்ற கணித உண்மைகளுக்கு, சிறுவயதில் தானாகவே மேற்கொண்ட கணித முயற்சிகள் உதவி இருக்கின்றன எனக் கூறலாம்.அவரின் பள்ளிப் பருவத்தில்  மாயச் சதுரங்கள் உருவாக்கிருக்கிறார். மேலும் அவைகளை உருவாக்கும் பொதுவான முறையையும் கொடுத்திருக்கிறார்.

மாயச் சதுரம் எனில்,





8  1  6
3  5  7
4  9  2

என்ற 3X3 சதுரத்தில் வரிசையாக (row), நெடுவரிசையாக (column) மற்றும் மூலை விட்டங்களிலுள்ள எண்களைக் கூட்டினால் ஒரே கூட்டுத்தொகையை கொடுக்கும். இங்கு இந்த மையச் சதுரத்தில் கூட்டுத் தொகை 15 கிடைக்கிறது..


21   14   19
16   18   20
17   22   15

இதில் முதல் மாயச் சதுரத்தில்  ஒவ்வொரு எண்ணுடனும் 13 னைக் கூட்டினால்     
54  கூடுதொகையாக வருவதைக் காணலாம். முதல் மாயச் சதுரத்தில் 1  முதல் 9 , இரண்டாவதில் 14 முதல் 22  வரையிலான எண்களும் பயன்படுத்தப் பட்டுள்ளன.இதைப் போன்று இயல் எண் N= 1,2 3,4 .......எனும் போது  (3N+15) என்ற கூட்டுத் தொகை உடைய  தொடர் எண்களைக் கொண்ட  3X3  மாயச் சதுரங்கள் அமைக்க முடியும். முயன்று பாருங்கள்.இதில் ஒரே ஒரு நிபந்தனை: முதல் வரிசையின் மத்திய எண் 1 ஆக இருக்க வேண்டும்.

 இப்போது இராமானுஜன்   செய்த மாய வித்தைகளை இப்போது பார்ப்போம்.
கூட்டுத் தொகை 27 வருமாறு ஒற்றை படை எண்களை மட்டும் பயன்படுத்தி 3X3 மாயச் சதுரத்துடன் தொடங்குவோம்.


15  1  11
5    9  13
7   17  3

மற்றுமொரு 19 ஐ கூட்டுத் தொகையை கொண்ட 3X3 சதுரத்தை பார்ப்போம்.

10   2  7
  4   6  9
  5  11  3


இந்த சதுரத்தில் மூன்று வரிசை, நெடுவரிசை மற்றும் ஒரே ஒரு மூலை விட்ட எண்களின் கூட்டுத் தொகை மட்டும் 19 ஆனால் மற்றொரு மூலை விட்டத்தின் கூட்டுத் தொகை 19 ஏன் வரவில்லை?  எனவே இது மாயச் சதுரம் ஆகாது.


சரி என்னதான் வித்தியாசம். மேலேயுள்ள மாயச் சதுரங்களில் மத்திய  வரிசை, மத்திய நெடு வரிசை மற்றும் மூலை விட்ட எண்கள் எண்கணிதக் கோவையாக (Arithmetic Progression) இருப்பதைக் காணலாம். ஆனால் 19 ஐ கூட்டுத் தொகையாக இருக்கும் சதுரத்தில் இந்த நிபந்தனை நிறைவேறவில்லை என்பது தெள்ளத் தெளிவு.


இராமானுஜன் இந்த எண்கணித நிபந்தனையை பயன்படுத்தி 3X3  மாயச் சதுரம் அமைக்கும் முறையைக் கொடுத்திருக்கிறார்.


A, B, C என்ற இயல் எண்கள் மற்றும் P, Q, R எனும் இயல் எண்கள் எண்கணிதக் கோவைகளாக இருக்கும் பட்சத்தில்.


C+Q   A+P  B+R


A+R   B+Q  C+P


B+P    C+R   A+Q


என்பது ஒரு மாயச் சதுரமாக அமையும். ஆனால் ஒரே எண் ஒரு முறைக்கு மேலும் சதுரத்தில் வருவதிற்கு வாய்ப்பிருக்கிறது.  உதாரணத்திற்கு கூட்டுத் தொகை 48 வருமாறு ஒரு மாயச் சதுரத்தை  உருவாக்குவோம்.


A+P = 13, A+Q = 15, A+R = 17, B+P = 14. B+Q = 16, B+R = 18, C+P = 15, C+Q = 17, C+R = 19 என எடுத்துக் கொள்வோம்.



17  13   18

17  16   15

14  19    15

மேலேயுள்ள 3X3 சதுரத்தில் வரிசையாக  (row), நெடுவரிசையாக (column) மற்றும் மூலை விட்டங்களிலுள்ள எண்களைக் கூட்டினால்
48 கிடைப்பதைக் கண்டறியலாம். மேலும் ஒரு உதாரணம். 54 கூட்டுத் தொகையாகவும், எல்லா எண்களும் மூன்றால் வகுபடும் படியும் இதோ ஒரு மாயச் சதுரம்.

30     9    15


 3    18    33


21    27     6

பதிவு நீளமானதால் அடுத்த பதிவில் இந்த மாயச் சதுரத்தில்  உள்ள கணிதம்,
4X4 மாயச் சதுரம் போன்றவற்றை பார்க்கலாம்.

உங்களுக்கு தொடக்கப் பள்ளி செல்லும் குழந்தைகளிருந்தால் இந்த பதிவைப் படித்துக் காட்டி சிறிது கணித ஆர்வத்தை ஊட்ட முயலலாமே?

                                                                                         -- தொடரும் ...