புதன், 12 மார்ச், 2014

சார்புகள் – நுண்கணிதத்தின் நுழைவாயில்

பல நூற்றாண்டுகளாக பூமியை மையமாக வைத்துத் தான் வட்டப் பாதையில் மற்ற கிரகங்கள் சுற்றி வருகிறது என்று கணித மாதிரிகளை Eudoxus முதல் Ptolemy வரை உருவாக்கினார்கள். அதன் பிறகு 16 ஆம் நூற்றாண்டில் காபர்னிகஸ் சூரியனைத் தான் மற்ற கிரகங்கள் சுற்றி வருகிறது என்றாலும், அவரும் வட்டச் சுற்றுப் பாதையையே கொண்ட மாதிரிகளைத் தான் முயன்றார். இது எதுவும் கிரகங்களின் சுற்றுப் பாதையின் தரவுகளுடன் ஒத்துப் போகவில்லை. இதன் பிறகு அந்த காலத்தில் இருந்த வானியல் தொடர்பான தரவுகளை கெப்லர் ஒழுங்கு படுத்தி கிரகங்கள் சூரியனைச் சுற்றி நீள்வட்டப் பாதையில் செல்கிறது என்றார். மேலும் கிரகங்களின் சுற்றுப் பாதையைக் குறித்து மூன்று விதிகளை முன் மொழிந்தார்.கெப்லரின் தரவுகளை மெய்ப்பிக்கும் வகையிலான ஒரு மாதிரியை உருவாக்க நியூட்டன் முயன்றார்.அதில் வெற்றியும் அடைந்தார். நியூட்டன் கிரகங்களின் நகரும் பாதையையும் மற்றும் அவைகள் சூரியனைச் சுற்றி வருவதைக் குறித்து அறிய முயன்ற போது தான் நுண்கணிதத்தை கண்டு பிடித்தார். ஆனால் இந்த நுண்கணிதத்தை பள்ளியில் கற்பிக்கும்போது எந்தளவு முக்கியத்துவம் கொடுக்கப்படுகிறது? நுண்கணிதம் கற்க சார்புகள், எல்லை போன்ற அடிப்படை கருத்தாக்கங்களின் புரிதல் மிகவும் இன்றியமையாதது. இந்தக் கருத்தாக்கங்கள் எந்த அளவிற்கு ஆழமாக கற்பிக்கப்படுகின்றன என்ற கேள்வி தவிர்க்க முடியாதது.
பாடத்திட்டம், கால அவகாசம், மாணவர்களைத் தேர்வுகளுக்கு தயார் செய்வது, கணிதத்தில் குறையாமல் 100% சதவிகித மதிப்பெண் என்ற பெற்றோர்களின் எதிர்பார்ப்பு, இவைகளின் நடுவில் சிக்கித் தவிக்கும் ஆசிரியர்கள். இன்று நிலைமை எப்படியோ, நான் புகுமுக வகுப்பு படிக்கும்போது (+2 கல்வி முறை வருவதற்கு இரண்டு ஆண்டுகள் முன்) சார்புகள் குறித்து தெளிவாகச் சொல்லிக் கொடுத்த நினைவில்லை. அதுவும் தமிழ் வழிக் கல்வியில் படித்துவிட்டு, ஆங்கிலத்திலேயே பேசி உயிரெடுத்த பாதிரியார் வேறு, போதாதா குறைக்கு!
இப்போது பார்க்கப்போகும் விஷயங்கள் எல்லோருக்கும் தெரிந்ததே. இதனை ஒரு நினைவுபடுத்தலாகக் கொள்ளலாம்
சார்பு என்றால் என்ன? எடை பார்க்கும் இயந்திரத்தில் நிற்கிறீர்கள்.. அதில் ஒரு ரூபாய் நாணயத்தைப் போடுகிறீர்கள். அது உடனே உங்கள் எடையைக் கணக்கிட்டு சிறிய அட்டையை திருப்பிக் கொடுக்கிறது. இதில் ஒர் உள்ளீடு- இயந்திரத்தில் நீங்கள் நிற்பது; ஒரு தொடர்பு – நாணயத்தைப் போடுவது – ஒரு வெளியீடு -உங்கள் எடையை எந்திரம் கொடுக்கிறது. இங்கு (நீங்கள், உங்கள் எடை) என்பதை ஒரு வரிசைப்படுத்தப்பட்ட சோடி (ordered pair) எனலாம். இது போல் பத்து பேர் எடை பார்க்கப்படுகிறது. அதனை (முதல் நபர், 150), (இரண்டாவது நபர், 135), (மூன்றாவது நபர், 165)……(பத்தாவது நபர், 175) என்று குறித்து வைத்துக் கொள்ள முடியும்.. அதாவது ஒரு பக்கம் 10 நபர்கள் மறு பக்கம் அவர்களின் எடைகள். ஒவ்வொருவரையும் அவர்களின் எடையுடன் இங்கு அடையாளப்படுத்துகிறோம். இதுதான் சார்பு என்பதாகும்.
இங்கு 1,2,3,4,…10 என்பதை சார்பகம் (domain) என்றும், அடையாளப்படுத்தப்படும் எடைகளை 150,135,165,….175 துணை சார்பகம் (co domain) எனவும் அழைக்கிறோம்.

சார்பின் வரையறை

A என்ற ஒரு சார்பகத்தில் உள்ள எல்லா பொருட்களையும் B எனும் இணைச் சார்பகத்திலிருக்கும் பொருட்களுடன், வரையறுக்கப்பட்ட முறையில் கீழ்கண்ட இரண்டு நிபந்தனைகளின் அடிப்படையில். தொடர்புபடுத்தப்படுவதற்குப் பெயர்தான் சார்பு ஆகும்.
1. சார்பகத்தில் உள்ள ஒருபொருள்கூட விடுபடாமல் துணைச் சார்பிலிருக்கும் ஒரு பொருளுடன் தொடர்புபடுத்தப்பட வேண்டும்.
2. சார்பகத்தில் உள்ள ஒவ்வொரு பொருளும் துணைச் சார்பகத்தின் ஒரே ஒரு பொருளுடன்தான் தொடர்புபடுத்தப்பட வேண்டும்.
இப்போது A=(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10) மற்றும் B=(2,4,6,8,10,12,14,16,18,20) எனவும் எடுத்துக் கொண்டால்,
f: A —-> B என்பதை f(x) = 2x எனும் தொடர்பின் மூலம் ஒரு சார்பாக வரையறுக்கலாம்.
சார்புக்கு f(x) என்ற குறியீட்டு முறையை முதலில் பயன்பாட்டிற்கு கொண்டு வந்தவர் ஆய்லர்.
சார்பு – மேலும் சில உதாரணங்கள்
N – எல்லா இயல் எண்களைக் குறிக்கும்.
Z – எல்லா முழு எண்களைக் குறிக்கும்.
R – எல்லா மெய் எண்களையும் குறிக்கும்.
N = {1,2,3,4………….}
Z = {………..-3,-2,-1,0,1,2,3……….}
இப்போது N-ல் உள்ள ஒவ்வொரு எண்ணையும் -2 ஆல் பெருக்கி Z -க்கு கொண்டு செல்வோம்.அதாவது
1 —> -2
2 —> -4
3 —> -6
கீழே காண்பது போல் சார்புகளை கிராப் மூலமும் வெளிப்படுத்த முடியும்.
Graphs_Functions_Math_X
சார்புகளில் மிக அடிப்படையான ஒன்று ஒருபடிச் சார்புகள் (Linear functions). கிராப் (graph) ஆக வரையும்போது ஒருபடிச் சார்புகள் ஒரு நேர்கோட்டைக் குறிக்கும்.
உதாரணமாக
R – எல்லா மெய் எண்களைக் குறிக்கிறது எனக் கொள்வோம்
f: R–>R என்பதை f(x) = x+2, எனும் தொடர்பின் மூலம் ஒருபடிச் சார்பாக வரையறுக்கலாம்.

நுண்கணிதத்தில் சார்புகளின் இடம்

நுண்கணிதம் என்றால் என்ன என்ற கேள்விக்கு மிக எளிமையான விடை சொல்ல வேண்டுமெனில் கடினமான சார்புகளை ஒருபடிச் சார்புகளைக் கொண்டு தோராயமாக்குவது எனலாம்.
இது எப்படி என இப்போது பார்க்கலாம்.
மெய் எண்களைச் சார்பாகவும் இணைச் சார்பாகவும் கொண்ட f(x)=x^2 எனும் இருபடிச் சார்பை (quadratic function) எடுத்துக் கொள்வோம். f(x)=x^2 எனும் சார்பானது கொடுக்கும் கிராப் அல்லது வரைபடம் ஒரு நேர்கோடாக இருக்காது. ஆனால் மிகச் சிறிய இடைவெளியில் உற்று நோக்கினால் அது ஒரு நேர்கோடு போலத் தோன்றும். இதை இப்படி சிந்தித்துப் பார்ப்போம். பூமி உருண்டை தான். ஆனால் நாம் நடந்து செல்லும் போது அது ஒரு தட்டை வடிவம் போலத் தான் தோன்றுகிறது இல்லையா? அது போல் தான் இதுவும். f(x)=x^2 யில் A என்று ஒரு புள்ளியை எடுத்துக் கொள்வோம்.இந்தப் புள்ளிக்கருகில் சார்பின் வரைபடம் ஒரு நேர்கோடாகத் தெரியும் .இந்த நேர்கோடை ஒத்த A என்ற புள்ளியில் இந்தச் சார்பிற்கு வரையப்படும் நேர்கோடு தான் தொடுகோடு எனப்படுகிறது. அந்த தொடுகொட்டின் சரிவு தான் (tangent) இந்த சார்பிற்கு A என்ற புள்ளியில் வகைகெழு எனப்படுகிறது. இங்கு கவனிக்க வேண்டியது தொடுகோட்டின் சரிவு வரம்புக்குட்பட்டதாக(finite) இருக்க வேண்டும். அப்போது தான் சார்பிற்கு அந்த புள்ளியில் வகைகெழு இருக்கும். தொடுகோட்டின் சரிவு வரம்புக்குட்பட்டதாக இல்லையெனில், அந்தப் புள்ளிக்கருகில் சார்பின் வரைபடம் நேர்கோடாகத் தெரியாது மேலும் வகைகெழுவும் அந்தப் புள்ளியில் இருக்காது.
மேலும் சிறிது விரிவாகப் பார்ப்போம். f(x)=x^2 எனும் சார்பானது கீழே உள்ளது போன்ற ஒரு பரவளையத்தைக் குறிக்கும்.
Y_Equals_X_Squared_Graphs_Slope_Functions_Math
இதில் P மற்றும் Q எனும் இரண்டு புள்ளிகளை எடுத்துக் கொள்வோம். இந்த இரண்டு புள்ளிகளையும் இணைக்கும் ஒரு நேர்கோடு வரைவோம். பிறகு அந்த புள்ளி Q வை சிறுது சிறிதாக P யை நோக்கி பரவளையத்தில் நகர்த்தவும். புள்ளி Q –>P யை நோக்கி வர, வர அந்த இரண்டு புள்ளிகளை இணைக்கும் நேர்கோடுகளை வரைந்து கொண்டே வரவும். அந்த நேர்கோடுகள் P யை நோக்கி வந்து, ஒரு கட்டத்தில் P யில் பரவளையத்திற்கு இணைகோடாக (tangent line) மாறுவதைக் காணலாம்.
இங்கே Q –> P யை நோக்கி வரும்போது என்ன நடக்கிறது என்பதைச் சற்று கவனமாகப் பார்ப்போம். புள்ளி Q –>P யை நோக்கி வர, வர அந்த இரண்டு புள்ளிகளை இணைக்கும் நேர்கோடுகளின் சரிவு குறைந்து கொண்டே வந்து P யில் சூனியத்தை அடைவதைக் காணலாம்.. இங்கு முக்கியமாக கவனிக்க வேண்டியது Q மற்றும் Pஒரே புள்ளியாக மாறுவதில்லை. (மேலும்http://math.bu.edu/people/tkohl/teaching/spring2013/secant.html)
ஆனாலும் Q எனும் புள்ளி ப் யுடன் ஒன்றாகாமல் எப்படி இந்த இணைகோடு கிடைக்கிறது என குழப்பம் வரலாம். அதற்கு இந்த உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்.
நீங்கள் பைக் அல்லது காரில் பயணிக்கிறீர்கள். உங்களுடைய வேகம் எப்படி கணிக்கப்படுகிறது? நீங்கள் பயணித்த தூரத்தை, பயணம் செய்த நேரத்தால் வகுத்தால் கிடைப்பது வேகமாகும். நீங்கள் ஸ்பீடாமீட்டரைப் பார்க்கும்போது அது 40 கி.மீ. வேகத்தில் செல்வதாக காண்பிக்கிறது. இங்கு நீங்கள் ஸ்பீடாமீட்டரை பார்க்கும் கணத்தில் வண்டி செல்லும் தூரம் சூன்யம்தான். அதாவது பயணித்த தூரம் மற்றும் நேரம் இரண்டுமே சூனியம்தான். இங்கும் 0/0 தான் கிடைக்கிறது. ஆனாலும் எப்படி ஸ்பீடா மீட்டர் 40 கி. மீ. எனக் காண்பிக்கிறது?
இங்கு உங்கள் வேகத்தை அந்த கணத்தில் கணிப்பதற்கு பதில், ஓர் சிறிய இடைவெளியில் நீங்கள் பயணித்த சராசரி வேகத்தைக் கணக்கிடுகிறோம். அதாவது,நீங்கள் t மணித்துளிகளும், d(t) தூரமும் பயணித்துள்ளீர்கள் எனக் கொள்வோம். h >0 ஆக இருக்கும் பட்சத்தில், t+h எனும் மணித்துளியில் d(t+h ) தூரம் பயணித்திருப்பீர்கள்.
சராசரி வேகம் = (d(t +h ) – d(t))/h ஆகும். இந்த h ஆனது சூனியத்தை நோக்கிச் செல்லச் செல்ல இந்த விகிதம் வேகத்தைக் கொடுக்கிறது. இதுதான் நுண்கணிதத்தின் நுழைவாயில்.
அடிப்படையில், நுண்கணிதத்தைக் கொண்டு x இன் மதிப்பு மாற மாற f(x) என்ற சார்பின் மதிப்பு எப்படி மாறுகிறது என கண்டறிய முயல்கிறோம். x என்பது x+h ஆக மாறும்போது, f(x) இன் மாற்றம் f(x +h ) ஆகும். அதனால் f(x) இன் சராசரி மாறுதல்
( f(x +h) – f(x) )  / h
என்றாகும். இதில் h ஐ சூனியத்தை நோக்கி போக வைத்தால் கிடைப்பது தான் f(x) இன் விகித மாற்றமாகும். இதைத்தான் f(x) இன் வகைக் கெழு f’(x) என்கிறோம்.
நியூட்டன் கிரகங்களின் பாதையைக் குறித்த கெப்லரின் விதியை நிறுவ கணித மாதிரி செய்ய முயன்ற போது ஏன் நுண்கணிதம் தேவையாகியது? ஒரு வேளை சூரியனின் பாதிப்பே கிரகங்களின் மேல் இல்லையெனில், கிரகங்கள் நேராக ஒரு மாறாத வேகத்துடன் (velocity) நகரும். அதாவது நேரம் மாறமாற கிரகங்களின் வேகம் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும்.அதனால் கிரகங்களின் முடுக்கம்(acceleration), சூனியமாக இருக்கும்.முடுக்கமெ இல்லையெனில் கிரகங்கள் எப்படி நகரும்?
எனவே கிரகங்கள் சூரியனைச் சுற்றி வருவதற்கு காரணம் சூரியன் கிரகங்களின் மேல் செலுத்தும் விசையே(force) காரணம் எனும் முடிவுக்கு நியூட்டன் வந்தார். சரி இப்போது நேரம் மாறமாற கிரகங்களின் மாறும் இடத்தைக் கணிக்க வேண்டும். நேரத்திற்கு ஏற்றார் போல் கிரகங்களின் நகரும் இடத்தில் ஏற்படும் விகித மாற்றம் தான் வேகமாகும்.நேரத்திற்கு ஏற்றார் போல் வேகத்தில் ஏற்படும் விகித மற்றம் தான் முடுக்கமாகும்.நேரத்திற்கு ஏற்றார் போல் கிரகங்களின் நகரும் இடத்தில் ஏற்படும் விகித மாற்றத்தை கணிக்கும் வகைக்கெழு தான் வேகமாகும்.நேரத்திற்கு ஏற்றார் போல் வேகத்தில் ஏற்படும் விகித மாற்றத்தை கணிக்கும் வகைக்கெழு தான் முடுக்கமாகும். இதை கண்டறியத் தேவை நுண்கணிதம். இயற்பியலில் பயன்பட கண்டறியப்பட்ட நுண்கணிதம் இன்று பொருளாதாரம், வானவியல், உயிரியல் என பல பிரிவுகளில் உண்டாக்கப்படும் மாதிரிகளில் பயன்பாடு தவிர்க்க முடியாததாக இருக்கிறது.
ஒரு முறையின் நடத்தையை அல்லது அதன் இயங்கும் தன்மையை அறிய நேரடியான மாதிரிகளை விட ஒருபடிச் சார்பைக் கொண்டு தோராயமாக்கும் மாதிரிகள், அதாவது நுண்கணிதத்தை பயன்படுத்தி உருவாக்கப்படும் மாதிரிகள்,சுலபமானது. ஒரு சிறு உதாரணம் பார்ப்போம்.
எதிர்ப்பு விசையை (Resistance) கணக்கில் கொள்ளாமல் பார்த்தால், வெவ்வேறு எடை கொண்ட இரண்டு பொருட்கள் மேலேயிருந்து கீழே விழுவதன் வேகம் ஒரே மாதிரி இருக்கும் என கலிலியோ கூறியது நியூட்டனின் புவியீர்ப்பு சக்திக்கான விதியின்படி இயங்குகிறது என அறிவோம்.
h என்ற உயரத்தில் t எனும் மணித்துளியில் பூவியீர்ப்பு சக்தியின் தாக்கமானது
விசை (F) = நிறை (m ) X பூவியீர்ப்பு சக்தி (g)
=நிறை (m ) X முடுக்கம் (a )
என்ற சமன்பாட்டை பூர்த்தி செய்யும் என அறிவோம். இதனையே F = m X d^2h /d^2t என எழுதலாம். இங்கு d^ 2h /d ^ 2t என்பது இரண்டாவது வகைகெழுவாகும். இங்கு g என்பது பூவியீர்ப்பு விசை மற்றும் m என்பது பொருளின் நிறை ஆகும். இந்த சமன்பாடு பொருளின் வேகத்தின் வகைகெழுவான முடுக்கம் ஒரு மாறிலி என்கிறது. இந்த மாதிரிக்கு தேவையானது ஒரே ஒரு பூவியீர்ப்பு விசையின் மாறிலிதான். அதே சமயம் உயரத்தையும், நேரத்தையும் கொண்ட மாதிரியில் இரண்டு parameter களும் மற்றும் ஓர் இருபடிச் சமன்பாடும் வருவதைக் காணலாம்.
நுண்கணிதத்தின் கண்டுபிடிப்பானது மனித சமுதாயத்தின் முன்னேற்றத்திற்கு உதவிய முக்கிய மைல்கல் என்றால் மிகையாகாது. எனவே தான் இன்றுள்ள மிகச் சிறந்த தேற்ற இயற்பியலாளர்களில் ஒருவரான (Theoreticcal Physicist) எட்வர்ட் விட்டென் ஒரு பேட்டியில் “கணிதத்தில் இதுவரை கண்டுபிடிக்கப்பட்டதிலேயே ஆகச் சிறந்தது நுண்கணிதம்” எனக் கூறியுள்ளார்.