கொடுக்கப்பட்ட இயல் எண்ணுக்கு எத்தனை காரணிகள் உள்ளன?

கொடுக்கப்பட்ட ஒரு இயல் எண்ணுக்கு எத்தனை காரணிகள் உள்ளன என்பதை எப்படிக் கண்டுபிடிப்பது?முந்தய பதிவில் பார்த்தது போல், எந்த ஒரு இயல் எண்ணையும் பகா எண்களின் பெருக்குத் தொகையாக எழுத முடியும்.இந்த பெருக்குத் தொகையும் ஒரு தனித்தன்மை (uniqueness) கொண்டது.எனவே எந்த இயல் எண்ணும் பகா எண்கள் அல்லது பகா எண்களின் அடுக்குக்குறிகளின் (exponents) பெருக்குத் தொகையாக இருக்கும்.உதாரணமாக 12 என்ற எண்ணை எடுத்துக் கொள்வோம்.

12=2x6=2x2x3=2^2x3

2^2 மொத்தமுள்ள காரணிகள் மூன்று.அதாவது 2^0 ,2^1 மற்றும் 2^2 .
அதே போல 3-இன் காரணிகள் 3^0 மற்றும 3^1 ஆகும.

2^0 X 3^0 =1
2^1 X 3^0 = 2
2^2 X 3^0 = 4

2^0 X 3^1 = 3
2^1 X 3^1 = 6
2^2 X 3^1 = 12

எனவே 12-ன் மொத்த காரணிகளின் எண்ணிக்கை 3x2=6 ஆகும்.அதாவது 1,2,3,4,6,12 என்ற எண்கள் 12-ன் காரணிகள் ஆகும.

இப்போது 100 என்ற எண்ணை எடுத்துக் கொள்வோம்.

100=10X10
=2X5X2X5
=2^2X5^2

2^2 மொத்தமுள்ள காரணிகள் மூன்று. அதே போல் 5^2 மொத்தமுள்ள காரணிகள் மூன்று.
எனவே 100-ன் மொத்த காரணிகளின் எண்ணிக்கை 3X3=9 ஆகும்.அதாவது 1,2,4,5,10,20,25,50,100 என்ற எண்கள் 100-ன் காரணிகள் ஆகும.

பொதுவாக n என்ற இயல் எண்ணை எடுத்துக் கொள்வோம்.
n-யை பகா எண்களின் பெருக்குத் தொகையாக எழுதுவோம்.

n = p1^n1 * p2^n2 * p3^n3:........ * pk^nk என்று வைத்துக் கொள்வோம்.

p1-ன் மொத்த காரணிகளின் எண்ணிக்கை n1+1 ஆகும்.

p2-ன் மொத்த காரணிகளின் எண்ணிக்கை n2+1 ஆகும்

p3-ன் மொத்த காரணிகளின் எண்ணிக்கை n3+1 ஆகும்
....
...

....

pk-ன் மொத்த காரணிகளின் எண்ணிக்கை nk+1 ஆகும்

எனவே n-ன் மொத்த காரணிகளின் எண்ணிக்கை (n1+1)(n2+1)(n3+1)........(nk+1) ஆகும்.

முதல் ஆயிரம் இயல் எண்களின் பகா எண்களின் பெருக்குத் தொகையை இங்கே காணலாம்.