சுவையான ஒரு கனசதுரக் கணக்கு

கிழக்கு பதிப்பக மொட்டை மாடியில் அடிக்கடி பதிவர்கள் சந்திப்பு நடைபெறுகிறது.ஒரு குறிப்பிட்ட சந்திப்பின் போது பதிவர்கள் அனைவருக்கும் கேக் கொடுப்பதாக முடிவு செய்யப்பட்டது.அதுவும் அழகாக "frost" செய்யப்பட்ட கனசதுர வடிவில் அமைந்த கேக். அந்த பெரிய கேக்கை சிறிய 1x1x1 அளவுள்ள கனசதுர கேக்காக வெட்டி கலந்து கொண்ட அனைவருக்கும் கொடுக்கப்பட்டது.
நிகழ்ச்சி முடிந்தவுடன் எத்தனை பேர் வந்திருந்தார்கள் என்ற ஒரு பதிவரின் (டோண்டு சார்?) கேள்விக்கு கிழக்குப் பதிப்பக நிர்வாகத்தினர் பதில் இது தான்.

சிறிய கனசதுரத்தின் மூன்று முகங்களும் "frost" செய்யப்பட்ட கேக் எத்தனை பேருக்கு கிடைத்ததோ அதைப் போல் 8 மடங்கு பதிவர்களுக்கு எந்த முகமும் "frost" இல்லாத கேக் கிடைத்தது என்றார்கள். இதிலிருந்து நீங்கள் சுலபமாக எத்தனை பேர் நிகழ்ச்சியில் கலந்து கொண்டார்கள் என்று கண்டறியலாம் என்றனர்.
விடை கிடைத்த மகிழ்ச்சியுடன் பதிவர் வீடு திரும்பினார்.

உங்களுக்கு விடை கிடைத்து விட்டால் கீழேயுள்ள விளக்கத்தைப் படிக்க வேண்டாம். இல்லை என்றால் வாருங்கள். சேர்ந்து விடை காணுவோம்.

முதலில் ஒரு 3X3X3 கனசதுரத்தை எடுத்துக் கொள்வோம்.இதில் மொத்தம் 27, 1x1x1 கனசதுரங்கள் இருப்பதை சுலபமாகக் காணலாம்.
சில பொதுவான பண்புகளைப் பார்ப்போம்.

1. கனசதுரத்திற்கு 6 முகங்கள் (faces). 8 சிமயங்கள்(vertices) மற்றும் 12 விளிம்புகள் (edges) உள்ளன.

2. 8 சிமயங்கள் கனசதுரத்தின் மூன்று முகங்கள் சந்திக்கும் புள்ளியாக உள்ளத்தைக் காணலாம்.
எனவே மூன்று முகங்களும் "frost" செய்யப்பட்ட சிறிய 1x1x1 கனசதுரங்கள் 8 தான் இருக்கும்.

3. அதேபோல் இரண்டு முகங்கள் மட்டும் "frost" செய்யப்பட்ட கனசதுரங்கள் 12 விளிம்புகளில் தான் இருக்க முடியும் என்பதைக் காணலாம். எனவே 3X3X3 கனசதுரத்தில் ஒவ்வொரு விளிம்பிலும் ஒரு 1X1X1 கனசதுரம் மட்டும் இரண்டு முகங்கள் "frost" செய்யப்பட்டதைக் கண்டறியலாம்.

4. மேலும் ஒரேஒரு முகம் மட்டும் "frost" செய்யப்பட்ட கனசதுரம் ஒரு முகத்திற்கு ஒன்று தான் இருக்கும்.எனவே 6 சிறிய 1X1X1 கனசதுரங்கள் ஒரு முகம் "frost" ஆகி இருக்கும்.

5.இதிலிருந்து மொத்தம்

8 - 1X1X1 கனசதுரங்கள் மூன்று முகங்கள் "frost" செய்ததாக உள்ளன.
12 - 1X1X1 கனசதுரங்கள் இரண்டு முகங்கள் "frost" செய்ததாக உள்ளன
6 - 1X1X1 கனசதுரங்கள் ஒரு முகம் "frost" செய்ததாக உள்ளன

என்பது தெளிவாகிறது.


8+12+6 = 26

எனவே மொத்தம் உள்ள 27 1X1X1 கனசதுரங்களில் 26 போக மீதமுள்ள ஒன்றே ஒன்று தான் ஒரு முகம் கூட "forst" செய்யப் படாமல் உள்ளது.

இதேபோல் 4X4X4 கனசதுர வடிவுள்ள "frost" செய்த கேக்கை எடுத்து 1X1X1 சிறிய கனசதுரமாக பகிர்ந்தோம் என்றால்

8 - 1X1X1 கனசதுரங்கள் மூன்று முகங்கள் "forst" செய்தும்.
24 - 1X1X1 கனசதுரங்கள் இரண்டு முகங்கள் "forst" செய்தும்
24 - 1X1X1 கனசதுரங்கள் ஒரு முகம் "frost" செய்தும்
8 - 1X1X1 கனசதுரங்கள் ஒரு முகம் கூட "forst" செய்யப் படாமல் உள்ளதும்

தெளிவாகும்.




பொதுவாக ஒரு NXNXN கனசதுர வடிவுள்ள "frost" செய்த கேக்கை எடுத்து 1X1X1 சிறிய கேக்குகளாக பிரித்துக் கொடுத்தால்

8 - 1X1X1 கனசதுரங்கள் மூன்று முகங்கள் "frost" செய்தும்.
12(N-2) - 1X1X1 கனசதுரங்கள் இரண்டு முகங்கள் "frost" செய்தும்
6(N-2)^2 - 1X1X1 கனசதுரங்கள் ஒரு முகம் "frost" செய்தும்
(N-2)^3 - 1X1X1 கனசதுரங்கள் ஒரு முகம் கூட "forst" செய்யப் படாமல் உள்ளதும்
மிகச் சுலபமாக அறிந்து கொள்ள முடியும்.

இப்போது நம்முடைய கணக்கிற்கு வருவோம்.

எந்த அளவுள்ள கனச்துரத்தையும் 1X1X1 கனசதுரமாக பிரிக்கும் போது மூன்று முகங்கள் "frost" செய்த கனசதுரங்கள் எப்போதும் 8 தான் இருக்கும்.
எனவே "frost" செய்யாத கனச்துரங்கள் 8 மடங்கு என்றால் 8X8=64 ஆக இருக்கும்.

எனவே

(N-2)^3=64
==> (N-2)^3=4^3
==> (N-2) = 4
==> N=6

அதனால் மொத்தம் 6X6X6=216 பதிவர்கள் கிழக்கு பதிப்பக கூட்டத்தை அலங்கரித்திருக்கிறார்கள்.

தயவு செய்து என்னுடைய விளக்கம் புரியவில்லை என்றால் தெரியப்படுத்தவும்.
இதை படித்ததிற்கு மிக்க நன்றி.


பி.கு. "frost" என்ற சொல்லுக்கு நல்ல தமிழ் சொல் தெரிந்தால் சொல்லுங்களேன். அதையும் தமிழில் மாற்றி விடுகிறேன்.