செவ்வாய், 23 நவம்பர், 2010

எந்திரனில் ஜெனோவின் முரண்படு மெய்ம்மை (paradox) மற்றும் குவிகிற தொடரும்



எந்திரன் சினிமாவில் ரோபோவிடம் பல கேள்விகள் கேட்கப்படும். அதில் ஒன்று இந்த ஜெனோவின் முரண்படு மெய்ம்மை. அதாவது ஒரு ஆமை இரண்டு மைல்கள் செல்ல வேண்டும். முதலில் அது செல்ல வேண்டிய தூரத்தில் பாதியைக் கடக்கிறது. பின்பு மீதுள்ள தூரத்தில் பாதியைக் கடக்கிறது. மீண்டும் அதில் பாதி. மீண்டும் அதில் பாதி.....இப்படியே தொடர்ந்தால் அது தன் இலக்கை அடையவே முடியாது என்பது.

ஆனால் ஆமை கட்டாயம் அதன் இலக்கைச் சென்று அடைய முடியும் என்பது தான் உண்மை. இந்த முரண்பாட்டைத் தான் ஜெனோவின் முரண்படு மெய்ம்மை என்று கூறுகிறோம்.

இந்தக் கேள்விக்கு பதிலாக ரோபோ "அது ஒரு குவிகிற தொடர் (convergent series)" என்ற பதிலைக் கொடுக்கும்.

குவிகிற தொடர் என்றால் என்ன?

சரி. இது எப்படி சாத்தியம் என்று பார்ப்போம். ஆமை முதலில் செல்வது ஒரு மைல்,பிறகு 1/2 மைல், பின்பு 1 /4 ......என்று செல்ல வேண்டும்.

அதாவது

1+ 1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+......

என்பதின் கூட்டுத் தொகையைக் கண்டறிய வேண்டும்.

S1 = 1 <2
S2 = 1+1/2 < 2
S3 = 1+1/2+1/4 < 2
S4 = 1+1/2+1/4+1/8 < 2
...
.
.
S10 = 1+1/2+1/4+.........1/512 < 2

...என்று தொடரும். .

எனவே இந்த தொடரில் உள்ள எத்தனை எண்களைக் கூட்டினாலும் அந்த கூட்டுத் தொகை 2 என்ற எண்ணிற்கு அருகில் செல்லுமே தவிர அது 2 டை விட அதிகமாகாது. அதனால் இந்த தொடர் இரண்டை நோக்கிக் குவிகிறது என்கிறோம்.

இந்தத் தொடரை ஒரு பெருக்குத் தொடர் (Geometrc series) என்கிறோம்.

அதாவது

1+ 1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+...... = 2
.

அந்த = என்பதற்கு இங்கு சிறிது வித்தியாசமான பொருள். இந்தத் தொடர் 2 டை நோக்கிக் குவிகிறது என்று பொருள். இது எப்போதும் இரண்டிற்கு சமமாகாது.

கண்ணதாசனும் குவியும் தொடரும்




கண்ணதாசன் இருவர் உள்ளம் படத்திலேயே "குவியும் தொடர்" பற்றி அழகாக எழுதி உள்ளார்.

நதி எங்கே போகிறது கடலைத் தேடி
நாளெங்கே போகிறது இரவைத் தேடி
நிலவெங்கே போகிறது மலரைத் தேடி
நினைவெங்கே போகிறது உறவைத் தேடி

6 கருத்துகள்: