6174 என்ற மர்மமான எண்

எத்தனையோ நான்கு இலக்க எண்கள் இருக்கும் போது இந்த எண்ணிற்கு மட்டும் என்ன சிறப்பு?அந்த மர்மத்தைத் தான் இந்தியாவைச் சேர்ந்த ஆசிரியர் கப்ரேகர் (Kaprekar) விடுவித்தார். அப்படி என்ன மர்மம்?

ஏதாவதொரு நான்கு இலக்க எண்ணை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள். உதாரணமாக 4295 என்ற எண்ணை பார்ப்போம்.முதலில் இந்த 4,2,9,5 என்ற நான்கு இலக்கங்களைக் கொண்ட மிகப் பெரிய மற்றும் மிகச் சிறிய எண்களை எழுதுவோம். அதாவது அவைகள் முறையே 9542 மற்றும் 2459 ஆகும்.
9542-2459=7083. இந்த 7,0,8,3 என்ற நான்கு இலக்கங்களைக் கொண்ட மிகப் பெரிய மற்றும் மிகச் சிறிய எண்கள் முறையே 8730 மற்றும் 0378 ஆகும்.
8730-0378=8352. இதே முறையைச் செய்தால் 8532-2358=6174 கிடைக்கும்.இதோ நம் மர்ம எண் வந்து விட்டது.இதில் மர்மம் என்னவென்றால் எந்தவொரு நான்கு இலக்க எண்ணை எடுத்து மேலே கூறிய முறையை கடை பிடித்தால் எப்போதுமே அது 6174 என்ற எண்ணில் தான் முடியும்.இதில் ஒரேயொரு கட்டுப்பாடு நான்கு எண்களும் ஒரே எண்ணாக இருக்கக் கூடாது.அதாவது 1111, 2222 போன்ற எண்களுக்கு இந்த முறை வேலை செய்யாது என்பதை சுலபமாக அறிந்து கொள்ளலாம்.6174 என்ற எண் வந்தால் கப்ரேகர் முறையில் மீண்டும் அதே எண் 6174 வருகிறது.மேலும் ஒரு உதாரணமாக 2009 என்ற எண்ணை எடுத்துக் கொள்வோம்.கப்ரேகர் முறையில்,

9200-0029 = 9171
9711-1179 = 8532
8532-2358 = 6174

இது எப்படி சாத்தியமாகிறது என்று இப்போது பார்ப்போம்.கணிதத்தில் உங்கள் ஆர்வத்தைப் பொருத்து இந்த பத்தியை படிக்கலாம்.இல்லை என்றால் மேலே படித்துக் கொண்டு செல்லவும்.

நான்கு இலக்கங்களைக் கொண்டு, மிகப் பெரிய எண்ணை எழுதும் போது அந்த எண்களை இறங்கு வரிசையிலும், மிகச் சிறிய எண்ணாக எழுதும் போது ஏறு வரிசையிலும் எழுதுகிறோம். a,b,c,d என்ற நான்கு எண்களும்

9 ≥ a ≥ b ≥ c ≥ d ≥ 0

என்றும், நான்கும் ஒரே எண்ணாக இருக்காது. எனவே அதிகபட்ச எண் abcd ஆகவும்,குறைந்தபட்ச எண் dcba ஆகவும் இருக்கும். இப்போது கப்ரேகர் முறையை பயன்படுத்தினால்,
,

a b c d
-- d c b a
-----------
A B C D
-------------

.கிடைக்கும். மேலும்


D = 10 + d - a (as a > d)

C = 10 + c - 1 - b = 9 + c - b (as b > c - 1)

B = b - 1 - c (as b > c)

A = a - d

A,B,C,D என்ற நான்கு எண்களையும் a,b,c,d மூலம் எழுத முடிந்தால் அதே எண்ணே திரும்பவும் வருவதைக் காணலாம். நான்கு இலக்கங்களை வைத்து மொத்தம் 4!=24 எண்கள் எழுத முடியும்.அதில் மேலே உள்ள சமன்பாடுகளை பூர்த்தி செய்யும் எண்களை சரி பார்த்தால் முழு எண் தீர்வாக ABCD=bdac என வருவதைக் காணலாம்..இந்த நான்கு சமன்பாடுகளிலிருந்து A=6,B=1,C=7, D=4 என்பதைக் கண்டறியலாம்.இந்த ஒரே ஒரு நான்கு இலக்க எண்ணுக்குத் தான் இந்த பெருமை உள்ளது.எந்த ஒரு நான்கு இலக்க எண்ணை எடுத்துக் கொண்டாலும், அதிக பட்சமாக 7 தடவைகள் கப்ரேகர் முறையைப் பயன்படுத்தினால் 6174 என்ற எண்ணை அடைந்து விடலாம்.
மூன்று இலக்க எண்களுக்கு இதே போல் ஓர் எண் உள்ளதா? ஆமாம் அந்த எண் 495 ஆகும்.நீங்கள் முயன்று பாருங்களேன்.
இதைப் பற்றி மேலும் அறிந்து கொள்ள ஆங்கில விக்கி பீடியா ( http://en.wikipedia.org/wiki/6174_(number) ) பார்க்கவும்.